Struktury niezawodnosci systemów.

Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
Struktury niezawodności systemów.
9 marca 2015
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych
˛
ze soba˛ pełniac
˛ przypisane funkcje. Funkcje moga˛ być
podobne (elementy uzupełniaja/zast
˛
epuj
˛ a)
˛ sie˛ wzajemnie, lub
różne.
Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy
˛ w
sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek
przepływu mediów.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych
˛
ze soba˛ pełniac
˛ przypisane funkcje. Funkcje moga˛ być
podobne (elementy uzupełniaja/zast
˛
epuj
˛ a)
˛ sie˛ wzajemnie, lub
różne.
Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy
˛ w
sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek
przepływu mediów.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych
˛
ze soba˛ pełniac
˛ przypisane funkcje. Funkcje moga˛ być
podobne (elementy uzupełniaja/zast
˛
epuj
˛ a)
˛ sie˛ wzajemnie, lub
różne.
Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy
˛ w
sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek
przepływu mediów.
W szczególności elementy systemu moga˛ być umieszczone w
schemacie szeregowym lub równoległym.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych
˛
ze soba˛ pełniac
˛ przypisane funkcje. Funkcje moga˛ być
podobne (elementy uzupełniaja/zast
˛
epuj
˛ a)
˛ sie˛ wzajemnie, lub
różne.
Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy
˛ w
sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek
przepływu mediów.
Ze wzgledu
˛
na znaczenie dla niezawodności systemu, również rozróżniamy miedzy
˛
innymi struktury szeregowe i
równoległe w sensie niezawodności.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
System to zorganizowany zbiór elementów, współpracujacych
˛
ze soba˛ pełniac
˛ przypisane funkcje. Funkcje moga˛ być
podobne (elementy uzupełniaja/zast
˛
epuj
˛ a)
˛ sie˛ wzajemnie, lub
różne.
Dla systemu istnieje schemat techniczny, przestawiajacy
˛ w
sposób graficzny działanie systemu, w szczególności kierunek
przepływu mediów.
Schemat szeregowy (odp. równoległy) na schemacie technicznym nie zawsze odpowiada strukturze w sensie niezawodności.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
Strukture˛ nazwiemy szeregowa˛ w sensie niezawodności, jeżeli
awaria jednego dowolnie wybranego elementu powoduje
awarie˛ systemu.
Strukture˛ nazwiemy równoległa˛ w sensie niezawodności, jeżeli
w przypadku awarii pojedynczych elementów inne przejmuja˛
ich funkcje. Awaria systemu nastepuje
˛
dopiero w momencie
awarii wszystkich jego elementów.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
Strukture˛ nazwiemy szeregowa˛ w sensie niezawodności, jeżeli
awaria jednego dowolnie wybranego elementu powoduje
awarie˛ systemu.
Strukture˛ nazwiemy równoległa˛ w sensie niezawodności, jeżeli
w przypadku awarii pojedynczych elementów inne przejmuja˛
ich funkcje. Awaria systemu nastepuje
˛
dopiero w momencie
awarii wszystkich jego elementów.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
Rozważmy pewne przykłady:
W pompowni zainstalowany jest system kilku (dwu) pomp podnoszacych
˛
wode˛ odpowiednio do zbiornika pośredniego (pierwsza pompa) i dalej docelowo (druga pompa).
Z technicznego punktu widzenia układ zainstalowany jest szeregowo.
Z punktu widzenia niezawodności awaria jednej z pomp jest jednocześnie awaria˛ systemu. Taka zależność definiuje strukture˛
szeregowa˛ również w sensie niezawodności.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
Rozważmy pewne przykłady:
W zakładzie zaopatrzenia w wode˛ zainstalowany jest układ 2
pomp. Z technicznego punktu widzenia pompy sa˛ zainstalowane
równolegle.
Jeżeli tylko jedna pracujaca
˛
pompa jest w stanie zapewnić
dostawy wody na akceptowalnym poziomie, wówczas również
struktura w sensie niezawodnościowym jest równoległa.
Jeżeli jednak przy pracujacej
˛ jednej pompie przepompownia nie
wykonuje dostaw wody na założonym poziomie, awarie˛ jednej
pompy rozumie sie˛ jako awarie˛ systemu. Tym samym układ jest
szeregowy w sensie niezawodnościowym.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- system i jego schemat
- struktury niezawodności a schemat techniczny
Rozważmy pewne przykłady:
Rozważmy system filtrów (np. filtra akwarystycznego).
