Trening przed egzaminem gimnazjalnym z matematyki

Trening przed egzaminem gimnazjalnym z matematyki.
Jak najlepiej przygotować się do egzaminu gimnazjalnego z matematyki?
Metody cud na przyswojenie wiedzy nie ma, ale są sposoby na uporanie się
z czekającym wyzwaniem.
W przypadku zadania otwartego ważne jest wnikliwe czytanie treści zadania,
niejednokrotnie pomóc w jego rozwiązaniu może rozbicie go na mniejsze części.
Również każde testowe pytanie powinniśmy przeczytać z uwagą, ponieważ są one często
podchwytliwe.
Młodzież nad niektórymi działami „królowej nauk” powinna popracować dłużej.
Najtrudniejszym działem jest geometria, ponieważ wymaga abstrahowania i wiązania
informacji z innych działów matematyki. Rozwiązując zadania z geometrii należy
pamiętać o pomocniczym rysunku, wskazaniem wielkości, którą należy obliczyć lub
zależności, którą należy udowodnić.
Jednak niektóre zadania mają tzw. „niedobór danych”. Standardowy sposób ich
rozwiązania prowadzi do straty czasu i niepotrzebnych nerwów.
Oto przykład takiego zadania z „haczykiem”.
„Wysokość trapezu równoramiennego wynosi 5 cm, a jego przekątna ma 13 cm długości.
Oblicz pole tego trapezu.”
Standardowy sposób:
Najpierw sporządzamy rysunek, na którym zaznaczamy wielkości dane i szukane.
Wielkością do policzenia jest pole trapezu: P 
a  b  h  a  b  5
2
2
Do tego wzoru potrzebujemy podstaw trapezu. Nawet skorzystanie z twierdzenia
Pitagorasa dla trójkąta ACF powoduje wprowadzenie nowej niewiadomej │AF│=x,
co komplikuje rozwiązanie.
Przykład poprawnego rozwiązania:
Dlatego w takich sytuacjach nie próbujmy za wszelką cenę obliczać wielkości a i b osobno.
Łatwiejszym sposobem na obliczenie pola trapezu jest inna interpretacja rysunku
pomocniczego.
Wielkością do obliczenia jest pole trapezu:
P
 AB  CD   h  a  b  a  b  5  2a  2b  5  2  a  b  5  5  a  b
2
2
2
2
Zauważmy, że z trójkąta ACF na podstawie tw. Pitagorasa wynika zależność:
a  b2  52  132 . Wtedy a  b2  169  25 czyli
a  b  144  12cm
Wystarczy wtedy wartość sumy (a+b) podstawić do wzoru na pole trapezu:
P  5  a  b  5  12  60cm 2
Odp: Pole trapezu wynosi 60 cm2.
Zestaw przykładowych zadań, które warto rozwiązać
przed egzaminem gimnazjalnym
1. Ogródek kwiatowy ma kształt trójkąta prostokątnego
o przeciwprostokątnej długości 6m i krótszej przyprostokątnej równej
3m. W wierzchołku B ustawiono zraszacz ogrodowy, który z
ustawioną blokadą obrotów nawadniał tylko część tego ogródka.
Jaka powierzchnia została nawodniona? Jakie jest pole powierzchni
tego ogródka?
2. Stefek wykonał latawiec w kształcie deltoidu. Najpierw wykonał
szkielet latawca z listewek drewnianych. Okazało się, że krótsza
przekątna o długości 30cm podzieliła deltoid na dwa trójkąty: równoboczny
i równoramienny. Ile m2 materiału potrzebuje na wykonanie latawca jeśli suma
długości listewek po obwodzie wynosi 1,1m. Dolicz 10% na zakładki.
Przyjmij za 3  1,7 . Wynik zaokrąglij do 0,01.
3. Dziecko nasypuje piasek do foremek w kształcie stożka o promieniu podstawy
5cm i tworzącej 13cm. Następnie przesypuje go do wiaderka w kształcie walca
o wysokości 36cm i promieniu dwa razy większym niż promień foremki.
Jaką część wiaderka wypełniło dziecko, wsypując 6 foremek piasku?
4. Cenę roweru najpierw obniżono o 10% a potem podwyższono o 5% i po tych
zmianach okazało się, że cena końcowa jest o 66zł niższa przed zmianami.
Jaka była cena początkowa a jaka końcowa?
5. Stefek wykonał akwarium w kształcie graniastosłupa prostego o wysokości 0,5m.
Podstawą tego akwarium jest trapez prostokątny o kącie ostrym 45o. Boki
równoległe tego trapezu pozostają w stosunku 3:5 i ich suma długości wynosi 80cm.
Ile litrów wody potrzebuje Stefek, aby napełnić akwarium do 0,6 wysokości?
6. Korzystając z rys oblicz szerokość drogi (x)
7. Aby zabezpieczyć teren uczniowie postanowili wykonać i ustawić odpowiednie
znaki w kształcie koła o średnicy 50 cm Do dyspozycji mają prostokątną płytę
o wymiarach 2m i 3m. Oblicz ile maksymalnie znaków mogą wykonać z tej płyty.
8. Po przyjęciu urodzinowym musisz posprzątać mieszkanie. Przewidujesz,
że czynność ta zajmie ci 3 godziny. Ile czasu zyskasz, jeżeli poprosisz o pomoc
siostrę, która sprzątając samodzielnie poświęciłaby na to 2 godziny?
9. Agata potrafi przeczytać 320 stron powieści w ciągu 960 minut, Mirek czyta 270
stron w ciągu 72 kwadransów, a Zuzi na przeczytanie 391 stron tej samej powieści
wystarczy 61200 sekund. Którą z tych trzech osób należałoby wytypować jako
przedstawiciela klasy na konkurs szybkiego czytania zorganizowany podczas
„ Zielonej szkoły”?
