2. Próbkowanie równomierne

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-1-
2003
2. Próbkowanie równomierne
Wprowadzenie
Próbkowanie równomierne, jest procesem konwersji sygnału analogowego (o czasie ciągłym) do postaci próbek pobieranych
w równych odstępach czasu. Próbkowanie przeprowadza się poprzez podanie na wejście przetwornika analogowo-cyfrowego (A/C)
sygnału ciągłego. Na jego wyjściu otrzymuje się ciąg wartości liczbowych.
Sygnał analogowy można próbkować z dowolną szybkością. Należy sobie jednak zadać pytanie, na ile dobrze te wartości
reprezentują sygnał oryginalny. Odpowiedź na to pytanie daje teoria próbkowania.
przetwornik A/C
Proces konwersji analogowo-cyfrowej można
podzielić na trzy podstawowe etapy:
filtr
antyaliasingowy
próbkowanie
pamiętanie
• filtrowanie antyaliasingowe
• próbkowanie
• pamiętanie
wejściowy
sygnał
analogowy
przefiltrowany
sygnał
analogowy
sygnał
dyskretny
sygnał
cyfrowy
Rys. 2.1. Proces konwersji analogowo-cyfrowej
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-2-
2003
Filtrowanie antyaliasingowe
Widmo rzeczywistych sygnałów jest ze względu na zniekształcenia i szumy bardzo szerokie. Filtrowanie antyalisingowe,
dolnoprzepustowym filtrem analogowym stosowane jest w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywistego sygnału.
Zastosowanie tego typu filtracji ma na celu zapobieżenie zjawisku nakładania się widm powstających w wyniku ich powielania
podczas wykonywania próbkowania sygnału.
sygnał
szum
szum
f
-B
B
f
-2fp
-fp
0
fp
2fp
Rys. 2.2 Powielenia widmowe (brak filtru antyaliasingowego)
Na rys. 2.2 pokazano widmo ciągłe sygnału o szerokości pasma B zawierającego szum oraz efekt nakładania się widm sygnału i
szumu w wyniku próbkowania przebiegu. Taki efekt zniekształcenia widma występuje w wyniku braku filtru antyaliasingowego.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-3-
2003
charakterystyka filtru
antyaliasingowego
szum
szum
f
-B
B
f
-2fp
-fp
0
fp
2fp
Rys. 2.3 Efekt zastosowania filtru antyaliasingowego
Rys. 2.3 przedstawia przypadek zastosowania filtru analogowego dolnoprzepustowego o częstotliwości odcięcia równej B przy tej
samej częstotliwości próbkowania fp.
Zastosowanie filtru analogowego dolnoprzepustowego pozwala unikać nakładania się widm.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-4-
2003
Próbkowanie sygnałów dolnopasmowych
Pytanie:
Czy znając jedynie zbiór próbek sygnału f[n] : n=...,-2,-1,0,1,2,3,... oddalonych o przedział próbkowania Tp możemy dokładnie
odtworzyć sygnał analogowy ?
Inaczej mówiąc czy dysponujemy informacją o zachowaniu się sygnału między danymi próbkami ?
Odpowiedź:
W ogólnym przepadku NIE ! (jest to oczywiste)
Ale:
Jeżeli jednak sygnał próbkowany spełniałby pewien dodatkowy warunek odpowiedź może brzmieć TAK.
Ten dodatkowy warunek dotyczy szybkości zmian przebiegu, który jeżeli analizujemy sygnał w dziedzinie częstotliwości jest
związany z szerokością pasma sygnału.
Jeżeli sygnał nie może się szybko zmieniać to znaczy, że nie zawiera składowych o dużych częstotliwościach powyżej częstotliwości
B, sygnał ma ograniczone pasmo.
W praktyce termin sygnał o ograniczonym paśmie oznacza jedynie to, że energia zawarta w sygnale poza zakresem ±B jest poniżej
czułości naszego systemu.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-5-
2003
Twierdzenie o próbkowaniu (Shannona)
Niech f(t) będzie sygnałem ciągłym, którego widmo spełnia warunek ograniczonego pasma 1:
F ( jω ) = 0 dla ω ≥ 2π B
(2.1)
Zgodnie z kryterium Nyquista, sygnał f(t) można odtworzyć z pełną dokładnością z jego próbek gdy częstotliwość próbkowania
spełnia zależność:
f p ≥ 2B
ω p ≥ 4π B
(2.2)
Częstotliwość B wyznaczającą szerokość widma sygnału nazywa się częstotliwością Nyquista.
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek przedstawiono na wykresach (rys.2.4-rys.2.6).
Rozpatrzymy trzy różne przypadki wyboru częstotliwości próbkowania:
•
f p = 2B
(2.3)
•
f p > 2B
(2.4)
•
f p < 2B
(2.5)
Ostatni przypadek jest niezgodny z twierdzeniem o próbkowaniu. Z tak wybranych próbek nie można odtworzyć oryginalnego sygnału
analogowego. Przyczyną jest nakładanie się powielanych widm i ich nieodwracalne zniekształcenie.
1
Widmo nie zawiera dystrybucji w punktach ±B
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
f p = 2B
-6-
2003
Jest to przypadek graniczny. Powielane widma stykają się ze sobą.
f(t)
ω 
F 
 2π 
f
t
0
0
d(t)
ω 
D 
 2π 
2π
1
f
t
0
f p = 2B
Tp
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )
0
2B
fp
ω
F *
 2π

