DTTV
Transkrypt
DTTV
Całka oznaczona. Def.1. Podziałem odcinka na n części, nN, nazywamy zbiór przy czym . Wprowadzamy oznaczenia: długość k-tego odcinka podziału P średnica podziału P punkt pośredni k-tego odcinka podziału P Def.2 (suma całkowa) Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale oraz P będzie podziałem tego przedziału. Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz punktom pośrednim , 1kn, tego podziału, nazywamy liczbę: n ( f , P) f ( xk* )xk k 1 Suma całkowa jest przybliżeniem pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji y=f(x) (wartości nieujemne), osią Ox i prostymi x=a oraz x=b przez sumę prostokątów o podstawach i wysokości . Def. 3. ( całka oznaczona Riemanna) Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale . Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale definiujemy wzorem: b f ( x)dx lim a n f ( x )x ( P )0 k 1 * k k o ile po prawej stronie równości granica istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P przedziału ani od sposobu wyboru punktów pośrednich 1kn. Ponadto a f ( x)dx 0 a oraz b a a b f ( x)dx f ( x)dx, a b Tw. 1. (warunek wystarczający całkowalności funkcji) , Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale i ma na tym przedziale skończona liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna. Tw. 2. (Newtona-Leibniza, I główne twierdzenie rachunku całkowego) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale to b f ( x)dx F (b) F (a) a gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f na tym przedziale. Zapis: F (b) F (a) F ( x) b a F (b) F (a) F ( x)a b Interpretacja geometryczna całki oznaczonej: 1. Pole trapezu krzywoliniowego-patrz interpretacja sumy całkowej 2. Objętość bryły obrotowej. Niech V oznacza bryłę ograniczoną powierzchnią powstałą przez obrót wykresu funkcji nieujemnej y=f(x), axb, wokół osi Ox oraz płaszczyznami x=a oraz x=b. Objętość bryły jest granicą sumy objętości walców przybliżających tę bryłę, gdy średnica podziału P dąży do 0. n n V lim Vk lim f 2 ( xk* )xk ( P )0 k 1 ( P )0 k 1 b f 2 ( x)dx a Interpretacja fizyczna: Niech S oznacza drogę przebytą w przedziale czasowym punkt poruszający się ze zmienną prędkością v(t), jest granicą sumy dróg elementarnych czasie z prędkością stałą n , gdy przez . Droga S przebytych przez punkt w dąży do 0. n S lim S k lim v( xk* )tk ( P )0 k 1 ( P )0 k 1 v(t )dt Droga S jest polem trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji v(t), osią Ot oraz prostymi t=, t=. Tw.3. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale b b b a a to: ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx a b b a a df ( x)dx d f ( x)dx, d R Tw.4 Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe pochodne na przedziale to: b b u ( x)v' ( x)dx u ( x)v( x) u' ( x)v( x)dx b a a a Tw. 5. Zakładamy, że funkcja f jest ciągła w [a,b] oraz funkcja t=g(x) przyjmuje wartości z przedziału [a,b] dla x[,], gdzie a=g() oraz b=g(). Jeżeli g’(x) jest ciągła w [,] to b f ( g ( x))g ' ( x)dx f (t )dt a Tw. 6. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale oraz d b d b a a d to f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Zastosowania : 1. Pole figury płaskiej: f(x), g(x) ciągłe na f(x) g(x) b S f ( x) g ( x)dx a 2. Objętość bryły obrotowej-patrz interpretacja geometryczna p.2. b V f 2 ( x)dx a 3. Długość krzywej. Zakładamy, że f’(x) jest ciągła na b L 1 f ' ( x) dx 2 a Uwaga: Dokonujemy podziału odcinka jak w Def. 1. Łączymy łamaną punkty Jej długość, wraz ze wzrostem n, jest coraz bliższa długości krzywej f(x) w tym przedziale. Jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąty prostokątne o przyprostokątnych łamanej od punktu to długość odcinka do punktu jest równa Zauważmy, że z twierdzenia Lagrange’a istnieje punkt sk, taki, że Stąd Otrzymujemy stąd sumę całkową postaci: n l ( f , P) xk 1 f ' (sk )2 k 1 której granicą jest powyższa całka, przy założeniach analogicznych jak w Def. 3. 4.Pole powierzchni (bocznej) obrotowej powstałej przez obrót … j.w. b P 2 f ( x) 1 f ' ( x) dx 2 a