Elektrodynamika klasyczna.

Elektrodynamika klasyczna.
Jacek Dziarmaga
Pokój: 437 B
E-mail: [email protected]
~E
~ = ρ,
∇
1. Zapisać jednowymiarowe równanie falowe (c−2 ∂t2 −
przy pomocy zmiennych x± = x ± ct.
Wykazać, że dowolne rozwia‘zanie tego równania ma
postać u(x, t) = f (x+ ) + g(x− ). Wyrazić funkcje f, g
przez warunki pocza‘tkowe dla u(x, t) przy t = 0.
2. Jakie warunki musza‘ spelniać funkcje wektorowe
~
~ = f~(~n~r −
f (ξ), ~g (ξ) zmiennej rzeczywistej ξ, aby pola E
~
ct) i B = ~g (~n~r − ct) byly rozwiazaniami równań
∂x2 )u(x, t)
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 1~j,
∇
c ∂t
c
~
~
∇B = 0,
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
wyprowadzić równania falowe
‘
Maxwella. Zakladamy, ze wektor ~n jest staly oraz ρ = 0
i ~j = 0.
3. Bezźródlowe równania Maxwella maja‘ rozwia‘zania
~ = E
~ 0 f (t)ei~k~r oraz B
~ = B
~ 0 g(t)ei~k~r , gdzie
postaci E
~ 0, B
~ 0 , ~k sa stalymi wektorami rzeczywistymi. Jakie
E
warunki na te stale wektory wynikaja‘ z równań Maxwella
z dywergencjami? Znaleźć postać funkcji f, g zgodna‘ z
równaniami Faradaya i Maxwella.
4. Rzeczywista funkcja H(~x, t) spelnia 3-wymiarowe
równanie falowe oraz warunki pocza‘tkowe:
~ = −1∇
~ × ~j,
2B
c
~
~ = ∇ρ
~ + 1 ∂j ,
2E
c2 ∂t
2
przetransfromowac równania (1) i (2) do przestrzeni
~ E(~
~ x, t) = ρ(~x, t) przyjFouriera, gdzie np. równanie ∇
˜
˜
˜~ ~
~ ~k, t) = ρ(~k, t). Jaki warunek na E(
muje postać i~k E(
k, t)
~
wynika z faktu, że pole E(~x, t) jest rzeczywiste? Znaleźć
ogólne zespolone rozwia‘zanie bezźródlowych (ρ = 0,
~j = 0) równań falowych (2) w przestrzeni Fouriera. Jakie zwia‘zki musza‘ zachodzić, aby uzyskane
rozwia‘zanie bylo również rozwia‘zaniem (bezźródlowych)
równań Maxwella (1) ? Korzystaja‘c z rozwiazania
napisać ogólne rozwia‘zanie w przestrzeni rzeczywistej.
7. [Egzamin] Pokazać, ze monochromatyczna fala
plaska o określonym wektorze falowym ~k jest superpozycja dwu fal spolaryzowanych
a) liniowo w kierunkach wzajemnie prostopadlych,
b) kolowo, z przeciwnymi skre‘tnościami.
8. Zakladaja‘c równanie materialowe dla przewodnika
~ (prawo Ohma), znależć rozwiazanie równań
~j = σ E
Prosze‘ wyprowadzić wzór Kirchoffa dla t > 0,
Z
1
1
H(~x, t) =
d3 y
4πc
|~x − ~y |
[h(~y )∂t δ(|~x − ~y | − ct) + g(~y )δ(|~x − ~y | − ct)] ,
wykonuja‘c naste‘puja‘ce kroki:
a) Pokazać, że ogólne rozwia‘zanie równania falowego ma
postać
Z
h
i
1
3
i~
k~
x−ickt ~
H(~x, t) =
d
k
e
a(
k)
+
c.c.
.
(2π)3
b) Wyrazić a(~k) przez h(~x) i g(~x).
c) Wykonać calke‘ po ~k we wspólrze‘dnych sferycznych
korzystaja‘c ze wzorów:
∞
dk ke
−ickt
0
Z
i
f (k) = ∂t
c
Z
‘
Maxwella (1) w postaci fali plaskiej o określonej rzeczywistej cze‘stości ω.