Zgodnie z kierunkiem przepływu wody mamy: gabk˛
˛ e czyli filtracje˛ mechaniczna,
˛ nastepnie
˛
inne media filtracyjne i na końcu
zeolit na którym rozmnażaja˛ sie˛ bakterie nitryfikacyjne.
Jeżeli wymienimy zeolit na nowy pozbawiony bakterii nitryfikacyjnych, wciaż
˛ pozostana˛ ich kolonie na gabce
˛
i innych mediach.
Tym samym pomimo schematu technicznego szeregowego, w
sensie niezawodnościowym mamy do czynienia z układem równoległym.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
Struktury niezawodnościowe można podzielić na trzy grupy:
struktury trywialne - czyli jednoelementowe, lub takie które
z pewnych wzgledów
˛
zawsze sa˛ zdatne lub zawsze
niezdatne do pracy,
struktury podstawowe:
struktury proste - należa˛ tu struktura równoległa i
szeregowa,
struktura progowa,
struktury mieszane - np. szeregowo - równoległe lub
równoległo - szeregowe,
struktury złożone - struktura mostkowa.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
Mówimy, że system ma strukture˛ ”k z n” z sensie
niezawodności jeżeli pozostaje sprawny gdy co najmniej k
wśród n elementów pozostaje sprawne.
Wówczas:
k liczba elementów podstawowych,
n - liczba wszystkich elementów,
różnica n − k - liczba elementów rezerwowych.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
Mówimy, że system ma strukture˛ ”k z n” z sensie
niezawodności jeżeli pozostaje sprawny gdy co najmniej k
wśród n elementów pozostaje sprawne.
Wówczas:
k liczba elementów podstawowych,
n - liczba wszystkich elementów,
różnica n − k - liczba elementów rezerwowych.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
W szczególności struktury szeregowa i równoległa sa˛
strukturami ”k z n”, dokładnie:
Struktura szeregowa to ”n z n”
Struktura równoległa to ”1 z n”
Struktura progowa to struktura ”k z n” dla 1 < k < n, czyli nie
bed
˛ aca
˛ struktura˛ szeregowa˛ ani równoległa.
˛
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
W szczególności struktury szeregowa i równoległa sa˛
strukturami ”k z n”, dokładnie:
Struktura szeregowa to ”n z n”
Struktura równoległa to ”1 z n”
Struktura progowa to struktura ”k z n” dla 1 < k < n, czyli nie
bed
˛ aca
˛ struktura˛ szeregowa˛ ani równoległa.
˛
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
W szczególności struktury szeregowa i równoległa sa˛
strukturami ”k z n”, dokładnie:
Struktura szeregowa to ”n z n”
Struktura równoległa to ”1 z n”
Struktura progowa to struktura ”k z n” dla 1 < k < n, czyli nie
bed
˛ aca
˛ struktura˛ szeregowa˛ ani równoległa.
˛
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
W szczególności struktury szeregowa i równoległa sa˛
strukturami ”k z n”, dokładnie:
Struktura szeregowa to ”n z n”
Struktura równoległa to ”1 z n”
Struktura progowa to struktura ”k z n” dla 1 < k < n, czyli nie
bed
˛ aca
˛ struktura˛ szeregowa˛ ani równoległa.
˛
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
Struktury progowe oraz równoległe sa˛ tzw. strukturami z
rezerwa.
˛
Metoda zwiekszania
˛
niezawodności poprzez dodanie rezerwy
jest skuteczna˛ metoda˛ o ile nie generuje kosztów lub nie
zwieksza
˛
znaczaco
˛ masy/wielkości obiektu. Stad
˛ jest raczej
bardziej popularna w przypadku obiektów elektronicznych niż
mechanicznych.
W przypadku urzadze
˛
ń mechanicznych, gdzie system wymaga
ciagłej
˛
pracy, a jednocześnie jego elementy wymagaja˛
okresowych prac serwisowych (np. czyszczenie filtrów)
dodanie rezerwy jest jedyna˛ skuteczna˛ metoda˛ zapewnienia
zdatności systemu na odpowiednim poziomie.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
Struktury progowe oraz równoległe sa˛ tzw. strukturami z
rezerwa.