ω
 = F

 2π

ω 
 ∗ D


 2π 
f
t
0
0
fp
h(t)
1
-2Tp
-3Tp
2Tp
0
-Tp
Tp
ω 
H

 2π 
f
t
3Tp
-B
f (t ) = h(t ) ∗ f * (t )
0
ω 
ω 
ω 
F
 = H   ⋅ F * 
 2π 
 2π 
 2π 
f
t
0
B
0
Rys. 2.4. Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla f p = 2 B
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
f p > 2B
-7-
2003
Powielane widma są rozłączne.
f(t)
ω 
F

 2π 
f
t
0
0
d(t)
ω 
D

 2π 
2π
1
f
t
0
0
f p > 2B
Tp
2B
fp
ω
F *
 2π
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )

ω
 = F

 2π

ω 
 ∗ D 

 2π 
f
t
0
0
fp
h(t)
1
-2Tp
-3Tp
2Tp
0
-Tp
Tp
ω 
H

 2π 
f
t
3Tp
-B
f (t ) = h(t ) ∗ f * (t )
0
ω 
ω 
ω 
F
 = H   ⋅ F * 
 2π 
 2π 
 2π 
f
t
0
B
0
Rys. 2.5. Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla f p > 2 B
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
f p < 2B
-8-
2003
Widma nakładają się.
f(t)
ω 
F

 2π 
f
t
0
0
d(t)
ω 
D

 2π 
2π
1
f
t
0
f p < 2B
Tp
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )
0
2B
fp
ω
F *
 2π