9. [Egzamin] Prostopadle do plaskiej sciany przewodnika obejmuja‘cego pólprzestrzeń z > 0 skierowano
monochromatyczna‘ fale‘ elektromagnetyczna‘ o cze‘stości
ω. Korzystaja‘c z rozwia‘zania poprzedniego zadania
znależć wspólczynnik odbicia od tej powierzchni, energie‘
przekazywana‘ do przewodnika oraz ciśnienie wywierane
na jego powierzchnie‘.
10.
Prostopadle do plaskiej warstwy przewodnika o grubości L skierowano monochromatyczna‘ fale‘
∞
dk e−ickt f (k),
0
∞
dkeiks = πδ(s) + P.V.
0
(2)
∂
gdzie 2 = 4 − c12 ∂t
2 to dalembercjan.
6. Wprowadzaja‘c transformaty Fouriera pól, jak np.
Z
1
~ ˜
~ ~k, t) ,
~
d3 keik~x E(
E(~x, t) =
(2π)3
H(~x, 0) = h(~x) , ∂t H(~x, 0) = g(~x) .
Z
(1)
i
.
s
5. Wychodza‘c z równań Maxwella
1
i pra‘dy powierzchniowe przez odpowiednio skladowa‘
~ oraz styczna pola B.
~
normalna pola E
elektromagnetyczna‘ o cze‘stości ω. Znaleźć wspólczynniki
odbicia i transmisji przez te‘ warstwe‘.
~ dielektryk
11. Pod wplywem pola elektrycznego E
~
~ x, t),
ulega polaryzacji opisywanej polem P (~x, t) = αE(~
gdzie α to podatność elektryczna. Polaryzacja prowadzi
~ P~ (~x, t).
do rozkladu ladunku elektrycznego ρ(~x, t) = −∇
Pokazać, że jeśli zdefiniujemy indukcje‘ elektryczna‘ jako
~ x, t) = E(~
~ x, t) + P~ (~x, t) = εE(~
~ x, t), gdzie ε = 1 + α
D(~
jest stala‘ dielektryczna‘, to równania Maxwella przyjma‘
postać
‘
‘
~ = exp(ikz − iωt)B
~ 0 (x, y),
B
~ = 0 wewnatrz
3) stosuja‘c prawo Faradaya wykazać, że B
‘
scianek falowodu,
~ 0 oraz B
~ 0 przez
4) wyrazić skladowe x i y wektorów E
skladowe z,
5) otrzymać równanie Helmholtza dla E0z (x, y) oraz
B0z (x, y) i rozwia‘zać je uwzgle‘dniaja‘c wlaściwe warunki
brzegowe.
c) Obliczyć ge‘stości ladunków i pra‘dów powierzchniowych indukowanych na powierchni scianek falowodu.
Sprawdzić, że spelnione jest równanie cia‘glości.
15. Równolegle lustra. Znaleźć fale elektromagnetyczne propaguja‘ce sie‘ w obszarze 0 < z < L ograniczonym
dwoma idealnie przewodza‘cymi powierzchniami w z = 0
i z = L. Rozważyć fale TEM,TM,TE.
16.
Kabel koncentryczny.
We wspólrze‘dnych
cylindrycznych (r, ϕ, z) dwie doskonale przewodza‘ce
powierzchnie cylindryczne, opisywane równaniami r =
a oraz r = b przy a < b, ograniczaja‘ dielektryk o
przenikalności ε. Znaleźć fale TEM propaguja‘ce sie‘
~ ϕ)eikz z−iωt , B(r,
~ ϕ)eikz z−iωt ,
wzdluż kabla postaci: E(r,
gdzie zakladamy B z = 0 = E z .
17. Warstwa światlowodowa. Obszar −L/2 < z <
L/2 jest wypelniony dielektrykiem o przenikalności ε.
