4.5. Momenty zmiennych losowych o słynnych rozkładach

Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Rachunek prawdopodobieństwa
Rozdział 4. Zmienne losowe
4.5. Momenty zmiennych losowych o słynnych rozkładach
Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Rozkłady dyskretne
rozkład dwupunktowy (Bernoulliego). . .
X ∼ Be(p)
X – liczy liczbę sukcesów w pojedynczej próbie Bernoulliego z
prawdopodobieństwem sukcesu p, 0 ¬ p ¬ 1
P (X = 0) = 1 − p,
P (X = 1) = p,
EX = p,
VarX = p(1 − p)
Dowód:
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
X ∼ Bin(n, p)
X oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego z n
doświadczeniami i prawdopodobieństwem sukcesu p
!
P(X = k) =
n k
p (1 − p)n−k ,
k
EX = np,
dla k = 0, 1, . . . , n
VarX = np(1 − p)
Dowód wzoru na wartość oczekiwaną: ...
Przypomnienie
E(X1 + X2 + . . . + Xn ) = EX1 + EX2 + . . . + EXn .
Poprawność wzoru na wariancję pokażemy przy innej okazji.
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
Rozkład Poissona
X ∼ Po(λ).
Zmienna o rozkładzie Poissona z parametrem λ > 0
jest dobrym przybliżeniem zmiennej losowej o rozkładzie
dwumianowym z parametrami n i p (dla „dużych” n i „małych” p)
P(X = k) =
λk −λ
e
k!
k = 0, 1, 2, . . .
EX = λ,
VarX = λ
Uzasadnienie wzorów z definicji: ...
Przypomnienie z analizy:
P∞ x t
x
t=0 t! = e
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
rozkład geometryczny z parametrem 0 < p ¬ 1. . .
X oznacza liczbę prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem
sukcesu p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1,
wykonanych do uzyskania pierwszego sukcesu.
P(X = k) = (1 − p)k−1 p,
EX =
1
,
p
dla k = 1, 2, 3 . . .
VarX =
1−p
p2
Uzasadnienie dla wartości oczekiwanej: ...
Przypomnienie
Dla X skupionej na nieujemnych liczbach całkowitych
P
EX = ∞
n=1 P (X ­ n) .
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
rozkład ujemny dwumianowy
X – liczba prób do uzyskania r –tego sukcesu
Zmienna o rozkładzie ujemnym dwumianowym z para
!
P(X = k) =
k −1
(1 − p)k−r p r ,
r −1
EX =
r
,
p
dla k = r , r + 1, r + 2, . . .
VarX =
r (1 − p)
p2
Dowód wzoru na wartość oczekiwaną: ...
Przypomnienie
E(X1 + X2 + . . . + Xn ) = EX1 + EX2 + . . . + EXn .
Poprawność wzoru na wariancję pokażemy przy innej okazji.
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
Uwaga
W klasycznych opracowaniach i podręcznikach rozkład ujemny
dwumianowy definiuje się jako rozkład zmiennej losowej równej
liczbie sukcesów w eksperymencie polegającym na oczekiwaniu na
r –tą porażkę.
X –liczba prób do uzyskania r-tego sukcesu;
Y –liczba porażek do uzyskania r-tego sukcesu;
Z –liczba sukcesów do uzyskania r-tej porażki;
EX =
r
,
p
VarX =
r (1 − p)
p2
Przypomnienie
E(aX + b) = aEX + b,
Var(aX + b) = a2 VarX ..
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
Uwaga
W klasycznych opracowaniach i podręcznikach rozkład ujemny
dwumianowy definiuje się jako rozkład zmiennej losowej równej
liczbie sukcesów w eksperymencie polegającym na oczekiwaniu na
r –tą porażkę.
X –liczba prób do uzyskania r-tego sukcesu;
Y –liczba porażek do uzyskania r-tego sukcesu;
Z –liczba sukcesów do uzyskania r-tej porażki;
EX =
EZ =
r
,
p
rp
,
1−p
VarX =
r (1 − p)
p2
VarZ =
rp
(1 − p)2
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady dyskretne
rozkład hipergeometryczny
X – liczba elementów specjalnych w przypadku losowania n
różnych elementów z urny, w której jest N elementów w tym m
elementów specjalnych (n ¬ m, N − m) różnych elementów
P(X = k) =
EX = n
m
,
N
m N−m
k
n−k
N
n
dla k = 0, 1, . . . , n
VarX = n
mN −mN −n
N N N −1
Dowód wzoru na wartość oczekiwaną: ...
Przypomnienie
E(X1 + X2 + . . . + Xn ) = EX1 + EX2 + . . . + EXn .
Poprawność wzoru na wariancję pokażemy przy innej okazji.
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady ciągłe
Rozkład jednostajny na odcinku [a, b]. . .
to rozkład zadany gęstością
(
f (x) =
1
b−a
0
dla a ¬ x ¬ b
w przeciwnym wypadku
−→prawdopodobieństwo geometryczne!
F (x) =


0

x−a
 b−a

1
a+b
,
2
Uzasadnienie wzorów: ...
EX =
dla x < a,
dla a ¬ x ¬ b,
dla x > b
VarX =
(a − b)2
.
12
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady ciągłe
Rozkład wykładniczy z parametrem λ. . .
to rozkład zadany gęstością
(
f (x) =
λe −λx
0
(
dla x ­ 0
w p.p.
F (x) =
1
,
λ
VarX =
EX =
0
1 − e −λx
1
.
λ2
Uzasadnienie:
Przypomnienie
Jeżeli X ­ 0 oraz p > 0, to
EX p = p
Z +∞
0
t p−1 P(X > t)dt,
dla x < 0,
dla x ­ 0,
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Rozkłady ciągłe
rozkład normalny N(m, σ 2 ). . .
to rozkład z gęstością
f (x) = √
EX = µ,
VarX = σ 2
1
2πσ 2
e−
(x−µ)2
2σ 2
Rozkłady dyskretne
Rozkłady ciągłe
Podsumowanie
Podsumowanie
Zmienne losowe - podsumowanie
zmienna losowa X
o rozkładzie dyskretnym
o rozkładzie ciągłym
definicja
skupiona na przeliczalnej liczbie wartości
(atomów)
A = {x1 , x2 , . . .}
istnieje funkcja f (gęstość) taka, że
opis rozkładu
podanie prawdopodobieństw atomów
P (X = x) dla x ∈ A = {x1 , x2 , . . .}
podanie gęstości
f : R → R+
P (X ∈ B) =
P
R
własności rozkładu
Jeśli A–zb. atomów
P
P (X = x) = 1
x∈A
P
F (s, t) =
dystrybuanta
w punkcie
s ∈R
Eh(X ) =
x∈B
=
P (X = x)
x¬s
P
i
P (X = x)
h(xi )P (X = xi )
P (X ∈ B) =
B
R
B
f (x, y ) dx
f (x)dx
f (x) ­ 0, (x) ∈ R
R
f (x)dx = 1
RRs
−∞
R∞
−∞
f (x)dx
h(x)f (x)dx