Załącznik nr 2

Załącznik nr 2
do protokołu z posiedzenia
Rady Wydziału Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej
w dniu 4 marca 2010 r. (pkt. 3 porządku dziennego)
Przebieg dyskusji na kolokwium habilitacyjne dr. Andrzeja Matrasia
Pytania i odpowiedzi:
P. Pragacz
1. Co to są grupy typu Liego?
Na mocy klasyfikacji prostych zespolonych algebr Liego istnieją cztery nieskończone
rodziny tych algebr An(C), Bn(C), Cn(C), Dn(C) odpowiadające kolejno specjalnym grupom
liniowym SLn(C), grupom ortogolnalnym nieparzystego stopnia, symplektycznym Sp2n(C)
i ortogonalnym grupom stopnia parzystego O2n(C). Ponadto istnieję pięć wyjątkowych grup
prostych. Chevalley dowiódł, Ŝe istnieją ich odpowiedniki dla dowolnego ciała skończonego.
Grupy te są skończonymi grupami prostymi nazywanymi grupami typu Liego lub Chevalley`a.
2. Proszę sformułować tw. Pascala i tw. Brianchona takŜe dla stoŜkowych.
Tw Pascala mówi o tym, Ŝe jeśli wierzchołki sześciokąta ( na płaszczyźnie rzutowej nad
ciałem) leŜą na dwóch prostych, to punkty przecięcia przeciwległych boków sześciokąta są
współliniowe.
Twierdzenie Brianchona mówi, Ŝe jeśli boki sześciokąta są styczne do stoŜkowej na
płaszczyźnie rzutowej, to proste łączące przeciwległe wierzchołki sześciokąta są współpękowe.
3. Czy w Pańskich pracach rozwaŜana jest dualność?
Przy charakteryzacji symetrycznych płaszczyzn Laguerre`a występuje aksjomat który
mówi, Ŝe dla dowolnych dwóch łańcuchów niestycznych i punktu na jednym łańcuchu istnieje
dokładnie jeden łańcuch przechodzący przez ten punkt i styczny do drugiego łańcucha. Jest to
zdanie dualne do aksjomatu
o bloku stycznym.
P. Witczyński
1. Czy istnieją uogólnienia geometrii Benza na wyŜsze wymiary?
Uogólnieniami takimi są geometrie łańcuchów ( gdzie wymiar algebry nad ciałem jest
większy niŜ dwa). Uogólnieniem tego rodzaju dla geometrii Moebiusa jest geometria rozszerzeń
ciał ( badana np. w pracach H. Havlicka) a dla geometrii Laguerre`a – geometria algebry macierzy
górnotrójkątnych nad ciałem. Innym uogólnieniem jest geometria Liego dowolnego wymiaru ( nad
ciałem bądź określona aksjomatycznie).Uogólnioną geometrię Laguerre`a bada K. Radziszewski,
a uogólnienie polega na tym, Ŝe zamiast stoŜkowej bierze się dowolną kwadrykę a tworzące stoŜka
(albo walca) zastępuje się przestrzeniami liniowymi dowolnego wymiaru.
2. Czy któryś z postawionych w rozprawie problemów otwartych doczekał się rozwiązania?
Jeden z problemów dotyczy klasyfikacji względem tranzytywnych grup powinowactw
płaszczyzn Laguerre`a. Uzyskałem około 30 róŜnych typów i pracuję nad wyeliminowaniem
niektórych moŜliwości ( co bez Ŝadnych załoŜeń jest trudne). WaŜne jest pytanie o istnienie
punktów stałych translacji na płaszczyźnie Laguerre`a. Mimo starań udało się odpowiedzieć na to
pytanie tylko przy pewnych dodatkowych załoŜeniach. Problem ten pojawia się równieŜ w wydanej
niedawno monografii G. Steinke. Ostatnio zajmowałem się klasyfikacją dwu-tranzytywnych
symetrycznych zbiorów permutacji. Jest nadzieja, Ŝe uzyskane tam wyniki znajdą zastosowanie do
rozstrzygnięcia problemu dotyczącego symetrycznych płaszczyzn Minkowskiego.