Znaleźć fale TM propaguja‘ce sie wzdluż osi x o skladowej
podlużnej pola elektrycznego postaci
~D
~ = 0,
∇
~
~ ×B
~ − ε ∂ E = 0,
∇
c ∂t
~B
~ = 0,
∇
~
~ ×E
~ + 1 ∂ B = 0,
∇
c ∂t
‘
b)
Znaleźć
postać
fal
elektromagnetycznych propaguja‘cych sie‘ wzdluż nieskończonego
falowodu o przekroju prostoka‘tnym o wymiarach a × b,
maja‘cego scianki z idelanego przewodnika:
1) przyja‘ć, że ścianki falowodu sa‘ równolegle do osi z,
~ = exp(ikz − iωt)E
~ 0 (x, y) oraz
2) we wnetrzu falowodu E
(3)
Znaleźć ich rozwia‘zanie w postaci fali plaskiej o
określonej rzeczywistej cze‘stości ω.
12. Prostopadle do granicy pomie‘dzy dwoma dielektrykami o przenikalnościach ε1 dla z < 0 i ε2 dla z > 0
skierowano monochromatyczna‘ fale‘ elektromagnetyczna‘
o cze‘stości ω. Znależć wspólczynnik odbicia i transmisji dla tej powierzchni. Jakie warunki zszycia musza‘
spelniać pola elektromagnetyczne na granicy dielektryków w z = 0 ?
13.
[Egzamin] Zbadać odbicie i zalamanie fal
plaskich na granicy pomie‘dzy dwoma dielektrykami w
plaszczyźnie z = 0 o stalych dielektrycznych odpowiednio ε1 i ε2 :
a) Wyprowadzić z równań Maxwella warunki zszycia
~ iB
~ na plaszczyznie z = 0.
dla pól E
b) Przyjmuja‘c, ze istnieje rozwia‘zanie równań
Maxwella opisuja‘ce monochromatyczna‘ fale‘ plaska‘
rozszczepiona‘ przez plaszczyzne‘ z = 0 na cze‘ść odbita‘
i przepuszczona‘, wyrazić wektory falowe fali odbitej
i przepuszczonej przez wektor falowy fali padaja‘cej.
Zakladaja‘c, że fala padaja‘ca nadlatuje z obszaru z < 0
wykazać, że w przypadku ε2 < ε1 istnieje graniczny ka‘t
padania, tj. taki, że po jego przekroczeniu fala przepuszczona zanika eksponencjalnie z z > 0.
c) Obliczyć wektory polaryzacji fali odbitej i
przepuszczonej przy danym wektorze polaryzacji fali
padaja‘cej. Obliczenia rozbić na dwa przypadki: polaryzacja fali padaja‘cej równolegla‘ lub prostopadla‘ do
plaszczyzny odbicia tzn. do plaszczyzny w której leża‘
wektory falowe.
14. [Egzamin] Falowód prostoka‘tny (zob. Markus
Zahn ,,Pole Elektromagnetyczne”). Wewna‘trz idealnego
~ = 0 oraz B
~ = 0. Ladunki elektryczne sa
przewodnika E
‘
możliwe jedynie jako powierzchniowe rozklady ladunku
na jego powierzchni, a pra‘dy jako pra‘dy powierzchniowe.
a) Wykazać, że na tej powierzchni skladowa normalna
~ oraz styczna pola E
~ sa ciagle. Wyrazić ladunki
pola B
‘
‘
E0x (z)ei(kz−ωt) ,
którego poprzeczna obwiednia

 Ae−α(z−L/2)
x
E0 (z) = E sin pz

−Ae+α(z+L/2)
ma postać
dla z > L/2,
dla z ∈ [−L/2, L/2],
dla z < −L/2.
Jakie warunki musza‘ być spelnione przez k oraz ω,
aby poza warstwa‘ dielektryka pola elektromagnetyczne
zanikaly eksponecjalnie z |z| tzn. by wspólczynnik α byl
rzeczywisty? Prosze‘ ograniczyć sie‘ do takich pól.
18. [Egzamin] W ukladzie x0µ poruszaja‘cym sie‘ ze
stala‘ pre‘dkościa‘ ~v wzgle‘dem ukladu laboratoryjnego wytworzona jest monochromatyczna fala plaska o wektorze
falowym ~k0 . Obliczyć wektor falowy ~k oraz cze‘stość ω(~k)
tej fali obserwowane w ukladzie laboratoryjnym.
19.
