Lista 7

Matematyka
Granica i ciągłość funkcji
1. Obliczyć następujące granice
x4 +3x2 −4
,
x+1
x2 −2x−8
,
x2 −9x+20
√
√x+1 ,
limx→8 3−
4− 2x
√
2 +1−1
limx→0 √xx2 +25−5
,
x4 −2x+1
,
x5 +x
√
2− x
√
limx→4 2−
,
3
2x
b) limx→4
c) limx→∞
d) limx→−2
e)
f)
g)
h)
a) limx→−1
x2 −4
,
x+2
√
2
,
limx→∞ x √xx2+x−x
( +1−x)
tgx
,
sin x
√
x
,
limx→0 1−cos
sin x
√
√
sin x− cos x
,
sin x−cos x
j) limx→0
k) limx→ π4
m)
n) limx→∞ x sin x1 ,
p) limx→0
√
cos x−1
,
x2
t) limx→−2
arcsin(x+2)
,
x2 +2x
x) limx→∞
3x−1
3x+1
2x−5
√
l) limx→ π4
cos 2x
,
sin x−cos x
x2 + 1 −
√
o) limx→∞
x sin
r) limx→ π3
sin(x− π3 )
,
1−2 cos x
s) limx→∞ sin
u) limx→ 1
arctg(1−2x)
,
4x2 −1
w) limx→∞
y) limx→0
ln(1+x)
,
x
z) limx→0
2
,
i) limx→∞
√
2x+3
2x+1
√
√
x2 − 1,
x+1−
x+1−
x+1
√ x ,
√ x ,
,
ex −1
.
x
2. Obliczyć granice jednostronne następujących funkcji w podanych punktach i rozstrzygnąć, czy funkcje te mają w tych punktach granice:
a) f (x) = e− x
1
w punkcie x = 0,
b) f (x) =
c) f (x) =
x
x−2
w punkcie x = 2,
1
d) f (x) = arctg 1−x
|x−1|
x−1
+x w
punkcie x = 1,
w punkcie x = 1.
3. Zbadać ciągłość następujących funkcji:



x2 ,
a) f (x) = 
2
 2−x ,
dla
0 ¬ x ¬ 1,
dla
1 < x ¬ 2,
 √
1

 xarctg x ,
c) h(x) = 

0,
dla
x 6= 0,
dla
x = 0,


 cos
πx
,
2
dla
|x| ¬ 1,
 |x − 1|,
dla
|x| > 1,
b) g(x) = 

−1,





d) f (x) =  0,



 1,
1
dla
x < 0,
dla
x = 0,
dla
x > 0.
4. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj


− log 1 (x + 3),


2



π
a) f (x) = 





b) g(x) =
2
,
arctg x1 ,
dla
−3 < x ¬ −2,
dla
−2 < x ¬ 0,
dla
0 < x,

x+1
1


,

2







x2 + 1 + π2 x −



























x ¬ 1,
dla
−1 < x < π2 ,
¬ x ¬ π,
ctgx,
dla
0,
dla
π < x < 2π,
| sin x|,
dla
2π ¬ x,



arctg
x+







cos x,

c) h(x) = 
π
,
2
dla
π
2
, dla
dla
−tgx,
dla
1,
dla
π
2
x < − π2 ,
− π2 ¬ x ¬ π2 ,
π
2
< x < π,
π ¬ x.
5. Niech h : R → R będzie funkcją określoną wzorem
h(x) =


 ax + 1,
x < −1,
x2 + b, −1 ¬ x < 1,


(x + a)2 ,
x ­ 1.
Dobrać parametry a i b tak, aby funkcja h była ciągła w zbiorze R.
2