stary egzamin 1

Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier
Zadanie 1
Prowadzący: dr Michał Lewandowski
Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand
lub na forehand Woźniacki. Jeśli Woźniacki przewidzi właściwie, na którą stronę Agnieszka zaserwuje,
odbierze serw z większym prawdopodobieństwem. Agnieszka ma jednak silniejszy serwis na
backhand. Dlatego, jeśli Agnieszka zaserwuje na backhand a Karolina to przewidzi, wówczas Karolina
odbierze z prawdopodobieństwem 60%, a jeśli zaserwuje na forehand i Karolina to przewidzi,
wówczas odbierze z prawdopodobieństwem 90%. Jeśli Woźniacki nie przewidzi serwu na forehand,
wówczas odbierze z prawdopodobieństwem 20%, a jeśli nie przewidzi serwu na backhand, odbierze z
prawdopodobieństwem 30%. Gra w formie strategicznej jest pokazana w tabeli poniżej.
a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek. ………………………..
…………………..……………………………………………………………………………………………………………………………
b) Wyznacz i narysuj korespondencje najlepszych odpowiedzi dla obu tenisistek na jednym
wykresie.
Korespondencje najlepszych odpowiedzi:
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
Zadanie 2
Dana jest następująca gra:
a) Znajdź równowagę Nasha ……………………………………………………………………………………………………….
b) Znajdź poziomy bezpieczeństwa wiersza i kolumny (wypłaty, jakie mogą sobie
zagwarantować gracze – np. poziom bezpieczeństwa kolumny to wypłata w równowadze w
grze najbardziej dla kolumny niekorzystnej, czyli takiej, gdzie wypłaty kolumny są identyczne
jak w grze powyżej a wypłaty wiersza są po prostu ujemnymi wypłatami kolumny)
Gra wiersza
A
A
B
Kolumny
A
B
B
A
B
Poziomy bezpieczeństwa: Wiersza:………………………., Kolumny:……………………………
c) Narysuj wielobok wypłat i nanieś na niego status quo wyznaczony w poziomach
bezpieczeństwa graczy oraz zbiór negocjacyjny (bargaining set)
d) Znajdź rozwiązanie arbitrażowe Nasha, gdzie status quo jest wyznaczone przez poziomy
bezpieczeństwa graczy ……………………………………………………………………………………………………………
Zadanie 3
Rozważmy problem duopolu. Mamy dwie firmy, produkujące identyczne dobro. Każda z firm wybiera
własną produkcję (x1 i x2). Cena dobra dana jest odwrotną funkcją popytu p(x1,x2)=60-3(x1+x2) (lub
0 jeśli suma produkcji przekracza 20). Funkcja kosztów wynosi ci(xi)=12xi dla i=1,2. Obaj gracze dążą
do maksymalizacji zysku, czyli różnicy między dochodem a kosztem.
a) (Cournot) Przyjmijmy, że gracze dokonują wyboru x1 i x2 jednocześnie. Wyznacz równowagi
Nasha oraz zyski w równowadze …………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
b) (Stackelberg) Przyjmijmy, że najpierw decyzje podejmuje gracz 1, a następnie –
zaobserwowawszy decyzję gracza 1 – decyzję podejmuje gracz 2. Przebieg gry, wypłaty i
możliwe akcje i strategie są wspólną wiedzą w tej grze. Wyznacz równowagę i zyski w
równowadze. (Wskazówka użyj indukcji wstecznej, najpierw rozwiąż problem gracza 2 i wyznacz
funkcję reakcji na akcję gracza 1, potem podstaw do problemu gracza 1) ………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………………………………………..
Zadanie 4
Dana jest następująca gra:
a) Zamień powyższą grę w postaci ekstensywnej na grę w postaci strategicznej.
b) Znajdź równowagi Nasha w strategiach czystych. ……………………………………………………………………
c) Czy są równowagi Nasha, które nie są równowagami doskonałymi w podgrach? ……………………
d) Ile podgier można wyróżnić w poniższym drzewie (cała gra jest również podgrą)? ……………......
Zadanie 5
Dana jest następująca gra:
Gracz 1
A
B
C
Gracz 2
X
Y
4,2
0,2
1,1
4,2
2,3
2,1
a) Rozwiąż grę metodą iteracyjnej eliminacji strategii zdominowanych. Za każdym razem podaj,
przez jaką strategię jest zdominowana dana strategia. Podaj równowagę Nasha będącą
rozwiązaniem. ………………..…………………………………….…………………………………………………………………
b) Czy w wyniku procedury z punktu a) nie straciliśmy jakiejś równowagi Nasha? Jeśli tak, to
jaką? …………………………………….…………………………………….…………………………………………………………..
