Analiza matematyczna

Analiza matematyczna
Lista nr 1 - Rachunek ró»niczkowy
Maciej Niedziela
http://www.wmie.uz.zgora.pl/
x
x2 +1
∼
mniedzie/materialy.html
1. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji
f (x) =
2. W jakich punktach styczna do wykresu funkcji
g(x) = x3 +3x2 −3x+2 jest równolegªa do prostej
w punkcie o odci¦tej równej 2.
y = 2x − 1?
3. Obliczy¢ pochodne nast¦puj¡cych funkcji
a)
y = 5x15 − x3 + 5x − 1;
(d)
y = 3x7/3 − 4x13/4 + 74 x−1/2 + 5;
(g)
y=
5x2 +x−2
;
x2 +7
y=
√ a−x ,
a2 −x2
(j)
(m)
f (x) =
a > 0;
x2 −1
;
2x2 +1
(p)
f (x) = (x2 + 3) e−x ;
(t)
f (x) = ln(x2 +
(w)
f (x) = loga x.
√
x);
(b)
y=
4
;
x2
(c)
√
3
y = 5 x7 ;
(e)
y=
2√
;
x3 x
(f )
y=
(h)
y = (3t + 1)7 ;
(i)
y = (4z 2 − 5z + 13)6 ;
(k)
y = cos at , a 6= 0;
(l)
y = sin2 3x;
(n)
f (x) = x e−x
(r)
f (x) =
(u)
f (x) = x2 tan(x + 1);
√
2 +1
;
x2 − 3x + 1;
(o)
f (x) = sin2 (2x − 3);
(s)
f (x) =
(v)
f (x) = sin(x2 + 1) + cos(x2 − 1);
f (x) = ln x.
4. Obliczy¢ pochodne do pi¡tego rz¦du wª¡cznie funkcji
5. Obliczy¢ pochodne do trzeciego rz¦du wª¡cznie funkcji
f (x) = x exp(1/x3 ).
6. Korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala obliczy¢ nast¦puj¡ce granice
(a)
limx→0
cos 3x−1
;
5x2
(b)
limx→0
sin 3x−3x
;
x3
(c)
limx→0
1+cos x
x−π ;
(d)
limx→0
ex −1
sin x ;
(e)
limx→0
ln cos x
x ;
(f )
limx→0
x−sin x
x−tan x ;
(g)
limx→0
ex −e−x
sin x cos x ;
(h)
limx→0
ex −e−x −2x
x−sin x ;
(i)
limx→0
sin x+tan x−2x
;
x3
limx→0
cos x−1+ x2
x4
(k)
limx→0
x−sin x
;
x2 ln(1−x)
(l)
limx→0
x−sin x cos x
.
x sin2 x
2
(j)
;
7. Zbada¢ monotoniczno±¢ i wyznaczy¢ ekstrema funkcji
1
5
;
2x2 −5x+1
q
3
x−1
x+1 ;
(a)
f (x) =
x2 +x−1
;
x2 −x+1
(b)
f (x) =
3x2 −2x+1
;
3x2 +2x−1
(c)
f (x) =
6
x
(d)
f (x) =
1
x
(e)
f (x) =
x2
x−1 ;
(f )
f (x) =
1
x2
(g)
f (x) =
3x+5
;
1−x2
(h)
f (x) =
x2
;
x3 +4
(i)
f (x) = x2 ln x;
(k)
f (x) =
1
x2
(l)
f (x) = 2xex − 8ex − x2 + 6x.
(j)
+ 4x2 ;
f (x) = x3 e−x ;
exp(x3 );
+ 12 x2 + 5x;
+
x
4;
8. Znale¹¢ warto±ci najmniejsze i najwi¦ksze podanych funkcji na wskazanych przedziaªach
(a)
f (x) = x2 − 2x + 3, [−2, 5];
(b)
f (x) = x2 ln x, [1, e];
(d)
f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x − 8, [−3, 6];
(e)
√
f (x) = x − 2 x, [0, 5].
(c)
f (x) = arctan x −
9. Korzystaj¡c ze wzoru Taylora obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych wyra»e«
(a)
1
3,98
(b)
arcsin 0, 51
(c)
e−0,07
(d)
ln 0, 9993.
2
x
2,
[0, 2];