Zwierciadlo porusza sie‘ z pre‘dkościa‘ β~ =
(−β, 0, 0). Plaszczyzna zwierciadla jest prostopadla do
osi x. Na zwierciadlo pada promień świetlny pod ka‘tem
2
28. Rozważmy dwuelementowa antene‘ zlożona‘ z dwu
dipoli o d~0 = d0 êz zlokalizowanych w punktach (a, 0, 0)
oraz (−a, 0, 0). Pole promieniowania pierwszego dipola
wynosi
padania θ. Znaleźć cze‘stość swiatla po odbiciu oraz tangens ka‘ta odbicia. Wskazówka: ω oraz skladowe wektora
falowego ~k tworza czterowektor k µ = (ω, ~k).
‘
20. Wykazać, że Fµν F µν , µναβ F µν F αβ oraz detF
sa niezmienikami transformacji Lorenza o wyznaczniku
~ B.
~ Obliczyć
+1. Wyrazić te niezmienniki przez pola E,
ich wartość dla monochromatycznej fali plaskiej. F oznacza macierz o elementach F µν , natomiast µναβ jest
symbolem calkowicie antysymetrycznym oraz 0123 = 1.
~ B
~ transformuja sie dla
21. Wyliczyć jak pola E,
‘
‘
pchnie‘cia w kierunku osi x.
~ B.
~ Czy istnieje iner22. Zalóżmy jednorodne pola E,
0
~
~ 0 = 0.
cjalny uklad odniesienia, gdzie E = 0 lub B
23.
[Egzamin] Polowy kuli o promieniu R sa
naladowane jednorodnie i maja‘ calkowite ladunki Q i
−Q. Obliczyć wioda‘cy wklad do potencjalu φ i pola elektrycznego daleko od kuli.
24.
[Egzamin] Jednorodnie naladowany walec o
promieniu R i wysokości h obraca sie‘ wokól swej osi ze
stala‘ pre‘dkościa ka‘towa‘ Ω. Obliczyć wioda‘cy wklad do
~ daleko od walca.
pola B
25.
Jednorodny walec o promieniu R o osi
pokrywaja‘cej sie‘ z osia‘ z umieszczono w jednorodnym polu elektrycznym o wartości E wzdluż osi x.
Znajdź pole elektryczne wokól walca oraz ladunek wyindukowany na jego powierzchni. Rozważ dwa przypadki:
a) doskonale przewodzacy walec;
b) dielektryczny walec o przenikalnosci ε.
Wskazówka:
potencjal elektrostatyczny φ spelnia
równanie Laplace’a. Znajdź metoda‘ separacji zmiennych ogólne rozwia‘zanie tego równania we wspólrze‘dnych
cylindrycznych, które nie zależy od z, a w dużej odleglości
~ = Eêx .
od walca daje jednorodne pole elektryczne E
W przypadku (a) powierzchnia walca jest ekwipotencjalna, a w przypadku (b) należy uwzgle‘dnić warunki zszycia na powierzchni granicznej pomie‘dzy dielektrykiem a
otaczaja‘ca‘ go próżnia‘.
26.
[Egzamin] W odleglości d od uziemionej przewodza‘cej
plaszczyzny umieszczono nieruchomy ladunek punktowy
q.
Obliczyć ge‘stość powierzchniowa‘ ladunku wyindukowanego na tej plaszczyźnie. Obliczyć energie‘ pola
elektrycznego zaste‘puja‘c ladunek punktowy przez jednorodnie naladowana‘ mala‘ kulke‘ o promieniu r0 .
27.
