Pobierz - mikroekonomia.net

CZĘŚĆ II
ZACHOWANIA RYNKOWE PRZEDSIĘBIORSTW
W POLSCE
Sławomir Kalinowski
ROZDZIAŁ 10
MODEL NEGOCJACYJNY ZEUTHENA A SCHEMAT ARBITRAŻOWY NASHA - STUDIUM PORÓWNAWCZE
Abstrakt
Artykuł został poświęcony porównaniu modelu negocjacyjnego Zeuthena z propozycją rozwiązania kooperacyjnego autorstwa Johna Nasha. Wybór przedmiotu badań wynikał z
chęci sprawdzenia, czy modele powstałe w różnym czasie, reprezentujące różne obszary ekonomii mogą przynosić tożsame rozwiązania. Model negocjacyjny Zeuthena powstał w 1930
roku. Pozostając w nurcie ekonomii pozytywnej opisuje przebieg negocjacji oraz to w jaki
sposób i do jakiego rozwiązania prowadzą. Schemat arbitrażowy Nasha, oparty na podejściu
aksjomatycznym, jest przykładem modelu z obszaru ekonomii pozytywnej. Wskazuje, jakie
rozwiązanie powinni wybrać gracze by uzgodnić kooperacyjne rozwiązanie w obrębie zbioru
negocjacyjnego. Porównanie obydwu modeli wykazało, że pomimo istotnych różnic, obydwa
modele przynoszą to samo rozwiązanie kooperacyjne. Jedynym warunkiem jest osadzenie
punktu odniesienia w strategiach bezpieczeństwa
Słowa kluczowe: gry kooperacyjne, negocjacje, schemat arbitrażowy Nasha, model Zeuthena.
Wprowadzenie
Sytuacja negocjacyjna pojawia się zawsze wtedy, gdy co najmniej dwa podmioty mogą osiągnąć korzyści, których rozmiary zależą jednocześnie od decyzji beneficjenta i drugiej
strony. Jej pojawienie się jest możliwe wyłącznie w grach o sumie różnej od zera. Interesy
stron nie są całkowicie przeciwstawne, jak w grach o sumie zerowej, ani całkowicie zbieżne.
Musi być zarazem tak, że uzgodnienie rozwiązania kooperacyjnego przynosi każdej ze stron
wyższe korzyści niż obopólny wybór strategii konfrontacyjnej. Obydwa podmioty są w stanie
zasiąść do rozmów i uzgodnić racjonalny wspólny plan działania, który jest możliwy do przeprowadzenia.
Praktyka procedur negocjacyjnych jest silnie obciążona wpływem kompetencji każdej
ze stron, ich podatności lub odporności na sugestię i stres. Na postawę podmiotów wpływa
również ich ogólna sytuacja, która może sprawiać, że bardziej lub mniej zależy im na czasie i
osiągnięciu porozumienia. Uwzględnienie tych czynników i innych, które nie zostały wymie-
112
Sławomir Kalinowski
nione sprawia, że modelowe ujęcie sytuacji negocjacyjnej jest niezwykle trudne, jeśli nie
niemożliwe. Jeśli jednak przyjmiemy, że strony godzą się na wyznaczenie obiektywnego arbitra, który wskaże rozwiązanie sprawiedliwe i korzystne dla obydwu stron, rozwiązanie sytuacji negocjacyjnej sprowadza się do wyznaczenia schematu, którym powinien się posłużyć
arbiter.
Celem artykułu jest przeprowadzenie studium porównawczego dwóch, wymienionych
w tytule, koncepcji wyznaczania rozwiązania w sytuacji negocjacyjnej. Ponadto dowiedzione
zostanie, że podejścia Zeuthena i Nasha dają to samo wskazanie nawet wtedy gdy sytuacja
negocjacyjna nie jest symetryczna.
Model negocjacyjny Zeuthena
F. Zeuthen przedstawił swój model procedury negocjacyjnej w roku 1930, czternaście
lat przed opublikowaniem przez von Neumannna i Morgensterna ich klasycznego dzieła (Zeuthen, 1930). Ze względów oczywistych nie posługuje się terminologią i aparatem narzędziowym teorii gier. Niemniej, opisując działanie mechanizmu opracowanego przez siebie modelu
używa terminu odpowiadającego grze (interplay between two parties). Model Zeuthena dotyczył negocjacji płacowych miedzy pracodawcami i związkami zawodowymi. Jego zakres
można jednak rozszerzyć na pozostałe sytuacje negocjacyjne.
