Analiza Matematyczna 1

MAP9948
1
Analiza Matematyczna 1
Lista 10
1. Podane funkcje wymierne rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji
wymiernych właściwych:
x5 − 3x2 + x
x5 + 3
x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5
a) 3
,
b)
,
c)
,
x + 4x2 + 1
x5 + 4
x3 + 2x2 + 3x + 4
2. Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych
właściwych na rzeczywiste ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników):
x3 − 8x − 4
x2 + 2x − 7
,
b)
,
x3 (x − 1) (x + 5)2
(x2 + 4) (x2 + x + 3)3
x4 + x3
c)
.
(x + 3)2 (x2 − 4x + 5)2
a)
3. Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste
ułamki proste:
x2
4x
12
, b) 4
, c)
,
(x − 1) (x − 2) (x − 3)
x −1
(x + 1) (x2 + 1)2
1
x2 + 1
x2 + 2x
,
e)
,
f)
.
d)
x3 + x
(x2 + 2x + 2)2
x3 (x + 1)2
a)
4. Obliczyć całki:
Z
Z
Z
x(x + 2) dx
x2 dx
dx
,
(b)
,
(c)
,
(a)
x2 + 2x + 8
x2 + 2x + 2
x2 + 2x + 5
Z
Z
Z
x dx
dx
2x4 + 5x2 − 2
(d)
,
(e)
,
(f)
dx,
x3 + 1
x3 − 4x
2x3 − x − 1
Z
Z
Z
3x + 4
3x2 + 2x − 3
(x + 1)3
(g)
dx,
(h)
dx,
(i)
dx,
x2 − x − 2
x3 − x
x2 − x
Z
Z
Z
dx
2x + 5
2x2 − 5x + 1
(j)
,
(k)
dx,
(l)
dx,
x4 − x3 + x2
(x − 2)2
x3 − 2x2 + x
Z
Z
Z
x2
2x2 + x + 4
5x + 2
(m)
dx,
(n)
dx,
(o)
dx.
x2 + 2x + 10
(x − 2)
x3 + x2 + 4x + 4