Wykład 2

Ruch kulisty bryły. Kinematyka
Ruchem kulistym nazywamy ruch, w czasie którego jeden z punktów bryły jest stale nieruchomy. Ruch kulisty jest obrotem
dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta zmienia swoje położenie w czasie).
a)
b)
A’
A
z
B
ϕz
y
O
B’
O
ϕy
x
ϕx
O1
Symetralne, leżące
na kołach dużych
∆OAB=∆OA’B’
Chwilowa
oś obrotu
Ruch kulisty bryły: a) obrót wokół punktu, b) obrót dookoła chwilowej osi obrotu
Prof. Edmund Wittbrodt
Przykłady brył w ruchu kulistym
Prof. Edmund Wittbrodt
Położenie. Bryła, której jeden punkt jest unieruchomiony ma 3 stopnie swobody. Jej położenie jest opisane w sposób jednoznaczny
jedynie za pomocą kątów, zwanych kątami Eulera. Dla określenia tych kątów wprowadzamy układ współrzędnych związanych z
bryłą ξ, η, ζ.
z
ζ
η
θ
y
O
ψ
x
linia
węzłów w
ξ
ϕ
Opis ruchu kulistego bryły za pomocą kątów Eulera
Wyobraźmy sobie, że początkowo osie układu nieruchomego x, y, z pokrywają się z osiami układu ξ, η, ζ. Następnie bryła
wykonuje obroty:
•
•
•
wokół osi nieruchomej z o kąt ψ (kąt precesji), po wykonaniu tego obrotu oś
węzłów w,
wokół osi ξ o kąt θ (kąt nutacji), ściśle wokół linii węzłów w,
wokół osi ζ o kąt ϕ (kąt obrotu własnego).
ξ znajdzie się na linii zwanej linią
Prof. Edmund Wittbrodt
Kolejność „wykonywania” powyższych obrotów jest dowolna i nie ma ona wpływu na położenie końcowe bryły.
Gdybyśmy chcieli za współrzędne bryły przyjąć kąty będące obrotami wokół osi układu nieruchomego x, y, z, wówczas kolejność
wykonywania obrotów decydowałaby o położeniu końcowym bryły. Kąty ϕx, ϕy, ϕz nie opisują więc jednoznacznie położenia
bryły (można je przyjąć tylko dla małych obrotów).
a)
z
2
1
y
Wpływ kolejności „wykonywania” obrotów bryły na położenie
końcowe: a) obroty w kolejności – wokół osi x potem y, b) obroty w
kolejności – wokół osi y potem x
x
b)
z
1
Zatem kąty: ψ = ψ(t),
2
y
θ = θ(t),
ϕ = ϕ (t )
x
Prof. Edmund Wittbrodt
są współrzędnymi bryły w ruchu kulistym.
Prędkość bryły. Ponieważ ruch kulisty jest obrotem wokół chwilowej osi obrotu, wektor prędkości kątowej leży na tej osi.
ω
Chwilowa oś obrotu bryły w ruchu kulistym
Wektor prędkości kątowej ω możemy podać zarówno w nieruchomym układzie osi x, y, z
ω = ωx i + ω y j + ωzk ,
jak i w układzie związanym z bryłą
ω = ωξ eξ + ωη eη + ωζ eζ .
Prof. Edmund Wittbrodt
Znając prędkości: ϕ& – obrotu własnego, ψ& – precesji oraz
θ& – nutacji,
η
z
ψ&
ζ
Wektory prędkości kątowych: obrotu własnego
ϕ&
, precesji
ψ& i
nutacji θ&
ϕ&
y
O
ψ
x
ϕ
Składowe wektora ω , w układzie nieruchomym
ω x   sin θ sin ψ
 
ω = ω y  = − sin θ cosψ
ω   cos θ
 z 
0 cosψ  ϕ& 
 
0 sin ψ  ⋅ ψ&  .
1
0  θ& 
natomiast: ωϕ = ϕ& , ωψ = ψ& , ωθ = θ&
x, y, z oraz ruchomym ξ, η, ζ obliczamy z zależności:
ωξ  0 sin θ sin ϕ
 