Punktem wyjścia w prezentowanym modelu była sytuacja, w której dwa podmioty (A
i B) przystępują do negocjacji proponując rozwiązania które pragną przeforsować (odpowiednio a1 i b1). Użyteczność rozwiązania a1 jest dla A najwyższa a użyteczność b1 najmniejsza
(ua(a1)>ua(b1)). W przypadku podmiotu B jest odwrotnie (ub(b1)>ub(a1)). Prawdopodobieństwo odrzucenia rozwiązania a1 przez gracza B jest równe p1. Osiągnięciu użyteczności ua(b1)
towarzyszy prawdopodobieństwo równe jedności, pewne jest bowiem, że podmiot B przyjmie
opcję najkorzystniejszą dla siebie. Można zatem stwierdzić, że podmiot A będzie skłonny
zrezygnować z a1 by zbliżyć swoją propozycję do b1 jeśli:
u a (b1 ) > (1 − p1 )u a (a 1 ) .
[1]
Jeśli prawdopodobieństwo odrzucenia propozycji A przez B jest tak duże, że ta nierówność
jest spełniona to lepiej jest zredukować oczekiwania do a2, mniej korzystnego dla A ale bardziej akceptowalnego dla B. Prawdopodobieństwo odrzucenia oferty A można wyznaczyć
przekształcając nierówność [1]:
u (a ) − u a ( b 1 )
.
[2]
p1 > a 1
u a (a 1 )
Innymi słowy, jeśli względny przyrost korzyści ponad rozwiązanie pewne jest mniejszy od
prawdopodobieństwa odrzucenia oferty przez przeciwnika, bardziej opłaca się ustąpić.
Jeśli przez q1 oznaczymy prawdopodobieństwo odrzucenia oferty B przez A, to ten
pierwszy powinien zredukować swoje oczekiwania wtedy, gdy:
u b (a 1 ) > (1 − q1 )u b (b1 ) ,
[3]
lub:
u ( b ) − u b (a 1 )
.
[4]
q1 > b 1
u b ( b1 )
Ta strona negocjacji, która będzie osiągać większy przyrost względnej korzyści ponad rozwiązanie pewne, jakim jest zaakceptowanie propozycji drugiej strony, charakteryzować się
będzie większą determinacją w forsowaniu swojego rozwiązania. Jeśli zatem pojawi się sytuacja, w której:
u a (a 1 ) − u a ( b 1 ) u b ( b 1 ) − u b ( a 1 )
>
,
[5]
u a (a 1 )
u b ( b1 )
Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze
113
bardziej skłonny do ustępstw będzie podmiot A. Prawdopodobieństwo „obstawania przy swoim” przez B jest większe niż to samo prawdopodobieństwo w przypadku A (p1>q1). Zatem ta
strona zredukuje swoje oczekiwania do a2, takiego że ua(a2)<ua(a1). Umniejszenie jest na tyle
znaczące, że:
u a (a 2 ) − u a ( b 1 ) u b ( b 1 ) − u b ( a 1 )
<
,
[6]
u a (a 1 )
u b ( b1 )
czyli bardziej skłonnym do ustępstw staje się podmiot B. Procedura negocjacyjna trwa tak
długo, dopóki nie osiągnięte zostanie rozwiązanie „z”, przy którym:
u a (a z ) − u a ( b 1 ) u b ( b z ) − u b (a 1 )
=
.
[7]
u a (a 1 )
u b ( b1 )
Tabela 1. Przykładowa procedura negocjacyjna odpowiadająca modelowi Zeuthena
Rozwiązanie
a1
a2
a3
a4
ua
20,0
18,0
16,0
14,0
ub
10,0
11,0
12,0
uan
13,1
11,1
ubn
0,0
12,00
uan(an)-uan(b1)
ubn(bn)-ubn(a1)
p
q
uanubn
1,000
0,00
b3
b2
13,455
12,0
10,0
8,0
13,0
13,273
14,0
15,0
16,0
9,1
7,1
6,545
5,1
3,1
1,1
1,0
2,0
3,0
3,273
4,0
5,0
6,0
10,00
8,00
6,00
5,455
4,00
2,00
0,00
0,00
0,833
0,000
11,09
1,00
0,667
0,200
18,18
2,00
0,500
0,400
21,27
2,273
0,455
0,455
21,421
3,00
0,333
0,600
20,36
4,00
0,167
0,800
15,45
5,00
0,000
1,000
6,55
z
b1
Źródło: opracowanie własne
Negocjacje kończą się gdy gracze przestają zmieniać swoje oferty a prawdopodobieństwa odrzucenia oferty drugiej strony stają się równe. Obie strony są tak samo skłonne do
ustępstw i tak samo skłonne do oporu w negocjacjach. W sposób naturalny przynosi to porozumienie.
