(a) X1 = (1, 2, 1)

Algebra liniowa
Z9−10
1. Dane są wektory przestrzeni liniowej R3 :
(a)
X1 = (1, 2, 1), X2 = (1, 2, 0),
Y1 = (1, 2, 0), Y2 = (1, 2, 1),
X3 = (0, 2, 1), X4 = (0, 2, 0)
Y3 = (1, 3, 1), Y4 = (1, 3, 2)
(b)
X1 = (2, 1, 2), X2 = (1, 3, 1), X3 = (1, −2, 1),
Y1 = (1, 2, 0), Y2 = (2, 2, 1), Y3 = (−1, 1, −1),
(c)
X1 = (1, 2, 3), X2 = (3, 1, 1),
Y1 = (0, 1, 2), Y2 = (1, 1, 1),
X4 = (3, −1, 3)
Y4 = (1, −3, −1)
X3 = (2, −1, −2), X4 = (1, −3, −5)
Y3 = (1, 0, −1),
Y4 = (1, −1, −3)
(I) Znaleźć bazę i wymiar podprzestrzeni liniowej Lin(X1 , X2 , X3 , X4 ).
(II) Czy istnieje takie przekształcenie liniowe φ : R3 → R3 , że φ(Xi ) = Yi dla każdego i ∈
{1, 2, 3, 4}?
(III) Czy przekształcenie φ spełniające warunki z punktu (II) jest wyznaczone jednoznacznie?
(IV) Jeśli przekształcenie φ z punktu (II) istnieje i jest wyznaczone jednoznacznie, znaleźć wzór
tego przekształcenia.
2. Przedyskutować rozwiązalność układu w zależności od parametru
a.



ax
+
y + az = 1


 (1 − a)x + 2y + z = a
 ax − y + z = 1

x+y+z =1
x + (2 − a)y + z = 0 , b)
x − ay + z = 1
a)
, c)
.
(2 − a)x + (2 − a)y + z = 1




x + 2y + (1 − a)z = a
3x − 3y + 2z = 2a

2
ax + y + az = a
rozwiązalność
od parametrów a i b.
3. Przedyskutować
 układu w zależności 

 ax + by + 2z = 1
 ax + by + z = 1
 ax + y + z = 4
ax + (2b − 1)y + 3z = 1
x + aby + z = b , c)
x + by + z = 3 , b)
.
a)



ax + by + (b + 3)z = 2b − 1
x + by + az = 1
x + 2by + z = 4
4. Wyznaczyć jądra, obrazy oraz ich bazy podanych przekształceń liniowych:
(a) φ : R3 → R4 , φ((x, y, z)) = (2x − y − z, x + y + 4z, 2x + y + 5z, −x − z);
(b) φ : R4 → R3 , φ((x, y, z, t)) = (x + 2z + t, −2x + y − 3z − 5t, x − y + z + 4t).
5. Rozwiązać układ równań wykorzystując jedną z poznanych metod (znajdując rozwiązanie szczególne
i rozwiązując układ jednorodny lub metodą eliminacji Gaussa lub metodą wyznacznikową):

3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 7x5 = 1



6x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 5x5 = 2
b)
3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 − 11x5 = 1



6x1 +4x2 + x3 + 4x4 − 13x5 = 2

x1 − 10x2 + x3 + 2x4 − 2x5 + 2x6 = 1



 x1 − x2 + x3 − 2x4 + x5 = 0
2x1 − 25x2 + 2x3 + 5x4 − 5x5 + 5x6 = 1
3x1 + 4x2 − x3 + x4 + 3x5 = 1 , d)
c)
−15x2 + x3 + 3x4 − 3x5 + 3x6 = −1



x1 − 8x2 + 5x3 − 9x4 + x5 = −1

x1 + 5x2 + 3x3 − x4 + x5 − x6 = 8

 x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 3
x1 − 2x2 + x3 − x4 = 1 ,
a)

4x1 − 2x2 + x4 = 0
6. Rozwiązać układ równań w zależności od parametru a

 x1 + 2x2 − x3 = 3
x1 + x2 + (a + 3)x3 = 3
(a)

−2x1 + (a − 1)x2 = a − 4

ax1 + x2 + x3 + . . . + xn = 1





 x1 + ax2 + x3 + . . . + xn = 1
x1 + x2 + ax3 + . . . + xn = 1
(b)

..


.



x1 + x2 + x3 + . . . + axn = 1