˛
Metoda zwiekszania
˛
niezawodności poprzez dodanie rezerwy
jest skuteczna˛ metoda˛ o ile nie generuje kosztów lub nie
zwieksza
˛
znaczaco
˛ masy/wielkości obiektu. Stad
˛ jest raczej
bardziej popularna w przypadku obiektów elektronicznych niż
mechanicznych.
W przypadku urzadze
˛
ń mechanicznych, gdzie system wymaga
ciagłej
˛
pracy, a jednocześnie jego elementy wymagaja˛
okresowych prac serwisowych (np. czyszczenie filtrów)
dodanie rezerwy jest jedyna˛ skuteczna˛ metoda˛ zapewnienia
zdatności systemu na odpowiednim poziomie.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
Struktury progowe oraz równoległe sa˛ tzw. strukturami z
rezerwa.
˛
Metoda zwiekszania
˛
niezawodności poprzez dodanie rezerwy
jest skuteczna˛ metoda˛ o ile nie generuje kosztów lub nie
zwieksza
˛
znaczaco
˛ masy/wielkości obiektu. Stad
˛ jest raczej
bardziej popularna w przypadku obiektów elektronicznych niż
mechanicznych.
W przypadku urzadze
˛
ń mechanicznych, gdzie system wymaga
ciagłej
˛
pracy, a jednocześnie jego elementy wymagaja˛
okresowych prac serwisowych (np. czyszczenie filtrów)
dodanie rezerwy jest jedyna˛ skuteczna˛ metoda˛ zapewnienia
zdatności systemu na odpowiednim poziomie.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
Rodzaje rezerw:
1
obciażona
˛
(inaczej goraca)
˛
gdy elementy rezerwowe
pracuja˛ równocześnie z podstawowymi,
2
nieobciażona
˛
(inaczej zimna) gdy elementy rezerwowe nie
pracuja,
˛
3
cz˛eściowo obciażona
˛
(inaczej ciepła lub ulgowa) gdy
elementy rezerwowe pracuja˛ w niepełnym obciażeniu.
˛
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
W przypadku niektórych obiektów pozostawanie w stanie
oczekiwania na prace˛ nie zmniejsza awaryjności obiektu.
Możliwe sa˛ sytuacje, że oczekiwanie na prace˛ zwieksza
˛
ryzyko
awarii w momencie uruchomienia (np. silnik po długotrwałym
postoju.) Dlatego poprzedni intuicyjny opis rodzajów rezerw
uzupełnimy opisem jakościowym.
Niech λp oraz λr oznaczaja˛ intensywności uszkodzeń
elementów podstawowych i rezerwowych odpowiednio.
Wówczas rezerwa jest:
1
obciażona
˛
gdy λr = λp ,
2
nieobciażona
˛
gdy λr = 0,
3
cz˛eściowo obciażona
˛
gdy 0 < λr < λp .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
W przypadku niektórych obiektów pozostawanie w stanie
oczekiwania na prace˛ nie zmniejsza awaryjności obiektu.
Możliwe sa˛ sytuacje, że oczekiwanie na prace˛ zwieksza
˛
ryzyko
awarii w momencie uruchomienia (np. silnik po długotrwałym
postoju.) Dlatego poprzedni intuicyjny opis rodzajów rezerw
uzupełnimy opisem jakościowym.
Niech λp oraz λr oznaczaja˛ intensywności uszkodzeń
elementów podstawowych i rezerwowych odpowiednio.
Wówczas rezerwa jest:
1
obciażona
˛
gdy λr = λp ,
2
nieobciażona
˛
gdy λr = 0,
3
cz˛eściowo obciażona
˛
gdy 0 < λr < λp .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury proste i złożone
- struktury ”k z n” jako ogólny schemat
- rodzaje rezerwy
W przypadku niektórych obiektów pozostawanie w stanie
oczekiwania na prace˛ nie zmniejsza awaryjności obiektu.
Możliwe sa˛ sytuacje, że oczekiwanie na prace˛ zwieksza
˛
ryzyko
awarii w momencie uruchomienia (np. silnik po długotrwałym
postoju.) Dlatego poprzedni intuicyjny opis rodzajów rezerw
uzupełnimy opisem jakościowym.
Niech λp oraz λr oznaczaja˛ intensywności uszkodzeń
elementów podstawowych i rezerwowych odpowiednio.