Zadanie 6
Dana jest następująca gra ultimatum.
a) Ile strategii ma gracz 1? Ile strategii ma gracz 2? Gracz 1:………….., Gracz 2:…………….
b) Podaj równowagi doskonałe w podgrach? ……………………………………………………………………………………………….
c) Czy strategia zaakceptuj 3 a wszystko inne odrzucaj dla gracza 2 oraz zaoferuj 3 dla gracza 1 jest
równowagą Nasha? Uzasadnij jednym zdaniem. ………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Zadanie 7
Znajdź równowagi stabilne ewolucyjnie w następującej grze:
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Zadanie 8
Dana jest gra „Panika finansowa” omawiana na wykładzie.
a) Czy istnieje równowaga separowalna, w której dobry typ Wypłaca a słaby Nie Wypłaca pieniędzy z
banku? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
b) Sprawdź następujące strategie: Gracz 1: Nie Wypłacać, Gracz 2- dobry: Nie Wypłacać, Gracz 2- słaby:
Wypłacać. Czy jest to równowaga Bayesowska Nasha? Jeśli tak, to dla jakich wierzeń gracza 1? …………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Zadanie 9
(DODATKOWE)
Ala, Basia i Cecylia oraz Darek, Ernest oraz Filip są z tej samej klasy. W długich rozmowach na przerwach chłopcy
ustalili jako najważniejsze kryterium oceny, że blondynka powinna mieć niebieskie oczy a brunetka ciemne.
Dziewczynki z kolei stwierdziły po długiej konwersacji, że fajny chłopak musi być przede wszystkim wysoki. W
poniższych tabelkach znajduje się charakterystyka chłopców i dziewczynek:
Włosy
Ala
Blondynka
Basia
Brunetka
Cecylia Brunetka
Oczy
Niebieskie
Ciemne
Jasne
Darek
Ernest
Filip
Włosy
Blondyn
Brunet
Blondyn
Wzrost
Wysoki
Wysoki
Niski
Okazało się, że blondynki wolą brunetów, brunetki blondynów, bruneci brunetki (!) i blondyni blondynki (!).
a) Sporządź ranking chłopców odnośnie dziewczynek i dziewczynek odnośnie chłopców.
I miejsce II miejsce III miejsce
Ala
Basia
Cecylia
I miejsce II miejsce III miejsce
Darek
Ernest
Filip
b) Czy poniższe skojarzenie jest stabilne? Jeśli nie, podaj kto z kim mógłby zablokować to skojarzenie?
Basia - Darek,
Cecylia – Ernest
Ala - Filip
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
c) Jakie skojarzenie będzie wybrane, jeśli użyjemy algorytmu Gale-Shapley’a z chłopcami proponującymi
wyjście na randkę dziewczynkom?
…………………………………………….
…………………………………………….
…………………………………………….
d) Czy można zyskać poprzez podanie nieprawdziwych preferencji? Wskazówka: użyj algorytmu Gale-Shapley’a
z chłopcami proponującymi (jak wyżej), jeśli Ala skłamie i powie, że woli Filipa niż Darka. Jakie będzie
wówczas skojarzenie:
…………………………………………….
…………………………………………….
…………………………………………….
Zadanie 10
(DODATKOWE)
Rozważmy następującą grę: dwóch przestępców zostało zamkniętych w osobnych celach.
•
•
•
Jeśli oboje będą zeznawać, dostaną wyroki każdy po 5 lat
Jeśli oboje nie będą zeznawać, dostaną wyroki każdy po 1 roku
Jeśli jeden będzie zeznawać a drugi nie, to ten pierwszy zostanie zwolniony w ogóle a ten drugi dostanie
maksymalny wyrok 20 lat.
Zanim jednak zaczną grać, każdy z przestępców może wybrać czy być honorowym czy niehonorowym
(niezależnie i bez informowania drugiego). Niehonorowy przestępca dba wyłącznie o to, aby jak najkrócej
przesiedzieć w więzieniu. Honorowy przestępca natomiast nie lubi być kapusiem. Jego użyteczność jeśli on sam
nie zeznaje pozostaje niezmieniona. Teraz jednak woli nie zeznawać i siedzieć 20 lat w więzieniu niż zeznawać i
siedzieć 5 lat (w przypadku, kiedy ten drugi zeznaje). Również woli nie zeznawać i siedzieć rok w więzieniu niż
zeznawać i zostać zwolnionym (w przypadku kiedy ten drugi nie zeznaje).
Zapisz grę w postaci ekstensywnej. Poprzez znalezienie równowag Nasha w odpowiednich podgrach i metodę
indukcji wstecznej znajdź równowagi doskonałe w podgrach. Ile ich jest?