Ciągłość funkcji Definicja 1. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb
Transkrypt
Ciągłość funkcji Definicja 1. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 5) Ciągłość funkcji Definicja 1. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Punktem skupienia tego zbioru nazywamy liczbę x0 , która jest granicą pewnego ciągu o wyrazach ze zbioru A różnych od x0 . Definicja 2. Niech A ⊆ R i x0 ∈ A. Mówimy f : A → R jest funkcją ciągłą w punkcie x0 jeśli ma w tym punkcie granicę i jest ona równa wartości funkci w tym punkcie. Bazując na definicji Cauchy’ego ciągłości funkcji można stwierdzić, że f (x) jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε>0 ∃δ ∀(x∈A−{x0 }) (|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − g| < ε) . Mówimy, że funkcja f (x) jest lewostronnie (prawostronnie) ciągła w punkcie x0 , jeśli ma w tym punkcie granicę lewostronną (prawostronną) i jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie. Funkcja jest ciągła w punkcie x0 jeśli jest jednocześnie ciągła lewostronnie i prawostronnie. Mówimy, że f (x) jest ciągła (ciągła jednostronnie) w całym zbiorze A, jeśli jest ciągła (ciągła jednostronnie) w każdym punkcie tego zbioru. Twierdzenie 1. Działania na granicach funkcji ciągłych dają w wyniku funkcje ciągłe: Jeżeli f i g są funkcjami ciągłymi w punkcie x0 , to ich suma, różnica i iloczyn są ciągłe w punkcie x0 .Ponadto, jeśli g(x0 ) 6= 0, to w tym punkcie ciągły jest również iloraz fg . Stwierdzenie 2. Funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim (f (x0 + h) − h→0 f (x0 )) = 0 Przykład 1. Ciągłość funkcji elementarnych. 1. Ciągłość funkcji wielomianowych i wymiernych wynika bezpośrednio z powyższego twierdzenia oraz tego, że dla ustalonego n > 0 funkcja f : R → R określona wzorem f (x) = xn jest ciągła. 2. Funkcja wykładnicza f (x) = ax , a¿0, jest funkcją ciągłą. Dla dowodu przypomnijmy najpierw, że dla ustalonej liczby rzeczywistej dodatniej a 1 lim a n = lim n→∞ √ n n→∞ a=1 skąd łatwo wyprowadzić wniosek lim ax = 1. x→0 Stąd otrzymujemy lim (ax+h − ax ) = lim ax (ah − 1) = ax lim (ah − 1) = 0 h→0 h→0 h→0 3. Funkcje trygonometryczne sin x, cos x są ciągłe: 1 1 lim (sin(x + h) − sin x) = lim (2 sin hcos(x + h)) = 0, h→0 h→0 2 2 1 1 lim (cos x + h − cosx) = lim (2 sin h) sin x + h = 0. h→0 h→0 2 2 Z twierdzenia 1 wynika, że ciągłymi są funkcje tg x i ctg x. 1 Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 5) Stwierdzenie 3. Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Przykład 2. Funkcja f (x) = xx określona na zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych jest funkcją ciągłą, ponieważ x xx = eln x = ex ln x , tzn. można ją przedstawić w postaci złożenia dwóch funkcji: g(x) = ex oraz h(x) = x ln x. Drugą z tych funkcji trzeba jeszcze określić dla x = 0 przyjmując h(0) = lim x ln x = 0. x→0+ Twierdzenie 4. Jeśli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale domkniętym ha, bi, to dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla dowolnych x, x0 ∈ ha, bi, nierówność |x − x0 | < δ implikuje nierówność |f (x) − f (x0 )| < ε. Funkcja, która spełnia warunek zawarty w powyższym twierdzeniu nazywa się jednostajnie ciągłą. Twierdzenie mówi zatem, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest w nim jednostajnie ciągłym. Twierdzenie 5. (Twierdzenie Weierstrassa) Każda funkcja f ciągła w przedziale domkniętym ha, bi jest w tym przedziale ograniczona i osiąga w nim swoje kresy, dolny m i górny n, tzn istnieją c, d ∈ ha, bi takie, że dla dowolnego x z tego przedziału m = f (c) 6 f (x) 6 f (d) = M . Twierdzenie 6. (Własność Darboux) Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym ha, bi przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości pośrednie między f (a) i f (b). Innymi słowy jeśli f (a) < f (b) (f (a) > f (b)) i f (a) < yf (b) (f (a) > y > f (b)), to istnieje c ∈ ha, bi, taki że f (c) = y. Wniosek 7. Jeżeli f (x) jest ciągła w przedziale ha, bi i f (a)f (b) < 0, to istnieje x ∈ ha, bi, taki że f (x) = 0. Wniosek 8. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym ha, bi przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości od kresu dolnego do kresu górnego. Twierdzenie 9. Jeżeli funkcja y = f (x) jest różnowartościowa i ciągła w przedziale ha, bi, to funkcja odwrotna do niej jest w przedziale hm, M i także funkcją ciągłą, gdzie m i M jest odpowiednio kresem dolnym i górnym funkcji f (x). Przykład 3. a) Fukcje cyklometryczne, jako odwrotne do trygonometrycznych są ciągłe. b) Funkcje logarytmiczne, jako odwrotne do wykładniczych, są ciągłe. Opracował: Czesław Bagiński 2