Zadania V. Rachunek prawdopodobieństwa. - e-WMP

Zadania V. Rachunek prawdopodobieństwa.
1. Wiadomo, że P (A ∪ B) = 0.5, P (A0 ) = 0.75 i zdarzenia A i B są niezależne. Oblicz P (B).
2. Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne, P (A0 ∪ B 0 ) =
1
3
oraz P (B) = 56 . Oblicz P (A).
3. Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne, P (A\B) = 61 , zaś P (B\A) = 14 . Oblicz P (A ∪ B).
4. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Określmy zdarzenia: A - na pierwszej kostce wypadło 6 oczek, B - na drugiej
kostce wypadła jedynka. Zbadaj niezależność i wykluczanie się zdarzeń A i B. Czy z niezależnośći zdarzeń wynika ich
wykluczanie się? Czy z wykluczania się zdarzeń wynika ich niezależność?
5. Niech A i B będą dwoma wykluczającymi się zdarzeniami określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej Ω.
Wykaż, że są one niezależne wtey i tylko wtedy, gdy P (A) = 0 lub P (B) = 0.
6. Wykaż, że jeśli P (B|A) = P (B|A0 ) i P (A) > 0 oraz P (A0 ) > 0, to zdarzenia A i B są niezależne.
7. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Czy niezależne są następujące pary zdarzeń:
(a) A - na pierwszej kostce wypadła liczba oczek większa od 4, B - suma oczek na obu kostkach jest podzielna przez
5,
(b) A - na obu kostkach wypadła nieparzysta liczba oczek, B - na drugiej kostce wypadła liczba oczek podzielna przez
3.
(c) A - iloczyn oczek na obu kostkach jest większy od 20, B - na obu kostkach wypadła parzysta liczba oczek.
8. Z 52 kart wyciągamy jedną. Czy zdarzenia w następujących parach są niezależne? a) A -wyciągnęliśmy króla, BWyciągnęliśmy pika; b) C-Wyciągnęliśmy kiera, D-Wyciągnęliśmy czerwoną figurę?
9. Wybieramy losowo rodzinę spośród wszystkich mających n dzieci. Niech zdarzenie A polega na tym, że w losowo
wybranej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka, B- w rodzinie są dziewczynki i chłopcy. Czy zdarzenia A i B są
niezależne?
10. Niech Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 }, P ({ωi }) = 0.25, Ai = {ωi , ωi+1 }, i = 1, 2, 3. Czy zdarzenia są niezależne parami? Czy
zdarzenia są niezależne?
11. Dane są zdarzenia niezależne A i B, przy czym P (A) = P (B) = p. Jaka jest szansa, że zaszły oba, jeśli wiadomo, że
zaszło co najmniej jedno?
12. Rozpatrzmy n-krotny rzut symetryczną monetą. Niech zdarzenie Ak polega na tym, że w wyniku k-tego rzutu otrzymaliśmy orła. Czy zdarzenia A1 , . . . , An są niezależne?
13. Zdarzenia A1 , . . . , A10 są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo p. Jaka jest szansa, że a) zajdzie dokładnie
jedno; b) zajdzie tylko A1 ?
14. Zdarzenia A1 , . . . , An są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo p. Jaka jest szansa, że a) zajdą wszystkie
naraz? b) nie zajdzie żadne z nich?, c) zajdzie dokładnie jedno?, d)zajdzie choć jedno?
15. Adam, Barnaba i Czesław strzelają do tarczy; szansa trafienia wynosi p, 0 < p < 1. W tarczy znaleziono dwa otwory
po kulach. Jaka jest szansa, że Czesław trafił?
16. Asesor, Rejent i x. Robak strzelili prawie jednocześnie do niedźwiedzia. Jak wiadomo wywiązała się kłótnia, rozstrzygnięta przez Gerwazego, który stwierdził, że zwierz padł od jednej kuli. Czy zanim Gerwazy zidentyfikuje broń, z której
wystrzelono kulę, da się obliczyć prawdopodobieństwo, ze to Asesor jest szczęśliwym strzelcem, wiedząc, iż ma on
szanse trafienia 0.7, Rejent 0.8, x. Robak 0.9?
17. Rzucono 10 razy kostką. Jaka jest szansa otrzymania a) 6 oczek co najmniej raz?, b) 5 oczek dokładnie 3 razy?
18. Rzucamy trzy razy dwoma kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa razy suma wyrzuconych
oczek będzie większą od siedmiu liczbą parzystą.
19. Przy trzykrotnym wykonaniu tego samego doświadczenia losowego prawdopodobieństwo otrzymania przynajmniej jednego sukcesu wynosi 78 . Jakie jest prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu?
20. Co jest łatwiej: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem przynajmniej 5 partii z 7 rozgrywanych czy przynajmniej 4
partie z 6 rozgrywanych?
21. Dwie osoby rzucają po n razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda z nich otrzyma tę samą
liczbę orłów?
22. Rzucono 10 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymano szóstkę, jeśli
wiadomo, że a) otrzymano 3 szóstki, b) w następnych 9 rzutach otrzymano szóstki?
23. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ciągu n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p.
24. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego?
25. W meczu piłki nożnej z prawdopodobieństwem 1/6 wygrywają goście, 1/2 gospodarze, a z prawdopodobieństwem 1/3
będzie remis. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 14 meczach będzie 7 zwycięstw gospodarzy i 3 remisy?
k
26. Owad składa k jaj z prawdopodobieństwem λk! e−λ , λ > 0, k = 0, 1, 2 . . .. Potomek wylęga się z jaja z prawdopodobieństwem p, niezależnie od innych. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że liczba potomków będzie równa l.
27. Rzucamy monetą aż do chwili uzyskania dwóch kolejnych orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie
parzysta?
Źródło : J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, SCRIPT, Warszawa 2006.