Wówczas rezerwa jest:
1
obciażona
˛
gdy λr = λp ,
2
nieobciażona
˛
gdy λr = 0,
3
cz˛eściowo obciażona
˛
gdy 0 < λr < λp .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
W założonych schematach bedziemy
˛
obliczać funkcje˛
niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich
rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie
wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary
niezawodności.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
W założonych schematach bedziemy
˛
obliczać funkcje˛
niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich
rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie
wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary
niezawodności.
Założenia:
1
system składa sie˛ z n elementów,
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
W założonych schematach bedziemy
˛
obliczać funkcje˛
niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich
rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie
wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary
niezawodności.
Założenia:
1
system składa sie˛ z n elementów,
2
z każdym elementem kojarzymy zmienna˛ losowa˛
niezawodności oznaczona˛ kolejno T1 , . . . , Tn ,
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
W założonych schematach bedziemy
˛
obliczać funkcje˛
niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich
rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie
wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary
niezawodności.
Założenia:
1
system składa sie˛ z n elementów,
2
z każdym elementem kojarzymy zmienna˛ losowa˛
niezawodności oznaczona˛ kolejno T1 , . . . , Tn ,
3
zakładamy, że znamy funkcje niezawodności
poszczególnych elementów R1 (t), . . . , Rn (t).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
W założonych schematach bedziemy
˛
obliczać funkcje˛
niezawodności systemu. Jak wiadomo z poprzednich
rozważań, z funkcji niezawodności jesteśmy w stanie
wyprowadzić wszystkie pozostałe funkcyjne miary
niezawodności.
Naszym celem jest określenie:
1
zmiennej losowej systemu T zależnej od T1 , . . . , Tn oraz
2
funkcji niezawodności układu R(t) zależnej od funkcji
niezawodności poszczególnych elementów
R1 (t), . . . , Rn (t).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Struktury z rezerwa˛ można tworzyć dublujac
˛ ten sam element
w systemie, np. dokładajac
˛ dodatkowy filtr, dodatkowa˛ pompe˛
itd. Wówczas wszystkie funkcje niezawodności sa˛ sobie równe:
Definicja
Jeśli wszystkie funkcje niezawodności sa˛ sobie równe
(R1 (t) = · · · = Rn (t) ) to układ nazywamy jednorodnym.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Za strukture˛ z rezerwa˛ można również potraktować systemy z
dodatkowym zabezpieczeniem, np. zbiornik rezerwowy zamiast
dodatkowej pompy, zawór redukujacy
˛ ciśnienie zamiast
dodatkowego czujnika ciśnienia itp. Wówczas funkcje
niezawodności nie sa˛ równe.
Definicja
Jeśli nie wszystkie funkcje niezawodności sa˛ sobie równe, tzn.
istnieja˛ 1 ≤ i < j ≤ n takie, że Ri (t) 6= Rj (t) ) to układ
nazywamy niejednorodnym.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Za strukture˛ z rezerwa˛ można również potraktować systemy z
dodatkowym zabezpieczeniem, np. zbiornik rezerwowy zamiast
dodatkowej pompy, zawór redukujacy
˛ ciśnienie zamiast
dodatkowego czujnika ciśnienia itp. Wówczas funkcje
niezawodności nie sa˛ równe.
Definicja
Jeśli nie wszystkie funkcje niezawodności sa˛ sobie równe, tzn.
istnieja˛ 1 ≤ i < j ≤ n takie, że Ri (t) 6= Rj (t) ) to układ
nazywamy niejednorodnym.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
R1(t)
R2(t)
R3(t)
T1
T2
T3
R(t)=R1(t).R2(t).R3(t)
Podstawowe wskaźniki niezawodności:
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
R1(t)
R2(t)
R3(t)
T1
T2
T3
R(t)=R1(t).R2(t).R3(t)
Podstawowe wskaźniki niezawodności:
czas pracy układu do uszkodzenia T = min{T1 , . . . , Tn }
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
R1(t)
R2(t)
R3(t)
T1
T2
T3
R(t)=R1(t).R2(t).R3(t)
Podstawowe wskaźniki niezawodności:
funkcja niezawodności układu jednorodnego
R(t) = R0n (t)
gdzie R0 (t) - wspólna funkcja niezawodności każdego z elementów,
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
R1(t)
R2(t)
R3(t)
T1
T2
T3
R(t)=R1(t).R2(t).R3(t)
Podstawowe wskaźniki niezawodności:
funkcja niezawodności układu niejednorodnego
R(t) = R1 (t) · · · · · Rn (t).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Przykład:
Przydomowa oczyszczalnia ścieków - wieloetapowe
oczyszczanie ścieków.