10.W bibliotece szkolnej znajduje się 59 płyt DVD. Są to płyty z lekturami oraz płyty
o tematyce historycznej i przyrodniczej. Płyt z lekturami jest 2 razy więcej niż o
tematyce przyrodniczej, ale o 6 więcej niż płyt o tematyce historycznej. Ile płyt
DVD każdego rodzaju znajduje się w bibliotece?
11.Korzystając z rys. wyznacz współrzędną punktu A.
12.Wycieczka licząca 33 osoby zamieszkała na drugim piętrze hotelu Metropol,
w pokojach dwuosobowych i trzyosobowych. W recepcji powiedziano im, że na tym
piętrze jest dwa razy więcej pokoi dwuosobowych niż trzyosobowych oraz że wolny
pozostał tylko jeden pokój dwuosobowy. Oblicz, ile pokoi zajęła ta grupa?
13.Jezioro Notyst, leżące między Mrągowem a Rynem, na mapie w skali 1: 60000
zajmuje około 4,5 cm². Jaka jest rzeczywista powierzchnia tego jeziora?
14.Stefek wykonał trzy działania zadane z matematyki. Oceń, które rozumowanie
ucznia jest poprawne:
I: 25  16  52  42  52  4 2  5  4  1
II: 212 : 48  212 : 22   212 : 216  2 4  16
8
III: 4,5 1016  3  1013  7,5  10 29
24 2 : 6 2 4 2
IV:
 3  4 23  41  4
3
4
4
15.Wiedząc, że AD││BC, oblicz miarę kata α (rys)
16.Za bilety wstępu do kina gimnazjaliści zapłacili 150zł. Kupili 20 biletów ulgowych
i 3 bilety normalne. Cena biletu ulgowego stanowiła 60% ceny biletu normalnego.
Oblicz, jaka była cena biletu normalnego?
17.Rodzice Franka planują wybudować dom na planie
prostokąta o wymiarach 16m i 12m.
Architekt zaplanował fundamenty o szerokości
1 m i głębokości 1,40 m. Oblicz ile m3 ziemi
należy usunąć, aby można było wylać fundamenty
zgodnie z projektem.
18.Akwarium w którym Janek hoduje rybki ma
kształt prostopadłościanu o wymiarach 5dm, 8dm, 6dm. Janek wlewa do niego wodę
przepływającą przez kran z szybkością 8 litrów na minutę. Do jakiej wysokości
będzie sięgać woda w akwarium po 10 minutach?
28
20
e
e
w
an
i li
ow
w
cz
ek
ol
ad
o
pi
st
ac
jo
w
iś
ni
ow
w
e
12
e
19.Diagram przedstawia, ile lodów sprzedano
w szkolnym sklepiku pewnego letniego dnia.
Jaki procent wszystkich lodów stanowiły lody
waniliowe?
40
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
20.Pan Stefan kupił działkę prostokątną o długości 40m pod budowę domu. Ścieżka
biegnąca wzdłuż przekątnej tej działki ma długość 50m. Oblicz ile złotych zapłaci
za tą działkę, jeśli cena 1 m2 działki budowlanej w tej okolicy wynosi 75 zł.
21.Obserwując zużycie benzyny w swoim samochodzie, pan Kowalski stwierdził, że
jeśli wystartuje z pełnym zbiornikiem paliwa i będzie jechał po autostradzie ze stałą
prędkością, to zależność liczby litrów benzyny w baku (y) od liczby przejechanych
kilometrów (x) wyraża się wzorem: y= -0,05x+42. Jaką pojemność ma bak tego
samochodu? Oblicz ile benzyny pozostanie w baku po przejechaniu 360 km?
22.W hurtowni, gdzie zaopatrują się w towar właściciele sklepów, cena lodówki wraz
z 22% podatkiem VAT wynosi 1464 zł. Oblicz, jaka jest cena netto (bez podatku) tej
lodówki. W jakiej cenie sprzeda tę lodówkę pan Jan, który prowadzi sklep
z artykułami AGD, jeśli do ceny brutto (wraz z podatkiem) doliczył marżę
w wysokości 10 %.
23.Pociąg jadąc ze średnią prędkością 48km/h pokonuje odległość z miejscowości A
do miejscowości B w czasie 20min. W jakim czasie pokona tę samą odległość, jeśli
musi zmniejszyć średnią prędkość o 8km/h ze względu na prowadzone prace
remontowe na tym odcinku kolejowym.
24.Przez pole przechodzi rów melioracyjny długości 300 m i głębokości 1 m. Przekrój
tego rowu jest trapezem równoramiennym o podstawach długości 3 m i 2 m. Ile m3
ziemi wybrano podczas kopania tego rowu?
25.Dane są punkty A=(-3;-2), B=(-1;0), C=(-3;3).Oblicz pole sześciokąta ABCDEF,
którego osią symetrii jest oś rzędnych oraz wierzchołki D,E,F są punktami
symetrycznymi do odpowiednio C,B,A względem tej osi.
Odpowiedzi do zadań:
1. P1=1,5π m2, P2= 4,5 3 m2
2. P=0,08 m2
3.
1
6
4. 1200zł. 1134zł
5. 24 l
6. x=6m
7. 24
8. 1h 48min
9. Agata
10.13-przyr, 26-lekt, 20-hist
11.
3
8
12.9-dwuosob, 5-trzyosob.
13.1,62 km2
14.IV
15.60o
16.10 zł
17.72,8 m3
18.2 dm
19.20%
20.90 000zł
21.pojemność-42 l, pozostanie-24 l
22.netto-1200zł, brutto-1610,40zł
23.24 min
24.750 m3
25.20 j2
Opracował Z. Szubarczyk