Matematyka - grupy 11,12,13 ZNP

Matematyka - grupy 11,12,13 ZNP
Lista nr 5 - Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
http://www.wmie.uz.zgora.pl/∼ mniedzie/materialy.html
Maciej Niedziela
1. Korzystając z definicji, wyznaczyć pochodne podanych funkcji w odpowiednich punktach
(a) f (x) = x2 + 3x − 1 w punkcie x0 = −2;
(b) g(x) =
(c) h(x) =
1
x+2
√
w punkcie x0 = 0;
2x + 3 w punkcie x0 = 3.
2. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) =
x
x2 +1
w punkcie o odciętej równej 2.
3. W jakich punktach styczna do wykresu funkcji g(x) = x3 +3x2 −3x+2 jest równoległa do prostej
y = 2x − 1?
4. Oblicz pochodne następujących funkcji
(a) f (x) =
x2 −1
;
2x2 +1
(b) f (x) = x e−x
(d) f (x) = (x2 + 3) e−x ;
(g) f (x) = ln(x2 +
√
x);
(e) f (x) =
√
2 +1
(c) f (x) = sin2 (2x − 3);
;
x2 − 3x + 1;
(h) f (x) = x2 tg(x + 1);
(f) f (x) =
q
3
x−1
x+1 ;
(i) f (x) = sin(x2 + 1) + cos(x2 − 1);
(j) f (x) = loga x.
5. Oblicz pochodne do piątego rzędu włącznie funkcji f (x) = ln x.
6. Oblicz pochodne do trzeciego rzędu włącznie funkcji f (x) = x exp(1/x3 ).
7. Obliczyć następujące granice
(a) limx→0
cos 3x−1
;
5x2
(b) limx→0
sin 3x−3x
;
x3
(c) limx→0
1+cos x
x−π ;
(d) limx→0
ex −1
sin x ;
(e) limx→0
ln cos x
x ;
(f) limx→0
x−sin x
x−tg x ;
(g) limx→0
ex −e−x
sin x cos x ;
(h) limx→0
ex −e−x −2x
x−sin x ;
(i) limx→0
sin x+tg x−2x
;
x3
(j) limx→0
cos x−1+x2 /2
;
x4
(k) limx→0
x−sin x
;
x2 ln(1−x)
(l) limx→0
x−sin x cos x
.
x sin2 x
8. Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema funkcji
(a) f (x) =
x2 +x−1
;
x2 −x+1
(b) f (x) =
3x2 −2x+1
;
3x2 +2x−1
(c) f (x) =
6
x
(d) f (x) =
1
x
(e) f (x) =
x2
x−1 ;
(f) f (x) =
1
x2
(g) f (x) =
3x+5
;
1−x2
(h) f (x) =
x2
;
x3 +4
(i) f (x) = x2 ln x;
(k) f (x) =
1
x2
(l) f (x) = 2xex − 8ex − x2 + 6x.
+ 4x2 ;
(j) f (x) = x3 e−x ;
exp(x3 );
1
+ 12 x2 + 5x;
+ x4 ;
9. Wyznaczyć największą wartość funkcji f (x) =
(x2 +x)2
x+2
na przedziale [−1, 0].
10. Wyznaczyć ekstrema funkcji g(x) = sin3 x + 43 cos x.
11. Zbadać wypukłość, wklęsłość i wyznaczyć punkty przegięcia funkcji
(a) f (x) =
x+1
;
x2 +1
(b) f (x) =
x+7
;
x2 +5
(d) f (x) =
ln2 x
x ;
(e) f (x) = x +
(g) f (x) =
3
;
1+4e−2x
(h) f (x) = e−x ;
ln x
x ;
3
(c) f (x) = x3 ln x;
(f) f (x) = x e−x
(i) f (x) =
2 /2
;
x4
.
x3 −1
12. Popyt na dobra konsumpcyjne w zależności od wielkości dochodów konsumenta x, (x > 0),
wyraża się wzorem
1
2
.
p(x) = 2 exp −
x
x
(a) Dla jakiego x popyt jest największy?
(b) Dla jakiego x tempo wzrostu popytu jest najmniejsze?
13. Popyt na dobra konsumpcyjne w zależności od wielkości dochodów konsumenta x, (x > 0),
wyraża się wzorem
1
2
p(x) = exp − 2 .
x
x
(a) Dla jakiego x popyt jest największy?
(b) Dla jakiego x tempo wzrostu popytu jest najmniejsze?
14. Odpowiedzieć na pytania zawarte w punktach (a) i (b) w zad. 12, jeśli popyt p na dobra konsumpcyjne w zależności od wielkości dochodów konsumenta x, (x > 0), wyraża się wzorem
(a) p(x) = x12 exp − x32 ;
(b) p(x) =
x2
;
32+x3
(c) p(x) =
x2
.
1+0.25x3
15. Cena zbytu wyrobu jest równa c(x) = 40 − 0.03x zł za jednostkę wyrobu, gdzie x oznacza liczbę
jednostek wyrobu. Koszt całkowity produkcji x jednostek wyrobu dany jest wzorem K(x) =
0.01x2 + 20x + 225.
(a) Wyznacz minimalną i maksymalną wielkość produkcji x, która nie przynosi strat.
(b) Dla jakiej wielkości produkcji zysk na jednostkę wyrobu jest największy?
441
16. Cena zbytu wyrobu jest równa c(x) = x+10
zł za jednostkę wyrobu, gdzie x oznacza liczbę
jednostek wyrobu. Koszt całkowity produkcji x jednostek wyrobu dany jest wzorem K(x) =
0.02x + 400.
(a) Wyznacz minimalną i maksymalną wielkość produkcji x, która nie przynosi strat.
(b) Dla jakiej wielkości produkcji zysk na jednostkę wyrobu jest największy?
17. W zakładzie produkcyjnym ustalono, że wartość wyrobów wyprodukowanych w ciągu jednego
dnia w czasie x roboczogodzin przez zespół 5-osobowy wyraża się wzorem
Q(x) = x +
1 3
x .
50
(a) Obliczyć wydajność marginalną pracy tego zespołu po przepracowaniu 2 godzin.
(b) Obliczyć, kiedy tempo wzrostu wydajności marginalnej osiąga największą wartość.
2
18. W zakładzie produkcyjnym jest zatrudniony 8-osobowy zespół pracowników. Ustalono, że wartość
wyprodukowanych przez ten zespół wyrobów w ciągu jednego dnia pracy w czasie x roboczogodzin
wyraża się wzorem
√
Q(x) = 40(16 x − x).
(a) Obliczyć wydajność krańcową po przepracowaniu przez zespół 3 godzin.
(b) Obliczyć, po jakim czasie pracy tempo wzrostu wydajności krańcowej będzie największe.
p
√
19. Obliczyć przybliżony wzrost funkcji f (x) = x + x przy wzroście argumentu o 1%, licząc od
x0 = 16.
3