P. Simson
1. Podejście Kleina do geometrii.
Według Kleina geometria jest określona przez grupę przekształceń. Zgodnie z tą koncepcją
pojęciami danej geometrii są niezmienniki określonej grupy przekształceń, np. geometria rzutowa
n- wymiarowa jest geometrią niezmienników grupy PGL (n, K). Typy moich klasyfikacji
wyznaczają róŜne geometrie w duchu Kleina.
2. Przykłady problemów geometrycznych rozwiązywalnych metodami algebraicznymi.
Wiadomo, Ŝe na płaszczyźnie rzutowej aksjomat Pappusa implikuje aksjomat Desarguesa.
Odwrotnie postulat Desarguesa implikuje Pappusa dla skończonych płaszczyzn rzutowych. Jednak
jedyny znany dotychczas dowód tej ostatniej implikacji jest algebraiczny ( kaŜde ciało skończone
jest przemienne). Zagadnienie trysekcji kąta teŜ rozwiązuje się algebraicznie, znajdując równanie
trzeciego stopnia, którego pierwiastek nie jest konstruowalny. MoŜliwość konstrukcji wielokątów
foremnych rozstrzyga się równieŜ algebraicznie ( twierdzenie Gaussa).
3. Charakterystyka Eulera i jej związek z grupami Liego.
Dla przestrzeni trianguowalnych charakterystyka Eulera jest naprzemienną sumą ilości
sympleksów odpowiednich wymiarów. Jeśli znamy grupy homologii przestrzeni to jest ona równa
naprzemiennej sumie rang grup homologii ( jeśli taka suma jest skończona). MoŜna tak ją liczyć np.
dla wielościanów i przestrzeni rzutowych.
P. Kisielewicz
1. Co to jest system Steinera??
Trójką steinerowską typu (l, m, n) nazywa się zbiór n-elementowy w którym wyróŜniamy
podzbiory m-elementowe zwane blokami. Zachodzić musi przy tym następujący warunek:
przez kaŜde l-punktów przechodzi dokładnie jeden blok np. skończona płaszczyzna rzutowa rzędu k
jest trójką steinerowską typu (2, k+1, k²+k+1).
P. Herburt
Jakie są nowe wyniki w badaniach nad skończonymi płaszczyznami rzutowymi?
Płaszczyzna rzutowa to struktura składająca się z punktów, prostych i relacji incydencji.
Spełnione przy tym muszą być aksjomaty :
1. Przez dwa róŜne punkty przechodzi jedna prosta,
2. Dwie róŜne proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie
3. Istnieją cztery punkty z których Ŝadne trzy nie są współliniowe.
Płaszczyzny skończone to takie, które maja skończoną ilość punktów.
Płaszczyzny papussowe konstruuje się uŜywając ciał Galois. Twierdzenie Brucka-Reisera
mówi, Ŝe płaszczyzna rzutowa rzędu n (dla n przystających do 1 mod 4lub 2 mod 4) istnieje gdy n
jest sumą kwadratów. Wynika stąd, Ŝe nie istnieje płaszczyzna rzutowa rzędu 6. Poza nią wszystkie
skończone płaszczyzny rzędu ≤8 są papussowe i wyznaczone jednoznacznie. W przypadku rzędu 9
istnieją 3 nieizomorficzne płaszczyzny rzutowe (poza klasyczną są to translacyjna płaszczyzna nad
prawie-ciałem i płaszczyzna Hughesa). Istnienie płaszczyzny rzędu n jest równowaŜne istnieniu n-1
ortogonalnych kwadratów łacińskich stopnia n.
Trudnym problemem było rozstrzygnięcie czy istnieje płaszczyzna rzędu 10. Został on
negatywnie rozwiązany pod koniec ubiegłego wieku.
Protokół z przebiegu dyskusji przygotował
Dr Grzegorz Sójka