Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas którego

Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas którego

Ruch płaski
Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do
pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą.
Punkty bryły o jednakowych
prędkościach i przyspieszeniach
π
Bryła w ruchu płaskim
π 0 (płaszczyzna kierująca)
Punkty ciała leżące na prostej prostopadłej do płaszczyzny kierującej poruszają się po takich samych torach, mają
jednakowe prędkości i przyspieszenia. Zatem dla badania ruchu płaskiego wystarczy wziąć pod uwagę dowolny przekrój
ciała płaszczyzną równoległą do kierującej.
Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch płaski jest superpozycją (złożeniem) ruchów: postępowego dowolnie wybranego punktu ciała (bieguna) i obrotowego
wokół tego wybranego punktu. Ruch płaski można też traktować jako ruch obrotowy, wokół pewnego punktu, tzw. środka
obrotu. Środek obrotu zmienia swoje położenie podczas ruchu.
a)
B
B’
φ
A
A’
b)
Ruch płaski jako: a) superpozycja ruchu postępowego
i obrotowego, b) ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu
B
B’
A
A’
Cv
Prof. Edmund Wittbrodt
Położenie bryły
Aby określić położenie ciała na płaszczyźnie należy podać trzy współrzędne (bryła ma trzy stopnie swobody). Na ogół są to:
y
Położenie bryły w ruchu płaskim
A
A0
r φ
ψ
O
– dwie współrzędne bieguna 0(x, y):
rA
rO
xO = xO (t),
yO
x
xO
yO = yO (t),
(3.34a)
– kąt, o jaki obróciło się ciało
ϕ = ϕ(t).
(3.34b)
Położenie dowolnego punktu A bryły, względem nieruchomego układu osi x, y, określamy za pomocą wektora
położenie punktu A, względem bieguna, opisuje wektor OA , gdzie
OA = r = r cosψ i + r sin ψ j
więc wektor
rA
rA .
Ponieważ
,
przyjmuje postać
rA = rO + r = ( xO + r cosψ ) i + ( yO + r sinψ ) j
.
(3.35)
Prof. Edmund Wittbrodt
Prędkość bryły
Prędkość ciała w ruchu płaskim jest określona, jeżeli znamy prędkość bieguna vO oraz prędkość kątową bryły
Prędkość bieguna obliczamy różniczkując współrzędne bieguna z równania (3.34a) względem czasu
vO = vOx i + vOy j
gdzie:
,
ω.
(3.36a)
vOx = x&O , vOy = y&O ,
natomiast prędkość kątową obliczamy różniczkując kąt obrotu ciała z równania (3.34b) względem czasu
ω = ϕ& k
(3.36b)
Prof. Edmund Wittbrodt
Prędkość liniową punktu A bryły obliczamy przez zróżniczkowanie względem czasu równania (3.35)
v A = r&A = r&O + r& = vO + v AO .
(3.37)
Prędkość vO jest prędkością bieguna i dana jest równaniem (3.36a), natomiast
bieguna O , obliczamy – jak dla ruchu obrotowego – z zależności
v AO
rω cosψ j
= r& = ω × r =
v AO ,
i
j
k
0
0
ω
r cosψ
r sinψ
0
która jest prędkością punktu A względem
,
(3.38)
,
(3.39)
vA
v Ay
zatem
y& O j
A
y& O j
r
y
O
O
v A = v Ax i + v Ay j
v Ax
rω sinψ i
gdzie:
v Ax = x&O − rω sin ψ
,
v Ay = y&O + rω cosψ
.
x& O i
ω
ψψ
x& O i
x
Wektor prędkości punktu bryły w ruchu płaskim
Prof. Edmund Wittbrodt
Wartość wektora prędkości punktu A obliczamy (rys. 3.28)
= ( x&O ) 2 + ( y&O )2 + r 2ω 2 − 2rω ( x&O sin ψ − y&O cosψ ) .
2
2
v A = v Ax
+ v Ay
= ( x&O − rω sin ψ ) 2 + ( y&O + rω cosψ )2
Często wygodniej jest obliczać prędkość punktu A, korzystając ze współrzędnych naturalnych do opisu prędkości
względnej. We wzorze (3.37), jak poprzednio, v0 jest prędkością bieguna, a v AO jest prędkością względną punktu A
względem bieguna O. Zatem
v A = vO + v AO ,
gdzie:
vO = r&O ,
przy czym:
(3.40)
v AO = r& = ω × r
,
v AO = ω r = ϕ& r ,
zaś kierunek wektora
co można też zapisać
jest prostopadły do wektora
v AO = ϕ& ret .
v AO
Ostatecznie zależność na prędkość punktu A bryły przyjmuje postać
ω
i do wektora
r
v A = vO + ϕ& ret .
(zgodny z kierunkiem osi t)
(3.41)
t
vA
r ϕ&et
vO
AA
ω = ϕ&
r
vO
Określenie prędkości punktu A bryły
w ruchu płaskim przy danej prędkości punktu O
n
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie
W ruchu płaskim istnieje punkt, którego prędkość jest równa zero. Jest to chwilowy środek prędkości.
Przyjmując za biegun chwilowy środek prędkości (O ≡ Cv) prędkość dowolnego punktu A możemy obliczyć z zależności
(rys. 3.30)
v A = ωρ A et .