[Egzamin] Dla pewnego dielektryka nie
wykazuja‘cego dyspersji przestrzennej
2
~
~ 1,rad (~x, t) = − ω0 sin [ω0 (t − r1 /c)] êr1 × (êr1 × d0 ) ,
E
2
4πc
r1
~ 1,rad (~x, t) = êr × E
~ 1,rad ,
B
1
gdzie ~r1 to wektor la‘cza‘cy punkty (a, 0, 0) i ~x, a êr1 to
jego wersor kierunkowy. Analogicznie, pole promieniowania drugiego dipola to
2
~
~ 2,rad (~x, t) = − ω0 sin [ω0 (t − r2 /c) + χ] êr2 × (êr2 × d0 ) ,
E
4πc2
r2
~ 2,rad (~x, t) = êr × E
~ 2,rad ,
B
2
gdzie ~r2 to wektor la‘cza‘cy punkty (−a, 0, 0) i ~x, a êr2 to
jego wersor kierunkowy. χ jest przesunie‘ciem fazowym
pomie‘dzy dipolami. Prosze‘
a) znaleźć sumaryczne pole promieniowania z dala od
anteny z dokladnościa‘ do wyrazów rze‘du 1/r, gdzie r to
odleglość od pocza‘tku ukladu wspólrze‘dnych;
b) wyliczyć uśredniony po czasie strumień energii hSr i
z dala od anteny. W szczególności prosze‘ zbadać ten strumień w plaszczyźnie xy;
c) wyliczyć strumień z punktu b dla χ = 0 i 2a = λ/2,
gdzie λ to dlugość fali;
d) wyliczyć strumień z punktu b dla χ = π i 2a = λ/2.
29. Dzialanie dla cza‘stki o masie m i ladunku e w polu
elektromagnetycznym Aµ ma postać
Z
S =
a
b
e
−mcds − Aµ (x)dxµ ,
c
gdzie s to czas wlasny cza‘stki, a polożenie cza‘stki opisyµ
wane jest
p czterowektorem x (s). Można zauważyć, że
µ
ν
ds =
gµν (x)dx dx , dzie‘ki czemu dzialanie można
przepisać w równoważnej formie
Z b q
e
µ
µ
ν
S =
ds −mc gµν (x)ẋ ẋ − Aµ (x)ẋ
,
c
a
µ
gdzie ẋµ = dx
ds . Prosze‘:
a) wyprowadzić równania Eulera-Lagrange’a dla xµ (s)
dokonuja‘c wariancji dzialania wzgle‘dem xµ (s), a
naste‘pnie uwzgle‘dniaja‘c fakt, że gµν (x)ẋµ ẋν = 1;
b) znaleźć rozwia‘zanie tych równań xµ (s) w metryce
Minkowskiego, w jednorodnym polu elektrycznym E
wzdluż osi z, przy warunku pocza‘tkowym xµ (0) = 0 oraz
zerowej pre‘dkości pocza‘tkowej;
c) rozwia‘zać równania E-L w metryce Minkowskiego,
α(0)
α(ω) =
,
1 − (ω/ω0 )2 − iγ0 ω/ω0
gdzie stale γ0 , ω0 sa‘ dodatnie oraz tlumienie jest slabe:
γ0 1. Obliczyć polaryzacje‘ P (~x, t) w przypadku im~ x, t) = E
~ 0 (~x)δ(t). Do
pulsowego pola elektrycznego E(~
obliczenia zależności od t zastosować calkowanie metoda‘
residuów.
3
sa rozwia‘zaniem równań Maxwella. Tutaj operator kre‘tu
~ = −i~r × ∇;
ma postać L
~ (M ) jest poprzeczne tzn. ~rE
~ (M ) = 0;
e) Pokazać, że pole E
lm
lm
f) Korzystaja‘c z wyników punktu (a), sprawdzić, ze pola
multipola elektrycznego rze‘du (l, m) postaci
w jednorodnym polu magnetycznym wzdluż osi z, przy
warunku pocza‘tkowym xµ (0) = 0 oraz pocza‘tkowej
pre‘dkości v wzdluż osi x.
30. Dzialanie dla pola elektromagnetycznego opisywanego potencjalem Aµ (x) w metryce czasoprzestrzeni
g µν (x) ma postać
Z
√
1
1
S =
d4 x −g −
Fµν F µν − 2 jµ Aµ .
16πc
c
~ (E)
~ (E) = fl (kr)LY
~ lm (θ, ϕ), E
~ (E) = +i ∇ × B
B
lm
lm
lm
k
sa rozwia‘zaniem równan Maxwella. Pokazać, ze pole
~ (E) jest poprzeczne tzn. ~rB
~ (E) = 0;
B
lm
lm
g) Dla podsumowania, wypisać ogólna‘ postać zależnych
od czasu rozwia‘zań równań Maxwella we wspólrze‘dnych
sferycznych;
h) Dla dużych r skladowa wychodza‘ca multipola elektrycznego (l, m) ma postać asymptotyczna‘
Tutaj g ≡ det[g µν (x)] jest wyznacznikiem tensora metrycznego o sygnaturze (+ − −−).
a) Wyprowadź równania Eulera-Lagranża, δAδS
µ (x) = 0,
dla pola elektromagnetycznego w metryce Minkowskiego;
b) Wylicz tensor energii-pe‘du T µν , zdefiniowany przez
√
−g
T µν = δgδSµν , pamie‘taja‘c, że zwe‘żenie
równość 2c
µν
Fµν F zależy od tensora metrycznego.
