Algebra 1∗, seria 5

∗
Algebra 1 , seria 5
Jesie« 2015
Grupy sko«czone, produkty proste i póªproste, zastosowania twierdzenia Sylowa. W tej serii zada« wszystkie grupy s¡ sko«czone. Wi¦cej ciekawych
zada« znajd¡ Pa«stwo w skrypcie Bojanowskiej i Traczyka.
1. Poka», »e produkt prosty dwóch grup cyklicznych o rz¦dach wzgl¦dnie
pierwszych jest grup¡ cykliczn¡.
2. Poka», »e grupa multiplikatywna ciaªa mocy p, gdzie p jest liczb¡ pierwsz¡, jest cykliczna mocy p − 1. [Jest wiele dowodów tego faktu,
zob. mathoverflow, my zobaczymy to pó¹niej jako wniosek z kryterium
Eisensteina.]
3. Niech (H, 0, −, +) b¦dzie dowoln¡ grup¡ abelow¡; operacje w H oznaczamy w sposób addytywny, natomiast w Z2 = {1, −1} operacje
oznaczmy w sposób multiplikatywny.
(a) Poka», »e odwzorowanie H → H takie, »e h 7→ −h deniuje
automorzm H i mamy produkt póªprosty H o Z2 .
(b) Poka», »e je±li H jest grup¡ cykliczn¡ rz¦du n, to tak zdeniowany
produkt póªprosty H o Z2 jest izomorczny z grup¡ dihedraln¡
rz¦du 2n.
(c) Poka», »e je±li H ' Zp jest grup¡ cykliczn¡ rz¦du p, gdzie p jest
liczb¡ pierwsz¡, to Aut(H) ' Zp−1 (skorzystaj z poprzedniego
zadania).
(d) Niech p > 2 b¦dzie liczba pierwsz¡. Poka», »e grupa rz¦du 2p jest
cykliczna albo jest grup¡ dihedraln¡.
4. Niech q > p > 2 b¦d¡ liczbami pierwszymi; zaªó»my, »e rz¡d grupy G
jest równy pq .
(a) Poka», »e G jest izomorczne z pewnym produktem póªprostym
Zq o Zp .
(b) Poka», »e je±li p nie dzieli q − 1, to G ' Zpq .
5. Niech G b¦dzie grup¡ rz¦du pqr, gdzie r > q > p s¡ liczbami pierwszymi. Poka», »e co najmniej jedna z podgrup Sylowa w G jest normalna. Wywnioskuj z tego, »e G jest rozwi¡zalna.
6. Niech H < G b¦dzie podgrup¡ indeksu r. Poka», »e dziaªanie G na
warstwach grupy H indukuje homomorzm G → Sr .
7. Poka», »e grupa prosta nie zawiera podgrupy indeksu < 5.
8. Zaªó»my, »e p dzieli rz¡d G i liczba p grup Sylowa w G wynosi lp . Poka»,
»e dziaªanie przez sprz¦»enia indukuje nietrywialne odwzorowanie G →
Slp .
9. Poka», »e jedyn¡ grup¡ prost¡ rz¦du 60 jest grupa A5 . Wskazówka:
znajd¹ najpierw liczb¦ 2-grup Sylowa.
10. Korzystaj¡c z tw. Sylowa
(a) znajd¹ wszystkie grupy proste rz¦du ≤ 60;
(b) sklasykuj (podaj wszystkie z dokªadno±ci¡ do izomorzmu)
grupy rz¦du 20;
(c) sklasykuj grupy rz¦du 24;
(d) sklasykuj grupy rz¦du 36.