3,5 MATEMATYKA WYŻSZA ZADANIA DODATKOWE Uwaga

3,5 MATEMATYKA WYŻSZA
ZADANIA DODATKOWE
Uwaga: Niektóre zadania są nieco trudniejsze. Jeśli Państwo będą mieć problemy
z ich rozwiązaniem, chętnie je omówimy dokładnie na wykładzie.
0. Oblicz: 3!, 5!, 6!,
4
8
n
,
,
,
0
1
n
n
n
n+1
Udowodnij
+
=
.
k
k+1
k+1
1. Obliczyć granice następujących √
ciagów liczbowych:
2
2
2
2
n n+2
n2 +4
b) bn = √n3 +n2 ,
c) cn = 1 +2 +3n2+...+n ,
d) dn =
a) an = n3 +2n2 +n−3 ,
p
√
√
√
√
√
n
,
n + 1 − n, e) en = n2 + n − n,
f) fn = n + n − n, g) gn = 22n −1
+1
p
√
√
√
n
n
2
n
2
h)
n + n,
k) kn = 1 + 2 ,
u) un = n + n − n,
w) wn =
√ hn = √
2
n + n − n,
3
2
2. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu
1
1
1
an = +
+ ... +
.
n n+1
n+n
3. Obliczyć
√ granice ciągów
a) an = n 2n + 3n + 4n ,
b) bn = √n12 +1 + √n12 +2 + ... + √n21+2n ,
n
c) cn = aan +1
w zależności od a
√−1
n2
e) en = √n,
n
2
k) kn = √3n3+2+n
n +1 ,
√
,
r) rn = [√n]
n
1 n
s) (1 − n ) ,
√
t) tn = (1 + √1n! ) n!
4. Udowodnij nierówność:
5. Sprawdź, że ciąg
wyrazów.
√
n
√
n
n≤1+
q
2
.
n
n jest ściśle malejący po odrzuceniu dwóch pierwszych
6. a, b > 0. Wykaż, że lim
√
n
an + bn = max(a, b)
7. Podać przykłady
a) ciągu zawierającego podciągi zbieżne do trzech różnych granic.
b) ciągu zbieżnego, który nie jest monotoniczny.
c) ciągu zawierającego pociągi rozbieżne do +∞ i −∞
1