1
I etap - wstepne
˛
mechaniczno-biologiczne oczyszczanie w
osadniku gnilnym z wykorzystaniem bakterii beztlenowych
i grawitacyjnego oddzielania czastek
˛
- możliwa awaria niedrożność systemu.
2
II etap - klarowane ścieków na filtrze - możliwa awaria zabrudzenie (niedrożność) filtra,
3
III etap - biologiczne oczyszczanie ścieków na złożach
filtracyjnych - możliwa ”awaria” - wymieranie kolonii
odpowiednich bakterii.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Po pierwsze:
W sensie logicznym zdatność i niezdatność układu to dwa
stany o umownie określonych wartościach. Jeżeli odwrócimy
ich role to funkcje zdatności i niezdatności zamienia˛ sie rolami.
Po drugie:
Jeżeli układ jest zdatny gdy działa co najmniej jeden element,
to jest niezdatny gdy nie działaja˛ wszystkie. Po odwróceniu
znaczenia zdatność/niezdatność układ równoległy staje sie˛
szeregowym. Funkcja zdatności odwróconego układu, to
funkcja niezdatności wyjściowego.
W konsekwencji:
możemy zastosować do funkcji niezdatności układu
równoległego wzór funkcji zdatności układu szeregowego
otrzymujac:
˛
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Po pierwsze:
W sensie logicznym zdatność i niezdatność układu to dwa
stany o umownie określonych wartościach. Jeżeli odwrócimy
ich role to funkcje zdatności i niezdatności zamienia˛ sie rolami.
Po drugie:
Jeżeli układ jest zdatny gdy działa co najmniej jeden element,
to jest niezdatny gdy nie działaja˛ wszystkie. Po odwróceniu
znaczenia zdatność/niezdatność układ równoległy staje sie˛
szeregowym. Funkcja zdatności odwróconego układu, to
funkcja niezdatności wyjściowego.
W konsekwencji:
możemy zastosować do funkcji niezdatności układu
równoległego wzór funkcji zdatności układu szeregowego
otrzymujac:
˛
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Po pierwsze:
W sensie logicznym zdatność i niezdatność układu to dwa
stany o umownie określonych wartościach. Jeżeli odwrócimy
ich role to funkcje zdatności i niezdatności zamienia˛ sie rolami.
Po drugie:
Jeżeli układ jest zdatny gdy działa co najmniej jeden element,
to jest niezdatny gdy nie działaja˛ wszystkie. Po odwróceniu
znaczenia zdatność/niezdatność układ równoległy staje sie˛
szeregowym. Funkcja zdatności odwróconego układu, to
funkcja niezdatności wyjściowego.
W konsekwencji:
możemy zastosować do funkcji niezdatności układu
równoległego wzór funkcji zdatności układu szeregowego
otrzymujac:
˛
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
R1(t)
T1
R2(t)
T2
Qi(t)=1-Ri(t)
R3(t)
T3
Q(t)=Q1(t).Q2(t).Q3(t)
Q(t)=1-R(t)
Podstawowe wskaźniki niezawodności:
czas pracy układu do uszkodzenia T = max{T1 , . . . , Tn },
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
funkcja niezawodności układu jednorodnego (wspólna funkcja
niezawodności R0 (t))
n
R(t) = 1 − (1 − R0 (t)) =
n
X
i+1
(−1)
i=1
dla układu niejednorodnego
R(t) = 1 − (1 − R1 (t)) · · · · · (1 − Rn (t)).
Wykład 4
n
i
R0 (t)i ,
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
W przypadku jednorodnym (wspólna funkcja niezawodności
R0 (t)):
n X
n
R(t) =
R0i (t)(1 − R0 (t))n−i .
i
i=k
W przypadku niejednorodnym:
R(t) =
n
X
i=k
i−k
(−1)
i −1
i −k
Rp(i) ,
gdzie Rp(i) oznacza sume˛ wszystkich możliwych iloczynów i
funkcji niezawodności spośród n.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
W przypadku jednorodnym (wspólna funkcja niezawodności
R0 (t)):
n X
n
R(t) =
R0i (t)(1 − R0 (t))n−i .