ω = ωη  = 0 sin θ cos ϕ
ω  1
cos θ
 ζ 
cos ϕ  ϕ& 
 
− sin ϕ  ⋅ ψ& 
0  θ& 
- prędkości zmian kątów Eulera.
Możemy też wektor prędkości kątowej bryły w ruchu kulistym przedstawić w postaci
ω = ϕ& ⋅ eζ + ψ& ⋅ k + θ& ⋅ ew
Prof. Edmund Wittbrodt
W celu znalezienia składowych prędkości kątowej w układzie x,y,z obliczamy poszczególne jej składowe sumując algebraicznie
odpowiednie składowe wektorów prędkości kątowych ω1 , ω 2ω 3 ’
z
θ
ϕ& cosθ
ζ
r
r
ω1 = ψ& k
r
r
ω 2 = ϕ&eς
η
−ϕ& sin θ cosψ
π
2
ϕ& sin θ
π
2
y
r
r
ω3 = θ&ew
−ψ
w
x
ϕ& sin θ sinψ
ψ
Prof. Edmund Wittbrodt
Transformacja do układu nieruchomego: x,y,z
ω1 = ψ& ⋅ k
ω2 = ϕ& ⋅ eς
ω 3 = θ& ⋅ e w
ωx
0
ϕ& ⋅ sin θ ⋅ sinψ
θ& ⋅ cosψ
ωy
0
− ϕ& ⋅ sin θ ⋅ cosψ
θ& ⋅ sinψ
ωz
ψ&
ϕ& ⋅ cos θ
0
Prof. Edmund Wittbrodt
W celu znalezienia składowych prędkości kątowej w
układzie ξ,η,ζ obliczamy poszczególne jej składowe
sumując algebraicznie odpowiednie składowe wektorów
prędkości kątowych
ω1 , ω 2ω 3 ’
Kolejność wykonywania obrotów (podana dla ułatwienia
lepszego zrozumienia transformacji):
1)
obrót wokół osi z o kąt precesji ψ (kolor
pomarańczowy, osie układu ruchomego ξ,η,ζ z
pozycji oznaczonej indeksem dolnym 0 zajmują
pozycję oznaczoną indeksem górnym ‘)
2)
obrót wokół linii węzłów w o kąt nutacji θ (kolor
niebieski, osie układu ruchomego ξ,η,ζ z pozycji
oznaczonej indeksem górnym ‘ zajmują pozycję
oznaczoną indeksem górnym ‘‘)
3)
obrót wokół osi ζ o kąt obrotu własnego φ (kolor
czerwony, osie układu ruchomego ξ,η,ζ z pozycji
oznaczonej indeksem górnym ‘‘ zajmują pozycję
końcową, bez indeksów)
Prof. Edmund Wittbrodt
Transformacja do układu ruchomego: ξ ,η , ζ
ω1 = ψ& ⋅ k
ω2 = ϕ& ⋅ eς
ω 3 = θ& ⋅ e w
ωξ
ψ& ⋅ sin θ ⋅ sin ϕ
0
θ& ⋅ cos ϕ
ωη
ψ& ⋅ sin θ ⋅ cos ϕ
0
− θ& ⋅ sin ϕ
ωζ
ψ& ⋅ cos θ
ϕ&
0
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie. Wektor przyspieszenia kątowego bryły w ruchu kulistym leży na chwilowej osi przyspieszenia.
ξ
ζ
ψ
Chwilowa oś przyśpieszenia bryły w ruchu kulistym
Wektor przyspieszenia kątowego możemy podać tak w nieruchomym układzie osi x, y, z
ε = ω& = ε x i + ε y j + ε z k ,
jak i w ruchomym układzie osi ξ, η, ζ
ε = ω& = εξ eξ + εη eη + εζ eζ .
Prof. Edmund Wittbrodt
W czasie ruchu kulistego bryły sztywnej chwilowa oś obrotu zmienia swoje położenie względem nieruchomego układu odniesienia
U oraz względem poruszającej się bryły. Przechodzi ona jednak zawsze przez środek O ruchu kulistego. Z tego względu chwilowe
osie obrotu muszą leżeć na pewnej powierzchni stożkowej o wierzchołku w punkcie O. Podobnie, miejscem geometrycznym
chwilowych osi obrotu w układzie ruchomym U’ jest powierzchnia innego stożka, o wierzchołku w punkcie O. Powierzchnie te
nazywają się aksoidami (aksioida ruchoma i aksioida nieruchoma).
z
O
aksioida nieruchoma
aksioida ruchoma
Precesja regularna (szczególny przypadek ruchu kulistego)
Prof. Edmund Wittbrodt
Precesja regularna ma miejsce, gdy spełnione są warunki:
θ = const ,
ϕ& = const
stąd
θ& = 0
ψ& = const
Dla precesji regularnej ruchy obrotowy precesji i obrotu własnego są jednostajnymi ruchami wokół osi
z
oraz
ζ.
Precesję regularną można zinterpretować jako sumę dwóch obrotowych ruchów jednostajnych: ruchu wokół osi związanej z bryłą
ζ , nachylonej stale pod kątem
θ , z prędkością kątową ϕ& = const
oraz ruchu wokół osi z, z prędkością kątową precesji
ψ& = const .
Wektor prędkości kątowej
ω
leży w płaszczyźnie z, ζ ,
a jego długość wynosi (tw. cosinusów)
ω = ϕ& 2 + ψ& 2 + 2ϕ&ψ& cos θ 0
gdzie:
ω = const , θ 0 = const
Prof. Edmund Wittbrodt
W zależności od wartości kąta pomiędzy wektorami prędkości kątowej precesji
ωψ
i obrotu własnego
ωϕ , mamy do czynienia
0
0
z precesją prostą (współbieżną), gdy θ 0 ≤ 90 (kąt ostry), lub precesją odwrotną (przeciwbieżną), gdy θ 0 > 90 (kąt rozwarty)
Prof. Edmund Wittbrodt