ω
 = F

 2π

ω 
 ∗ D 

 2π 
f
t
0
0
fp
h(t)
1
-2Tp
-3Tp
2Tp
0
-Tp
Tp
ω 
H

 2π 
f
t
3Tp
-B
f (t ) = h(t ) ∗ f * (t )
0
B
ω 
ω 
ω 
F
 = H   ⋅ F * 
 2π 
 2π 
 2π 
f
t
0
aliasing
0
Rys. 2.6. Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla f p < 2 B
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-9-
Przykład:
2003
f (t )
Dany jest ciąg próbek, oraz wiadomo, że reprezentują one wartości
chwilowe pewnego przebiegu sinusoidalnego. Pobrane są w równych
odstępach czasu. Zadanie polega na odtworzeniu przebiegu ( wyznaczeniu
jego parametrów – amplitudy i częstotliwości ).
0.866
f p = 6 Hz
t
Tp
-0.866
X[0]
0
X[1]
0.866
X[2]
0.866
X[3]
0
X[4]
-0.866
X[5]
-0.866
X[6]
f (t )
1Hz
0
f p > 2 f1
t
Tp
Jeżeli ciąg reprezentuje próbki przebiegu sinusoidalnego to nie
można jednoznacznie określić tego przebiegu jedynie z próbek.
Wymagana jest dodatkowa informacja.
T1
f (t )
7Hz
f p < 2 f1
Jeżeli założymy, że próbkowanie wykonano zgodnie z kryterium
Nyquista, to oryginalnym przebiegiem jest sinusoida o częstotliwości 1Hz.
t
Tp
T1
Rys. 2.7. Odtwarzanie sygnału analogowego
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-10-
2003
Zadanie 1:
Ile minimalnie próbek należy pobierać w okresie sygnału sinusoidalnego zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu ?
Oznaczmy częstotliwość sinusoidy f1. Zgodnie z kryterium Nyquista częstotliwość próbkowania musi być tak wybrana aby spełniony był
warunek2:
f p > 2 f1
Zatem
fp
T
n= 1 >2
nmin = 3
>2
Tp
f1
Odp: Minimalna liczba próbek, pobierana w okresie sinusoidy wynosi 3. Wtedy można w sposób jednoznaczny odtworzyć sinusoidę z
próbek.
Zadanie 2:
Sygnał ma ograniczone pasmo do B=1000Hz. Jaką minimalną liczbę próbek należy pobierać w przedziale czasu T=0.02s, aby można
było z tych próbek jednoznacznie odtworzyć przebieg?
Zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu
f p ≥ 2B
n=
T1
= T1 f p ≥ T1 2 B
Tp
n ≥ 0.02 ⋅ 2 ⋅ 1000
n ≥ 40
Odp: Minimalna liczba próbek wynosi 40.
2
W tym przypadku ponieważ na granicy pasma pojawia się dystrybucja, wymagana jest ostra nierówność.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-11-
2003
Próbkowanie sygnałów pasmowych
W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej
częstotliwości różnej od zera. Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosować próbkowanie dolnopasmowe, jednak zastosowanie
specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie zmniejszyć koszty realizacji sprzętowej, polegającej na
zmniejszeniu szybkości przetwornika A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek.
Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma
B=5kHz, skupiony wokół częstotliwości fc=20kHz.
ω 
F 
 2π 
Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa
składowa częstotliwościowa w sygnale ma wartość 22,5kHz
należy próbkować sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż 45kHz.
B
=5kHz
f
-fc
Na rysunku 2.8 pokazano skutki próbkowania tego
sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą, równą 17,5kHz.
0
fc
=20kHz
ω 
F *

 2π 
Można zauważyć, że mimo mniejszej częstotliwości
próbkowania powielenia widma nie zniekształcają widma
oryginalnego skupionego wokół częstotliwości fc.
Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z
częstotliwością 45kHz nie jest konieczne.
f p = fc −
B
2
f
-fc
fp
0
fp
fc
fp
=17,5 kHz
fp
Rys. 2.8. Widmo sygnału pasmowego analogowego i dyskretnego
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-12-
2003
Wyprowadzimy ogólne zależności dotyczące próbkowania pasmowego.
Mamy ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej fc. Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością fp.
Przy arbitralnej liczbie powieleń m (na rysunku 2.9. m=8 ) w przedziale 2fc-B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością fp1
taką że:
mf p1 = 2 f c − B
f p1 =
(2.6)
2 fc − B
m
(2.7)
Jeżeli szybkość próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy dolną granicę częstotliwości próbkowania fp2:
( m + 1) f p 2 = 2 f
f p2 =
+B
(2.8)
2 fc + B
m +1
(2.9)
c
W ten sposób otrzymujemy zależność definiującą zakres częstotliwości próbkowania pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału,
częstotliwości nośnej i liczby powieleń
2 fc + B
2f −B
≤ fp ≤ c
m +1
m
(2.10)
przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w odniesieniu do szerokości pasma sygnału
f p ≥ 2B .
(2.11)
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-13-
2003
ω 
F