i
i=k
W przypadku niejednorodnym:
R(t) =
n
X
i=k
i−k
(−1)
i −1
i −k
Rp(i) ,
gdzie Rp(i) oznacza sume˛ wszystkich możliwych iloczynów i
funkcji niezawodności spośród n.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
W przypadku jednorodnym (wspólna funkcja niezawodności
R0 (t)):
n X
n
R(t) =
R0i (t)(1 − R0 (t))n−i .
i
i=k
W przypadku niejednorodnym:
R(t) =
n
X
i=k
i−k
(−1)
i −1
i −k
Rp(i) ,
gdzie Rp(i) oznacza sume˛ wszystkich możliwych iloczynów i
funkcji niezawodności spośród n.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Rozważmy model 2 z 3, tzn. układ 3 elementów który
pozostaje sprawny przy działajacych
˛
co najmniej 2 elementach.
P
Sume˛ liczymy dla 3i=2 czyli liczymy dla i = 2 oraz i = 3.
Rp(2) = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
Rp(3) = R1 R2 R3
co daje niezawodność układu:
R(t) = (−1) · R1 (t) · R2 (t) + R2 (t) · R3 (t) + R3 (t) · R1 (t) +
+ (−1)2 · 3 · R1 (t) · R2 (t) · R3 (t).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Rozważmy model 2 z 3, tzn. układ 3 elementów który
pozostaje sprawny przy działajacych
˛
co najmniej 2 elementach.
P
Sume˛ liczymy dla 3i=2 czyli liczymy dla i = 2 oraz i = 3.
Rp(2) = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
Rp(3) = R1 R2 R3
co daje niezawodność układu:
R(t) = (−1) · R1 (t) · R2 (t) + R2 (t) · R3 (t) + R3 (t) · R1 (t) +
+ (−1)2 · 3 · R1 (t) · R2 (t) · R3 (t).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Rozważmy model 2 z 3, tzn. układ 3 elementów który
pozostaje sprawny przy działajacych
˛
co najmniej 2 elementach.
P
Sume˛ liczymy dla 3i=2 czyli liczymy dla i = 2 oraz i = 3.
Rp(2) = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
Rp(3) = R1 R2 R3
co daje niezawodność układu:
R(t) = (−1) · R1 (t) · R2 (t) + R2 (t) · R3 (t) + R3 (t) · R1 (t) +
+ (−1)2 · 3 · R1 (t) · R2 (t) · R3 (t).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- założenia modelowania struktury
- szeregowej
- równoległej
-k zn
Rozważmy model 2 z 3, tzn. układ 3 elementów który
pozostaje sprawny przy działajacych
˛
co najmniej 2 elementach.
P
Sume˛ liczymy dla 3i=2 czyli liczymy dla i = 2 oraz i = 3.
Rp(2) = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
Rp(3) = R1 R2 R3
co daje niezawodność układu:
R(t) = (−1) · R1 (t) · R2 (t) + R2 (t) · R3 (t) + R3 (t) · R1 (t) +
+ (−1)2 · 3 · R1 (t) · R2 (t) · R3 (t).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Struktura szeregowo-równoległa:
T11
T13
T12
T21
T22
T31
T32
T33
T41
T42
T43
Wówczas
R(t) = 1−(1−R11 (t)R12 (t)R13 (t))(1−R21 (t)R22 (t))(1−R31 (t)R32 (t)R3
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Struktura równoległo-szeregowa
T11
T31
T21
T32
T12
T13
T22
T33
Wówczas
R(t) = (1−(1−R11 (t))(1−R12 (t))(1−R13 (t)))(1−(1−R21 (t))(1−R22 (t)
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Struktura mostkowa:
T3
T1
T5
T2
Wykład 4
T4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Struktura mostkowa:
T3
T1
T5
T2
T4
System składa sie˛ z elementów wejściowych T1 , T2 , elementów
wyjściowych T3 , T4 i elementu mostkujacego
˛
T5 .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Struktura mostkowa:
T3
T1
T5
T2
T4
Jeżeli element mostkujacy
˛
jest sprawny, to wystarczy, że
sprawny jest jeden element wejściowy i jeden element wyjściowy.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Struktura mostkowa:
T3
T1
T5
T2
T4
Jeżeli element mostkujacy
˛ jest niesprawny, to konieczna jest
sprawność sasiednich
˛
elementów wejściowego i wyjściowego.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Struktura mostkowa:
T3
T1
T5
T2
T4
Układ jest sprawny przy sprawności: T1 , T3 lub T1 , T5 , T4 lub
T2 , T4 lub T2 , T5 , T3 .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Jak policzyć niezawodność struktury mostkowej?
