Geometria różniczkowa 2016/2017 1. Geometria krzywych 1.1
Transkrypt
Geometria różniczkowa 2016/2017 1. Geometria krzywych 1.1
Geometria różniczkowa 2016/2017 1. Geometria krzywych 1.1. Wyznaczyć pole styczne, normalne, binormalne, krzywiznę i skręcenie następujących krzywych. (a) [0, 2π] 3 t 7→ γ(t) = (et cos t, et sin t, et ) ∈ R3 (znaleźć dodatkowo parametryzację łukową). (b) R 3 t 7→ γ(t) = (3t − t3 , 3t3 , 3t + t3 ) ∈ R3 . (c) Krzywej Vivaniego, która powstaje z przecięcia walca (x − a)2 + y 2 = a2 i sfery x2 + y 2 + z 2 = a2 , gdzie a > 0. 1.2. Niech I ⊂ R - przedział. Rozważmy krzywą regularną I 3 t 7→ γ(t) ∈ Sr2 , gdzie Sr2 - sfera o środku (0, 0, 0) i promieniu r > 0. Udowodnić, że krzywizna krzywej γ jest ograniczna z dołu 1 przez . r 1.3. Niech I ⊂ R - przedział. Niech I 3 t 7→ γ(t) ∈ R2 będzie krzywą płaską. Wyprowadzić wzór na krzywiznę krzywej płaskiej κ(t) = | det(γ 0 (t), γ 00 (t))| . kγ 0 (t)k3 1.4. Wyznaczyć długość i krzywiznę następujących krzywych płaskich, gdzie a > 0. (a) [0, 2π] 3 t 7→ γ(t) = (cos t + t sin t, sin t − t cos t) ∈ R2 . (b) [0, 2π] 3 t 7→ γ(t) = a(cos3 t, sin3 t) ∈ R2 (asteroida). (c) [0, 2π] 3 t 7→ γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t) ∈ R2 (cykloida). 1.5. Znaleźć parametryzację łukową, pole styczne, normalne i krzywiznę krzywej (0, 1) 3 t 7→ c(t) = (t2 , t3 ) ∈ R2 . Narysować krzywą (−1, 1) 3 t 7→ c(t) = (t2 , t3 ) ∈ R2 (ostrze). 1.6. Niech γa : R → R2 będzie krzywą o następującej parametryzacji γa (t) = 1 2 t, t sin t dla t 6= 0, dla t = 0. (0, 0) Pokazać, że (a) γa jest ciągła dla a > 0 i nie jest ciągła dla a 6= 0. (b) γa jest różniczkowalna dla a ∈ (1, 2), ale nie jest klasy C 1 . 1