wiczenia III. Funkcje

‚wiczenia III. Funkcje
Zadanie 1
Funkcje przedstawione na rysunku maj¡ dziedzin¦
[0, 1]
i przyjmuj¡ warto±ci z tego samego prze-
dziaªu.
1. Które z nich s¡ injekcjami, czyli funkcjami ró»nowarto±ciowymi?
2. Które s¡ surjekcjami przeksztaªcaj¡cymi przedziaª
[0, 1]
na przedziaª
[0, 1]?
3. Które s¡ bijekcjami, tzn. funkcjami wzajemnie jednoznacznymi?
1
1
6
1
6
-
f1
1
-
f2
1
1
6
1
6
-
f3
1
1
6
6
-
f4
1
1
6
@
6
@
@
@
@
@
@
@
-
f5
1
-
f6
1
1
6
f7
1
6
@-
1
6
1
-
f8
1
s
1
1
s
6
s
c
s
c
-
f9
c
-
f10
1
-
f11
1
1
c
-
f12
1
Zadanie 2
Niech
A = {1, 2, 3, 4, 5}
oraz
B = {a, b, c, d}.
Dla poni»szych pyta« podaj przykªad, je»eli
odpowied¹ brzmi tak lub podaj wyja±nienie, je»eli odpowied¹ brzmi nie.
1. Czy istniej¡ injekcje przeksztaªcaj¡ce
A
w
B?
1
2. Czy istniej¡ injekcje przeksztaªcaj¡ce
B
A?
w
3. Czy istniej¡ surjekcje przeksztaªcaj¡ce
A
na
B?
4. Czy istniej¡ surjekcje przeksztaªcaj¡ce
B
na
A?
5. Czy istniej¡ bijekcje przeksztaªcaj¡ce
A
na
B?
6. Dlaczego nie ma osobnego pytania o bijekcje
B
na
A?
Zadanie 3
We¹my nast¦puj¡ce funkcje ze zbioru N w N: f (n) = n,
l(n) = n + (−1)n , p(n) = min {n, 100}, r(n) = max {0, n
g(n) = 3n, h(n) = n2 , k(n) = (n − 2)2 ,
− 5}.
1. Które z tych funkcji s¡ funkcjami ró»nowarto±ciowymi (injekcjami)?
2. Które odwzorowuj¡ zbiór
N
na zbiór
N
(s¡ surjekcjami)?
3. Które s¡ wzajemnie jednoznaczne (s¡ bijekcjami)?
Zadanie 4
Okre±lamy trzy funkcje przeksztaªcaj¡ce zbiór
R+
gdzie
w
R+ : f (x) = 1 + x, g(x) =
1
x
oraz
h(x) = x2 ,
R+ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Wyznacz nast¦puj¡ce zªo»enia tych funkcji:
g ◦ h(x), h ◦ g(x), f ◦ g(x), g ◦ f (x), f ◦ h(x), h ◦ f (x), f ◦ g ◦ h(x), f ◦ h ◦ g(x), g ◦ f ◦ h(x),
g ◦ h ◦ f (x), h ◦ g ◦ f (x), h ◦ f ◦ g(x), f ◦ f (x), g ◦ g(x) oraz h ◦ h(x).
Zadanie 5
1
1
f1 (x) = x, f2 (x) = x − 1, f3 (x) = 2 − x, f4 (x) = , f5 (x) =
,
x
x+1
√
√
√
f7 (x) = x, f8 (x) = x − 1, f9 (x) = 1 − x, f10 (x) = x2 , f11 (x) = (x − 3)2 ,
Dane s¡ nast¦puj¡ce funkcje:
1
,
3−x
f12 (x) = (1 − x)2 , f13 (x) = (x + 1)2 + 2, f14 (x) = x3 , f15 (x) = exp(x), f16 (x) = ln(x) oraz
f17 (x) = |x − 2| − 3. Okre±l dziedzin¦ ka»dej z podanych funkcji oraz naszkicuj ich wykresy.
f6 (x) =
Na podstawie wykresów wska» funkcje, dla których istniej¡ funkcje odwrotne. Wyznacz funkcje
odwrotne i naszkicuj ich wykresy.
Zadanie 6
Wyznacz funkcje odwrotne do funkcji:
1.
f (x) = (x − 3)2
dla
x ≥ 3;
2.
g(x) = (x − 3)2
dla
x ≤ 3;
3.
h(x) = x2 − 2x
dla
x ≥ 2;
4.
k(x) = x2 − 2x
dla
x ≤ 0;
5.
l(x) = x2 − 2x
dla
0 ≤ x ≤ 2.
2
Zadanie 7
Podaj warto±ci funkcji:
1.
2.
3.
4.
sin (0), sin
π π π π , sin
, sin
, sin
;
6
4
3
2
π π π π , cos
, cos
, cos
;
cos (0), cos
6
4
3
2
π π π π tan (0), tan
, tan
, tan
, tan
;
6
4
3
2
π π π π cot (0), cot
, cot
, cot
, cot
;
6
4
3
2
5.
arcsin(1), arccos(0), arccos(−1), arctan(1);
6.
exp (0), exp (1), exp (−1);
7.
ln (0), ln (1), ln (e), ln (e2 ), ln (e8 );
8.
log10 (0), log10 (1), log10 (10), log10 (100), log10 (106 ).
Zadanie 8
Oblicz:
1.
5.
9.
5
13
sin (3π),
2. sin
π ,
3. sin −
π ,
2
6 17
19
20
π ,
6. cos
π ,
7. tan
π ,
cos
4
4
3 19
19
π + cos2
π ,
10. ln (exp (−2)),
11. exp (ln (−3));
sin2
6
6
4.cos (−5π),
8.
3
cot − π ,
2
12.
exp (ln (4)).
Zadanie 9
Zapisz w prostszej postaci nast¦puj¡ce funkcje pot¦gowe i wykªadnicze:
f (x) =
q
5
(x2 · x3 )−2 ,


1 3


1 −5 
1

x
p


1
2
4x
x




g(x) =  x 3 · x 2
, h(x) = 2
·
(3
)
·
, k(x) =
exp (x) · exp3 (2x) / exp2 (4x).

8


3