Zauważmy, że mamy dwa przypadki: mostek sprawny lub
mostek niesprawny.
Jeżeli T oznacza zmienna˛ losowa˛ niezawodności układu to
stosujac
˛ wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymamy:
P(T ) = P(T |T5 )P(T5 ) + P(T |T̄5 )P(T̄5 ).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Jak policzyć niezawodność struktury mostkowej?
Zauważmy, że mamy dwa przypadki: mostek sprawny lub
mostek niesprawny.
Jeżeli T oznacza zmienna˛ losowa˛ niezawodności układu to
stosujac
˛ wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymamy:
P(T ) = P(T |T5 )P(T5 ) + P(T |T̄5 )P(T̄5 ).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Jak policzyć niezawodność struktury mostkowej?
Zauważmy, że mamy dwa przypadki: mostek sprawny lub
mostek niesprawny.
Jeżeli T oznacza zmienna˛ losowa˛ niezawodności układu to
stosujac
˛ wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymamy:
P(T ) = P(T |T5 )P(T5 ) + P(T |T̄5 )P(T̄5 ).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Zauważmy, że dla mostka sprawnego układ staje sie˛
równoległo-szeregowy:
T1
T3
T2
T4
sprawny mostek
Wówczas:
R(t) = (1 − (1 − R1 (t))(1 − R2 (t)))(1 − (1 − R3 (t))(1 − R4 (t)))
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Z kolei dla niesprawnego mostka układ staje sie˛
szeregowo-równoległy:
T1
T3
T2
T4
niesprawny mostek
Wówczas:
R(t) = 1 − (1 − R1 (t)R3 (t))(1 − R2 (t)R4 (t)).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Z kolei dla niesprawnego mostka układ staje sie˛
szeregowo-równoległy:
T1
T3
T2
T4
niesprawny mostek
Wówczas:
R(t) = 1 − (1 − R1 (t)R3 (t))(1 − R2 (t)R4 (t)).
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Czy możemy zatem napisać, że
R(t) = (1 − (1 − R1 (t))(1 − R2 (t)))(1 − (1 − R3 (t))(1 − R4 (t)))R5 (t)
+1 − (1 − R1 (t)R3 (t))(1 − R2 (t)R4 (t))Q5 (t)?
Przypomnijmy, że R(t) oznacza prawdopodobieństwo
wystapienia
˛
awarii po czasie nie krótszym niż t. Jest wiec
˛
możliwa sytuacja, gdy mostek ulega awarii ale wówczas akurat
działaja˛ elementy w jednym szeregu np. T1 , T3 , później mostek
odzyskuje sprawność a układ jest sprawny poprzez T1 , T4 .
Zatem w takim systemie jest istotna koegzystencja
awarii/zdatności odpowiednich elementów. Możemy powyższy
wzór używać dla określenie sprawności chwilowej (małe ∆t). W
ogólnej sytuacji układ jest znacznie bardziej skomplikowany.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Czy możemy zatem napisać, że
R(t) = (1 − (1 − R1 (t))(1 − R2 (t)))(1 − (1 − R3 (t))(1 − R4 (t)))R5 (t)
+1 − (1 − R1 (t)R3 (t))(1 − R2 (t)R4 (t))Q5 (t)?
Przypomnijmy, że R(t) oznacza prawdopodobieństwo
wystapienia
˛
awarii po czasie nie krótszym niż t. Jest wiec
˛
możliwa sytuacja, gdy mostek ulega awarii ale wówczas akurat
działaja˛ elementy w jednym szeregu np. T1 , T3 , później mostek
odzyskuje sprawność a układ jest sprawny poprzez T1 , T4 .
Zatem w takim systemie jest istotna koegzystencja
awarii/zdatności odpowiednich elementów. Możemy powyższy
wzór używać dla określenie sprawności chwilowej (małe ∆t). W
ogólnej sytuacji układ jest znacznie bardziej skomplikowany.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Czy możemy zatem napisać, że
R(t) = (1 − (1 − R1 (t))(1 − R2 (t)))(1 − (1 − R3 (t))(1 − R4 (t)))R5 (t)
+1 − (1 − R1 (t)R3 (t))(1 − R2 (t)R4 (t))Q5 (t)?