 2π 
2 fc − B
0
-fc
fp1
fc
f
fc
f
fp1
ω 
F

 2π 
2 fc + B
-fc
0
fp2
fp2
Rys. 2.9. Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc-B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością fp1, , w przedziale 2fc+B
sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością fp2,
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-14-
2003
Przykład:
Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20kHz.
m
(2fc-B)/m
(2fc+B)/(m+1)
Optymalne fp
1
35,0 kHz
22,5 kHz
22,5 kHz
2
17,5 kHz
15,0 kHz
17,5 kHz
3
11,66 kHz
11,25 kHz
11,25 kHz
4
8,75 kHz
9,0 kHz
-
5
7,0 kHz
7,5 kHz
-
Jak wynika z tabeli częstotliwość próbkowania nie może być mniejsza niż 11,25kHz.
Za optymalną częstotliwość próbkowania przyjęto taką przy której powielenia widma stykają się ze sobą jedynie w punkcie f = 0Hz. Przy
tak przyjętej częstotliwości próbkowania błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne.
Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie sygnału do szerokości pasma
R=
fc +
B
B
2
(2.11)
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-15-
2003
Wykreślimy zależność minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych wartości m
( m + 1) f
= 2 fc + B
B
( m + 1) f p 2 f c + 2
=
2B
B
( m + 1) f p 2
=R
2B
p2
ozn: f p min = f p 2
f p min
2
R
=
B
( m + 1)
(2.12)
f p min
B
m
=0
4
m
=1
3
2,25
2
2
m=
3
m=
m=4
m=5
R
1
2
3
4 4,5 5
6
7
8
9
Rys. 2.10. Minimalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości m
Z wykresu wynika, że niezależnie od R minimalna częstotliwość próbkowania nie przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy
zwiększaniu częstotliwości nośnej (wzrost R). Taki wniosek może być zaskakujący!.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-16-
2003
Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwość z góry (maksymalną) otrzymamy obszary częstotliwości
zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią wartością parametru m.
mf p1 = 2 f c − B
mf p1
+1 = R
2B
f p1 = f p max
f p max
B
=
pr
do óbko
lno wa
pas nie
mo
we
m
B
6
(2.13)
=1
fp
2
( R − 1)
m
2
m=
m=
4
3
m=4
2
R
strefa zakazana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Rys. 2.11. Minimalna i maksymalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości m
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-17-
2003
Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosować częstotliwości próbkowania, które leżą na granicy strefy zakazanej i
dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy wybierać częstotliwości nieco oddalone od tych granic.
Takie postępowanie pozwala uniknąć np. problemów związanych z niedokładnością filtrów pasmowych, niestabilnością zegara
układu próbkującego itp.
Przykład:
Wracając do przebiegu przykładowego o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20kHz.
5
20 +
2 = 4.5
R=
5
Z wykresu można odczytać dla tej wartości R, minimalną akceptowalną częstotliwość próbkowania. Wynosi ona przy m=3 ( powielenia
widma ) 2.25B, czyli 11.25kHz co jest zgodne z wartością wyznaczoną w tabeli.
Zadanie:
Przebiegu o szerokości pasma B=200Hz i częstotliwości nośnej fc=1000Hz.
Jaką minimalną częstotliwość próbkowania można stosować ?
Czy można stosować częstotliwość próbkowania pasmowego fp=400Hz, 800Hz, 1600Hz ?
Jak uwzględnić błąd częstotliwości próbkowania związany z niedokładnością zegara ?
Czy można także uwzględnić niedokładności filtru antyaliasingowego ?
R=
200
2 = 5.5
200
1000 +
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-18-
=1
fp
2003
m
B
2
m=
∆f p = ±100 Hz
6
m=
4
3
m=4
2
∆B = 900 ÷ 1100 Hz
strefa zakazana
1
2
3
4
5
6
7
8
R
9
Jak wynika z wykresu dla R=5.5 minimalna częstotliwość próbkowania przy m=4 wynosi
f p min =
2 ⋅ 1000 + 200
= 440 Hz
4 +1
Nie jest możliwe próbkowanie z częstotliwością 400Hz, natomiast możliwe z 800Hz i 1600Hz.
Przy fp=1600Hz na wykresie zaznaczono zakres dopuszczalnego błędu próbkowania.
Podobnie jak błąd zegara można określić tzw. pasmo ochronne ( w osi parametru ) R przy ustalonej szerokości pasma B
1
1