31. Rozwinie‘cie multipolowe. Zakladamy, że pola
elektromagnetyczne zależa‘ od czasu jak e−iωt .
a) Pokazać, że w próżni
~ (E) = A(−1)l+1 e
B
lm
i(kr−ωt)
kr
~ lm (θ, ϕ), E
~ (E) = +i ∇×B
~ (E) ,
LY
lm
lm
k
gdzie A to amplituda fali wychodza‘cej. Korzystaja‘c z
1
∇ = êr ∂r + êθ 1r ∂θ + êϕ r sin
θ ∂ϕ , wyliczyć uśredniony
~ ×B
~ z dokladnościa do
po czasie strumień energii cE
~ = 0, ∇E
~ = 0, B
~ = −i ∇ × E
~ ,
(∇2 + k 2 )E
k
wioda‘cego wyrazu rze‘du r−2 .
oraz
‘
~ ,
~ = 0, ∇B
~ = 0, E
~ = +i ∇ × E
(∇2 + k 2 )B
k
gdzie k = ω/c;
b)
Przeprowadzić separacje‘ zmiennych równania Helmholza
(∇2 +k 2 )ψ = 0 we wspólrze‘dnych sferycznych, zakladaja‘c
postać rozwia‘zania ψ(r, θϕ) = fl (r)Ylm (θ), gdzie Ylm to
harmonika sferyczna, a funkcja radialna spelnia równanie
radialne
2
d
2 d
l(l + 1)
2
+
+k −
fl (r) = 0.
dr2
r dr
r2
(1)
Dodatkowe zadania:
a) Walec o promieniu R i wysokości 2d przecie‘to na
pól plaszczyzna‘ prostopadla‘ do jego osi. Górna (dolna)
polowe‘ naladowano jednorodnie ladunkiem elektrycznym
Q (−Q) i wprawiono w ruch obrotowy wokól osi walca ze
stala‘ pre‘dkościa‘ ka‘towa‘ Ω (−Ω). Obliczyć ge‘stość energii
pola elektromagnetycznego w dużej odleglości od walca
w przybliżeniu dipolowym.
b) Jednorodnie naladowana kula o promieniu R i
calkowitym ladunku elektrycznym Q obraca sie‘ ze
stala‘ pre‘dkościa ka‘towa‘ Ω wokól nieruchomej osi
przechodza‘cej przez jej środek. W środku kuli umieszczono punktowy ladunek −Q. Znaleźć ka‘towy rozklad
ge‘stości energii w odleglości r R od środka kuli w
przybliżeniu dipolowym.
c) Elipsoide‘ o równaniu powierzchni (x/a)2 + (y/b)2 +
(z/c)2 = 1 wypelnia jednorodna ge‘stość ladunku ρ.
Oblicz rozwinie‘cie multipolowe potencjalu do wyrazów
kwadrupolowych wla‘cznie.
(2)
Jego rozwia‘zaniem sa‘ funkcje Hankla hl (kr), hl (kr) =
h
i∗
(1)
hl (kr) ;
c) Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że asymptotyka
funkcji Hankla dla dużych wartości argumentu s,
h(1) (kr) = (−i)l+1
eikr
,
kr
jest rozwia‘zaniem równania radialnego dla dużych
r.
Naste‘pnie wypisać ogólna‘ postać asymptotyki
rozwia‘zania e−iωt ψ(r, θ, ϕ);
d) Korzystaja‘c z wyników punktu (a), sprawdzić, ze pola
multipola magnetycznego rze‘du (l, m) postaci
~ (M ) = fl (kr)LY
~ lm (θ, ϕ), B
~ (M ) = −i ∇ × E
~ (M )
E
lm
lm
lm
k
4