Przypomnijmy, że R(t) oznacza prawdopodobieństwo
wystapienia
˛
awarii po czasie nie krótszym niż t. Jest wiec
˛
możliwa sytuacja, gdy mostek ulega awarii ale wówczas akurat
działaja˛ elementy w jednym szeregu np. T1 , T3 , później mostek
odzyskuje sprawność a układ jest sprawny poprzez T1 , T4 .
Zatem w takim systemie jest istotna koegzystencja
awarii/zdatności odpowiednich elementów. Możemy powyższy
wzór używać dla określenie sprawności chwilowej (małe ∆t). W
ogólnej sytuacji układ jest znacznie bardziej skomplikowany.
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Rozważmy system złożony z n elementów o stałych
intensywnościach uszkodzeń λ1 , . . . , λn .
Jeżeli jest to układ szeregowy, to system jako
Pcałość ma
również stała˛ intensywność uszkodzeń λ = λi .
Wynika to z fakty, że dla stałej intensywności uszkodzeń
rozkład jest wykładniczy.
W szczególności szeregowy system jednorodny o stałych
intensywnościach uszkodzeń λ0 ma stała˛ intensywność
uszkodzeń równa˛ nλ0 .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Rozważmy system złożony z n elementów o stałych
intensywnościach uszkodzeń λ1 , . . . , λn .
Jeżeli jest to układ szeregowy, to system jako
Pcałość ma
również stała˛ intensywność uszkodzeń λ = λi .
Wynika to z fakty, że dla stałej intensywności uszkodzeń
rozkład jest wykładniczy.
W szczególności szeregowy system jednorodny o stałych
intensywnościach uszkodzeń λ0 ma stała˛ intensywność
uszkodzeń równa˛ nλ0 .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Rozważmy system złożony z n elementów o stałych
intensywnościach uszkodzeń λ1 , . . . , λn .
Jeżeli jest to układ szeregowy, to system jako
Pcałość ma
również stała˛ intensywność uszkodzeń λ = λi .
Wynika to z fakty, że dla stałej intensywności uszkodzeń
rozkład jest wykładniczy.
W szczególności szeregowy system jednorodny o stałych
intensywnościach uszkodzeń λ0 ma stała˛ intensywność
uszkodzeń równa˛ nλ0 .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Rozważmy system złożony z n elementów o stałych
intensywnościach uszkodzeń λ1 , . . . , λn .
Jeżeli jest to układ szeregowy, to system jako
Pcałość ma
również stała˛ intensywność uszkodzeń λ = λi .
Wynika to z fakty, że dla stałej intensywności uszkodzeń
rozkład jest wykładniczy.
W szczególności szeregowy system jednorodny o stałych
intensywnościach uszkodzeń λ0 ma stała˛ intensywność
uszkodzeń równa˛ nλ0 .
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Jeżeli układ jest równoległy, to system n elementów o stałych
intensywnościach uszkodzeń nie ma stałej intensywności
uszkodzeń.
Rozważmy dla przykładu jednorodny system złożony z dwóch
elementów o intensywnościach uszkodzeń
λ1 = λ2 = 0, 001[1/h].
Wówczas
R(t) = 1 − [1 − R0 (t)]2 = 1 − [1 − e−0,001t ]2 = 2e−0,001t − e−0,002t
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Jeżeli układ jest równoległy, to system n elementów o stałych
intensywnościach uszkodzeń nie ma stałej intensywności
uszkodzeń.
Rozważmy dla przykładu jednorodny system złożony z dwóch
elementów o intensywnościach uszkodzeń
λ1 = λ2 = 0, 001[1/h].
Wówczas
R(t) = 1 − [1 − R0 (t)]2 = 1 − [1 − e−0,001t ]2 = 2e−0,001t − e−0,002t
Wykład 4
Pojecie
˛
systemu, struktury w sensie niezawodności
Modele niezawodnościowe układów urzadze
˛
ń
Niezawodność struktury
Inne struktury niezawodności
- struktury mieszane
- struktura złożona
Jeżeli układ jest równoległy, to system n elementów o stałych
intensywnościach uszkodzeń nie ma stałej intensywności
uszkodzeń.
Rozważmy dla przykładu jednorodny system złożony z dwóch
elementów o intensywnościach uszkodzeń
λ1 = λ2 = 0, 001[1/h].
Wówczas
R(t) = 1 − [1 − R0 (t)]2 = 1 − [1 − e−0,001t ]2 = 2e−0,001t − e−0,002t
Wykład 4