B Rmin −  < ∆f < B Rmax − 
2
2


900 Hz < ∆f < 1100 Hz
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-19-
Przetworniki analogowo-cyfrowe
Przetworniki z równoczesną komparacją
(„przetworniki fleszowe”):
Zasadę działania jednostopniowego przetwornika a/c z
równoczesną komparacją przedstawia rysunek 2.12.
Przetwornik o długości słowa n (w przykładzie n=2) bitów
zawiera 2n − 1 komparatorów, porównujących amplitudę sygnału
wejściowego UX z odpowiednimi częściami napięcia odniesienia
UN, uzyskiwanymi z kolejnych wyjść dzielnika, złożonego z n
jednakowych rezystorów.
Kod
sygnałów
wyjściowych
przekształcany na kod dwójkowy.
komparatorów
jest
Zaletą jest duża szybkość działania, wadą znaczny pobór mocy i
duże wymiary struktury, szybko rosnące przy powiększaniu
rozdzielczości:
Liczba bitów przetwornika
2
8
10
Liczba komparatorów
3
255
2047
Zasada równoczesnej komparacji jest wykorzystywana bo budowy najszybszych przetworników 8 – 10 bitowych.
2003
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-20-
2003
Dwustopniowy przetworniki z równoczesną komparacją:
Szybkie przetworniki o rozdzielczości większej
niż 8 bitów wymagają stosowania komparacji
dwustopniowej.
Cykl przetwarzania składa się z dwóch faz:
• W pierwszej fazie ustalana jest za pomocą
równoczesnego przetwornika a/c wartość
najbardziej znaczących bitów wyniku (w
przykładzie 4 bity).
• Wynik pierwszego przetwarzania jest za pomocą
pomocniczego przetwornika c/a zamieniany
odpowiadającą mu wartość sygnału analogowego i
odejmowany od sygnału wejściowego.
• Różnica jest przetwarzana za pomocą drugiego
równoczesnego przetwornika a/c (w przykładzie
również 4 bitowego), tworząc mniej znaczącą
część bitów wyniku.
Cykl przetwarzania jest 2 razy dłuższy niż w jednostopniowych, jednak wymaga znacznie mniej komparatorów Realizacja
przetwornika 8 bitowego wymaga 30 komparatorów, czyli znacznie mniej niż 255, dlatego szybkie przetworniki a/c 8..14 bitowe są
budowane jako 2 i 3 stopniowe.
Np. 12 bitowy, 3 stopniowy przetwornik równoległy AD9022 (Analog Devices) przetwarza sygnał z szybkością 20Mp/s (milionów
próbek na sekundę).
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
Przetworniki z wagową komparacją (przetworniki
kompensacyjne):
W przetwornikach analogowo cyfrowych o średniej szybkości
działania 105-107 b/s najczęściej stosuje się zasadę wagowej komparacji
sygnału wejściowego z kolejno malejącymi przyrostami napięcia
odniesienia.
W zależności od wyniku komparacji po wykonaniu tego kroku
najbardziej znaczący bit wyniku jest w stanie włączonym lub zerowany.
Dla przykładowego przetwornika 5 bitowego
• W pierwszym kroku napięcie wejściowe UX jest większe niż napięcie
odniesienia. (Podczas pierwszego kroku napięcie wzorcowe odpowiada
połowie całego zakresu przetwarzania przetwornika. )
• Najbardziej znaczący bit wyniku przyjmuje wartość „1”, następuje
zwiększenie napięcia odniesienia o ¼ zakresu i porównanie w drugim
kroku.
• Napięcie wejściowe jest poniżej napięcia wzorcowego, wynik
komparacji wynosi „0”.Zatem w dwóch cyklach określono wartość
napięcia na poziomie „10”.
• Itd...
Pełny cykl przetwarzania n bitowego przetwornika składa się z n cykli
zegarowych.
-21-
2003
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-22-
2003
Przetworniki nadpróbkujące (przetworniki sigma-delta)
W ostatnich latach szerokie zastosowanie zdobyły przetworniki z modulatorami sigma-delta wykorzystujące napróbkowywanie
przetwarzanego sygnału. Nadpróbkowywanie zapewnia możliwość osiągania wysokiej rozdzielczości. Stosowana jednobitowa kwantyzacja
sigma-delta stosuje rozwinięcie metody znanej jako modulacja delta. Modulacja ta opiera się o kwantyzację różnicy między wartościami
kolejnych próbek a nie wartości absolutnej wartości próbki sygnału.
Modulacja sigma-delta osiągnięta jest przez przesunięcie drugiego układu całkującego z demodulatora do stopnia wejściowego
modulatora.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-23-
2003
Strukturę prostego przetwornika napróbkującego przedstawia rysunek. Modulator sigma-delta złożony z integratora, komparatora i
prostego, zwykle jednobitowego przetwornika c/a, zamienia sygnał wejściowy na ciąg impulsów zero-jedynkowych o częstotliwości
generatora zegarowego.
Przetwornik sigma-delta wykorzystuje kwantyzator 1-bitowy, przetwarzania odbywa się z szybkością wielokrotnie przekraczającą
częstotliwość Nyquista. Po procesie próbkowania następuje decymacja, co prowadzi do obniżenia częstotliwości próbkowania.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-24-
2003
a) Przetworniki z równoczesną komparacją b) Przetworniki z wagową komparacją c) Przetworniki nadpróbkujące