matematyka - Gazeta.pl

MATURA PRÓBNA 2002
OKRĘGOWA
K O M I S J A
EGZAMINACYJNA
w KRAKOWIE
MATEMATYKA
ZADANIA – ZESTAW M I
INSTRUKCJA DLA UCZNIA
przystępującego do próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki
1. Należy rozwiązać trzy zadania spośród pięciu. Na pierwszej stronie czystopisu należy podać numery wybranych
zadań pisząc:
“Do oceny przedstawiam rozwiązania zadań o numerach ...”
2. Czas przeznaczony na rozwiązanie zadań to pięć godzin zegarowych.
3. Rozwiązując zadania, należy wykonać i zapisać wszystkie niezbędne etapy rozwiązania, starając się o ich
odpowiednie skomentowanie. W szczególności istotne jest podsumowanie poszczególnych etapów rozwiązania
zadania i udzielenie końcowej odpowiedzi, dotyczącej rozwiązywanego problemu.
4. Należy dbać o czytelność pracy. Nie można stosować korektorów. Zaleca się unikania kolorów zielonego
(stosuje go Komisja odbierająca pracę) i czerwonego (stosuje go egzaminator oceniający pracę).
5. Wszystkie istotne obliczenia i rysunki powinny się znaleźć w czystopisie. Uczeń, który nie zdąży przepisać
kompletnego rozwiązania do czystopisu, powinien wskazać ten fragment brudnopisu, który ma być poddany
ocenie. Odpowiednią kartkę brudnopisu dołącza się do czystopisu. Pozostałą część brudnopisu odłącza się od
pracy i nie uwzględnia przy jej ocenie.
6. Uczeń może wykorzystać wzory zawarte w przygotowanych przez Komisję Egzaminacyjną tablicach
matematycznych. Może też posłużyć się kalkulatorem. W czasie egzaminu nie można korzystać z kalkulatorów
graficznych.
7. Przy temacie każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą można uzyskać za jego poprawne
rozwiązanie (8, 10 lub 12 punktów).
8. Warunkiem koniecznym dla uzyskania pozytywnej oceny z pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki jest
uzyskanie za rozwiązanie jednego zadania co najmniej 7 punktów przy łącznej sumie punktów (za rozwiązanie
trzech zadań) nie mniejszej niż 12. Przy ustalaniu wyniku egzaminu stosuje się poniższą tabelę:
Stopień
Liczba punktów
niedostateczny
0 — 11
dopuszczający
12 — 15
dostateczny
16 — 21
dobry
22 — 26
bardzo dobry
27 — 30
celujący
31 — 32
222
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie – Matura próbna – marzec 2002
Zadanie 1 (8 punktów)
Państwo Kowalscy mają 5 000 zł ulokowane na koncie w banku i zamierzają część tych
pieniędzy przeznaczyć na zakup mebli, a pozostałą kwotę pozostawić na koncie. Bank
gwarantuje przez najbliższe dwa lata stałe oprocentowanie konta w wysokości 8% w skali
roku oraz naliczanie i kapitalizację odsetek po zakończeniu każdego kwartału.
Meble można nabyć wpłacając jednorazowo kwotę 4 000 zł albo dokonać zakupu na raty.
Kupując na raty należy przy odbiorze mebli wpłacić 2 000 zł, a sześć rat, po 350 zł każda,
powinno być zapłaconych niezwłocznie po upływie kolejnych kwartałów. Zbadaj, przy
którym sposobie płacenia za meble państwo Kowalscy mieliby na koncie, po 18 miesiącach
od momentu zakupu mebli, więcej pieniędzy i o ile więcej.
Przyjmij założenie, że w przypadku wypłacania pieniędzy z konta, bank nie zmienia
warunków oprocentowania. Odpowiedź uzasadnij przeprowadzając odpowiednie obliczenia,
wyniki podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Uwaga: Kapitalizacja odsetek to powiększanie podstawy naliczania odsetek od pieniędzy złożonych na
rachunku bankowym. Odsetki po określonym okresie oszczędzania zostają dopisane do kwoty podstawowej,
wpłacanej na początku i suma kwoty początkowej plus odsetki od niej stanowią w następnym okresie podstawę
do naliczania odsetek.
Zadanie 2 (10 punktów)
Dane jest równanie 2 x + (m + 2) ⋅ (2 − x − 1) = 0, gdzie x ∈ R.
Dla jakiej wartości parametru m wyrażenie
(2 x1 + 2 x2 ) 2
x
2 1 ⋅ 2 x2 − 3
pierwiastkami danego równania, osiąga wartość najmniejszą?
, gdzie x1 , x 2 są różnymi
Zadanie 3 (10 punktów)
Na okręgu o równaniu x 2 + y 2 − 4 x − 7 y + 14 = 0 opisano trójkąt równoramienny ABC ,
w którym
A = (−1, 2) i
AC = BC . Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta przy
wierzchołku B przecina ramię AC trójkąta w punkcie K .
a) Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C trójkąta ABC wiedząc, że podstawa
AB zawarta jest w prostej o równaniu y = 2 .
b) Oblicz pole czworokąta ASBK , gdzie S jest środkiem okręgu stycznego do prostych
AC i BC odpowiednio w punktach A i B .
strona 2 z 3
223
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie – Matura próbna – marzec 2002
Zadanie 4 (10 punktów)
W urnie jest trzy razy więcej kul białych niż czarnych. Gdyby z urny losowano trzy razy po
jednej kuli, zwracając po każdym losowaniu wylosowaną kulę do urny i jednocześnie
dokładając dwie kule tego samego koloru co zwracana kula, to prawdopodobieństwo
wylosowania trzech kul czarnych wynosiłoby
1
30
. Z urny usunięto pewną liczbę kul białych
i dołożono taką samą liczbę kul czarnych. Losujemy trzykrotnie po jednej kuli nie zwracając
wylosowanej kuli do urny. Ile kul białych można usunąć z urny, aby prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwa razy wylosujemy kulę czarną nie było
mniejsze od 0,4 ?
Zadanie 5 (12 punktów)
Dany jest prawidłowy ostrosłup czworokątny o krawędzi bocznej długości b , w którym
suma kwadratu tangensa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
i kwadratu tangensa kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego
ostrosłupa wynosi 3.
a) Oblicz objętość ostrosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami
bocznymi ostrosłupa.
b) Przez krawędź podstawy ostrosłupa przeprowadzono płaszczyznę prostopadłą do
przeciwległej ściany bocznej. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
224
strona 3 z 3