Zestaw zadań z drzew Z. 1. Czy drzewo jest grafem dwudzielnym? Z

Zestaw zadań z drzew
Z. 1. Czy drzewo jest grafem dwudzielnym?
Z. 2. Czy istnieje drzewo o 7 wierzchołkach, którego wierzchołki mają stopnie 1, 1, 1, 2, 2, 2, 5 ?
Z. 3. Ile wynosi suma stopni wierzchołków w drzewie o n wierzchołkach ?
Z. 4. Graf G ma 16 krawędzi, jeden wierzchołek stopnia 4, pięć wierzchołków stopnia 3, pięć wierzchołków
stopnia 1, a pozostałe wierzchołki mają stopień 2. Czy graf G może być drzewem? Czy G może być spójny i
zawierać cykl C10 ?
Z. 5. Uzasadnić, że drzewo T ma co najmniej ∆(T ) liści.
Definicja. 1. Korzeń - jeden wyróżniony wierzchołek w drzewie
Jeżeli wierzchołki dwa leżą na jednej ścieżce o początku w korzeniu drzewa, to wierzchołek leżący bliżej
korzenia nazywamy przodkiem, a wierzchołek leżący dalej nazywamy potomkiem. Jeżeli odległość między
tymi wierzchołkami wynosi 1, to jest to odpowiednio rodzic i dziecko.
Drzewo m-arne - każdy rodzic ma co najwyżej m dzieci
Drzewo binarne - drzewo 2-arne
Regularne drzewo m-arne - każdy rodzic ma dokładnie m dzieci
Numer poziomu wierzchołka u - długość ścieżki od korzenia do wierzchołka u
Wysokość drzewa - największy numer poziomu wierzchołka
Pełne drzewo m-arne - regularne drzewo m-arne, w którym każdy liść ma ten sam poziom
Z. 6. a) Ile najmniej, a ile najwięcej liści może mieć drzewo binarne o n wierzchołkach ?
b) Jaka może być najmniejsza, a jaka największa wysokość drzewa binarnego o n wierzchołkach ?
Z. 7. Ile ważeń wagą szalkową trzeba wykonać, aby wykryć fałszywą monetę wśród 4 monet ? Nie wiemy,
czy fałszywa moneta jest lżejsza, czy cięższa. Proszę znaleźć najmniejszą liczbę ważeń i narysować drzewo
decyzyjne odpowiadające algorytmowi ważenia.
b) to samo dla 6 monet.
A gdy chcemy ocenić, czy moneta jest cięższa, czy lżejsza?
Z. 8. Chcemy ustawić rosnąco różne liczby a, b, c, d (których nie znamy). Załóżmy, że w jednym kroku możemy
wybrać dowolne dwie i zapytać przyjaciela, która jest większa (przyjaciel zawsze podaje dobrą odpowiedź).
Skonstruować przykładowe drzewo decyzyjne pozwalające ustawić liczby rosnąco. Ile minimalnie pytań musimy zadać przyjacielowi ?
Czy 9 pytań wystarczy, by zawsze posortować 6 liczb ?
Z. 9. Dany jest graf G = (V, E), V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {12, 13, 14, 23, 34, 45}. Narysować wszystkie drzewa
rozpinające tego grafu. Które z nich otrzymamy przy użyciu algorytmu DFS, startując z wierzchołka 3.
Z. 10. Dany jest graf za pomocą list sąsiadów:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
4,5,6
3,4,12
2,4,5,7,12
1,2,3
1,3,6,7
1,5,7,8
7: 3,5,6,8,9,10
8: 6,7,10,11
9: 7,10
10: 7,8,9,11
11: 8,10
12: 2,3
Wyznaczyć drzewa rozpinające grafu z powyższego zadania metodą w głąb i wszerz. Przyjąć za korzeń wierzchołek 1, a później 7.