Rachunek Prawdopodobieństwa 1B Lista zadań nr 3 1

Rachunek Prawdopodobieństwa 1B
Lista zadań nr 3
1. Znajdź przykład przestrzeni probabilistycznej oraz zdarzeń A, B, C takich, że
P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C),
ale zdarzenia te nie są niezależne.
2. Pokaż, że σ-ciała F1 , F2 , ..., Fn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne A1 ∈ F1 , A2 ∈ F2 ,
..., An ∈ Fn są niezależne.
Wykaż, że jeżeli A1 , .., An są niezależnymi zdarzeniami na przestrzeni Ω oraz dla każdego j, 0 <
P(Aj ) < 1, to Ω ma co najmniej 2|Ω| punktów.
4. Wybieramy losową rodzinę z dwójką dzieci. Rozważmy zdarzenia
a) A - starsze dziecko jest chłopcem;
b) B - dzieci to chłopiec i dziewczyna;
c) C - pierwsze dziecko jest dziewczynką;
Czy te zdarzenia są parami niezależne?
6. Zdarzenia A, B są niezależne oraz A ∪ B = Ω. Pokaż, że P(A) = 1 lub P(B) = 1.
7. Czy z tego, że A, B, C są parami niezależne wynika, że a) A ∩ B i C, b) A ∪ B i C są niezależne?
8. Zdarzenia A1 , .., An są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo p. Jaka jest szansa, że
a) zajdą wszystkie naraz?
b) nie zajdzie żadne z nich?
c) zajdzie dokładnie jedno z nich?
9. Adam, Bolek i Czesio rzucają po kolei monetą. Wygrywa ten, kto pierwszy wyrzuci orła. Znajdź
szanse wygranej dla każdego gracza.
10. W meczu piłki nożnej z prawdopodobieństwem 1/6 wygrają goście, 1/2 gospodarze, a z prawdopodobieństwem 1/3 remis. Oblicz prawdopodobieństwo, że w 14 meczach będzie 7 zwycięstw gospodarzy i
3 remisy.
11. Rzucamy kostką do wypadnięcia drugiej szóstki. Rozważmy zdarzenia A1 , A2 , gdzie A1 - przed
pierwszą szóstką wyrzucono czwórkę, a A2 - pomiędzy pierwszą a drugą szóstką wypadła dwójka. Czy
zdarzenia A1 , A2 są niezależne.
12. Dwaj gracze rzucają po n razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucą
tą samą liczbę oczek?
k
13. Prawdopodobieństwo tego, że w urnie jest k kostek wynosi 2k! e−2 , k = 1, 2, ... Losujemy kolejno
bez zwracania wszystkie kostki z urny i wykonujemy rzuty każdą z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że uzyskamy l szóstek?
14.
Szansa wygrania pojedynczej partii gry przez gracza A wynosi p i do zakończenia całej gry
brakuje mu a wygranych; jego przeciwnikowi brakuje b wygranych partii. Niestety pojedynek musi
zostać przerwany. Jak sprawiedliwie podzielić stawkę?
15. Rzucamy kostką, aż do momentu, gdy wyrzucimy piątkę lub trzy szóstki (niekoniecznie pod rząd).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy rzucać dokładnie n razy?
16. Zdarzenia A1 , A2 , .. są niezależne i mają równe prawdopodobieństwa. Jaka jest szansa, że zajdzie
skończenie wiele zdarzeń An ?
17. Zdarzenia A1 , A2 , .. są niezależne i P(An ) = pn . Wykaż, że zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń
An wtedy i tylko wtedy, gdy z prawdopodobieństwem 1 zachodzi nieskończenie wiele zdarzeń An .
18. Na karteczkach napisano n różnych liczb. Wrzucono je do pudełka, a następnie losowano kolejno
bez zwracania. Niech Ak - kta wylosowana liczba jest większa od pozostałych.
a) Pokaż, że P(Ak ) = 1/k.
b) Udowodnij, że zdarzenia A1 , A2 , .., An są niezależne
19. Rzucamy nieskończenie wiele razy kostką. Wykaż, że z prawdopodobieństwem 1 wystąpi nieskończenie wiele serii złożonych ze stu kolejnych szóstek.
20∗ . Rzucamy nieskończenie wiele razy symetryczną monetą. Niech An -w pierwszych n rzutach było
tyle samo orłów co reszek. Wykaż, że z prawdopodobieństwem 1 zachodzi nieskoczenie wiele zdarzeń An .
3.