A
vA
t
ρA
ω = ϕ&
Cv ≡ 0
n
Prędkość punktu A bryły w ruchu płaskim
przy wykorzystaniu chwilowego środka prędkości
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie bryły w ruchu płaskim określamy przez podanie przyspieszenia bieguna oraz przyspieszenia kątowego.
Przyspieszenie bieguna otrzymujemy różniczkując równanie (3.36a) względem czasu
aO = v&O = aOx i + aOy j
,
(3.42)
gdzie:
aOx = v&Ox = &&
xO , aOy = v&Oy = &&
yO .
(3.42a)
Natomiast przyspieszenie kątowe otrzymamy przez zróżniczkowanie równania (3.36b)
ε = ω& = ϕ&&k
.
(3.43)
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie liniowe punktu A bryły określimy przez zróżniczkowanie względem czasu równania (3.39). Należy przy tym
pamiętać, że ω = ω (t ) oraz ψ = ψ (t ) , a ich pochodne ω& = ε oraz ψ& = ω . Zatem
a A = v& A = &&
rO + &&
r = a Ax i + a Ay j
,
(3.44)
gdzie:
a Ax = v&Ax = &&
xO − r (ε sinψ + ω 2 cosψ ) ,
a Ay = v& Ay = &&
yO + r (ε cosψ − ω 2 sinψ ) ,
są składowymi wektora przyspieszenia
(3.44a)
aA .
r ( ε cosψ − ω 2 sinψ ) j
aA
aAy
&&
yO j
r ( ε sinψ + ω 2 cosψ ) i
&&
yO j
ω
ε
A
aAx
&&
xO i
y
r
ψ
&&
xO i
O
x
Przyspieszenie punktu A bryły w ruchu płaskim
Prof. Edmund Wittbrodt
Podobnie jak przy obliczaniu prędkości, często wygodniej jest przedstawiać wektor przyspieszenia we współrzędnych
naturalnych. Różniczkując (3.40) mamy
a A = v& A = v&O + v&AO = r&&O +
d
(ω × r ) = aO + ε × r + ω × (ω × r ) ,
dt
czyli
n
a A = aO + atAO et + a AO
en ,
(3.45)
gdzie: atAO = ε r – składowa styczna przyspieszenia względnego,
– przyspieszenie bieguna.
Sposób składania składowych przyspieszenia
t
aA
a nAO = ω 2 r
– składowa normalna przyspieszenia względnego,
aO
przedstawiono na rysunku.
t
aAO
et
aAO
A
ε
ω
n
aAO
en
aA
aO
O
n
aO
Przyspieszenie punktu A bryły
w ruchu płaskim przy danym przyspieszeniu punktu O
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie
W ruchu płaskim istnieje punkt, którego przyspieszenie równa się zero. Jest to chwilowy środek przyspieszenia (nie
pokrywa się on na ogół z chwilowym środkiem prędkości!).
Przyjmując za biegun chwilowy środek przyspieszenia (O ≡ Ca), przyspieszenie punktu A możemy obliczać z zależności
a A = ερ A et + ω 2 ρ A en .
(3.46)
aAt et
A
t
aAn en
ρA
ε
aA
ω
Ca ≡ 0
n
Przyspieszenie punktu A w ruchu płaskim bryły,
przy wykorzystaniu chwilowego środka przyspieszeń
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 1
Rzuty wektorów prędkości dwóch dowolnych punktów bryły na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
v A cos α = vB cos β
.
vA
A
α
v A cos α
B
v B cos β
β
vB
Rzuty wektorów prędkości punktów A i B bryły
na prostą łączącą te punkty
Twierdzenie to jest słuszne dla dowolnego ruchu bryły. Gdyby rzuty wektorów prędkości punktów nie były sobie równe, to
odległość pomiędzy tymi punktami musiałaby się zmieniać, co jest z założenia niemożliwe dla bryły sztywnej.
Twierdzenie 2
Wektor prędkości punktu bryły jest prostopadły do promienia łączącego chwilowy środek prędkości z tym punktem.
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 3
Końce wektorów prędkości dowolnych punktów bryły w ruchu płaskim są widziane pod tym samym kątem ϕ z
chwilowego środka prędkości, przy czym
ϕ = arctgω .
B
Prędkości punktów bryły widziane z chwilowego środka prędkości Cv
vB
ρB
vA
A
ϕ
ϕ
ρA
ω
Cv
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 4
Wektory przyspieszeń punktów bryły są nachylone pod kątem β do promieni łączących chwilowy środek
przyspieszeń z tymi punktami, przy czym)
 ε 
.
 ω2 
β = arctg 
ε
Ca
γ
γ
β
B
rAB
aB
β
β
aA
aBA
A
Położenie chwilowego środka przyspieszeń C a w ruchu płaskim bryły
Twierdzenie 5
Wektory przyspieszeń punktów bryły są widziane pod tym samym kątem γ z chwilowego środka przyspieszeń.
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 6
Składowe styczne wektorów przyspieszeń punktów bryły są widziane pod tym samym kątem δ z chwilowego środka
przyspieszeń, przy czym
δ = arctgε
.
B
aBt
ρB
a At
A
δ
δ
ρA
ε
Ca
Przyspieszenia styczne punktów bryły widziane z chwilowego środka przyspieszeń Ca
Prof. Edmund Wittbrodt