Tabela 1 przedstawia przykładową procedurę negocjacyjną przeprowadzoną zgodnie z
modelem Zeuthena. Strona A w najlepszym wypadku może osiągnąć użyteczność ua(a1)=20.
Jednocześnie użyteczność tego rozwiązania dla B jest równa ub(a1)=10. Strona B jest w największym stopniu zainteresowana rozwiązaniem, które jej przynosi najwyższą użyteczność
ub(b1)=16 przy użyteczności rywala ua(b1)=8. Pierwszym krokiem w przygotowaniu procedury negocjacyjnej było odjęcie od wygranych każdej ze stron stałej wartości. W przypadku
strony A było to 6,91, w przypadku B odejmowano 101. Taka transformacja liniowa nie
zmieni wskazania wyniku negocjacji. Jej wynikiem były znormalizowane użyteczności obydwu graczy (uan,ubn). W oparciu o nie wyznaczono prawdopodobieństwa odrzucenia analizowanego rozwiązania przez drugą stronę (p i q). Zostały one policzone w dwóch kolejnych
wierszach. W przypadku strony B nie wyznaczono wartości prawdopodobieństw dla rozwiązania a1, ponieważ znormalizowany obszar negocjacyjny dla strony A nie sięga zera na osi
1
Proponowany przykład odpowiada temu, który posłuży, w dalszej części pracy, ilustracji schematu arbitrażowego Nasha. Stąd konieczność przekształcenia liniowego poprzez odjęcie od każdej wygranej gracza jego wartości gry w punkcie gróźb optymalnych.
114
Sławomir Kalinowski
układu współrzędnych.
Wykres 1. Iloczyn znormalizowanych użyteczności
graczy w modelu Zeuthena
25
21,42
20
15
10
5
10,000
10,273
10,545
10,818
11,091
11,364
11,636
11,909
12,182
12,455
12,727
13,000
13,273
13,545
13,818
14,091
14,364
14,636
14,909
15,182
15,455
15,727
16,000
0
ub
Źródło: opracowanie własne
Możemy mieć pewność, że strona A odrzuci rozwiązanie ua=8 i ub=16, a strona B tak
samo postąpi z rozwiązaniem ua=20 i ub=10. Potencjalnie każda ze stron mogłaby rozpocząć
negocjacje decydując się na następne w kolejności gorsze dla siebie rozwiązanie. Obydwie
strony są zainteresowane rozpoczęciem negocjacji. Załóżmy, że zaczyna je strona A. Proponuje zatem rozwiązanie (ua=18;ub=11). Jednocześnie p=0,833<q=1, co oznacza, że strona A
będzie teraz mniej skłonna do ustępstw. To powoduje, że B ustępuje proponując rozwiązanie
ua=10 i ub=15. W takiej sytuacji p=0,833 staje się większe od q=0,800. Teraz A jest bardziej
skłonne do kompromisu i podnosi ofertę dla B do (ua=16;ub=12). Zmienia się również prawdopodobieństwo odrzucenia oferty partnera przez B (p=0,667) i to on jest teraz bardziej
skłonny do ustępstw. Wzajemne ustępstwa trwają tak długo dopóki prawdopodobieństwa p i q
nie zrównają się. Strony stają się tak samo skłonne do przyjęcia oferty partnera w negocjacjach. Ma to miejsce przy ua(az)= 13 115 i ub(bz)= 13 113 . Prawdopodobieństwo upierania się przy
najbardziej dla siebie korzystnym rozwiązaniu jest takie samo dla obydwu stron p=q= 115 .
Obserwacją, której nie sposób pominąć jest to, że rozwiązanie negocjacyjne według modelu
Zeuthena przynosi maksymalną wartość iloczynu znormalizowanych użyteczności osiąganych przez strony.
Rozwiązanie wskazane przez model negocjacyjny Zeuthena przynosi maksymalną
wartość iloczynu uanubn=21,421. Będzie to stanowić istotny punkt porównania tego modelu ze
schematem arbitrażowym Nasha, które będzie miało miejsce w dalszej części rozdziału.
Model Zeuthena wyróżnić należy z dwóch względów. Po pierwsze, z powodu jego
prekursorskiego charakteru. Bardzo często autorzy piszący o modelach wyznaczania rozwiązań kooperacyjnych nawiązują do propozycji Zeuthena2. Drugim powodem wyróżnienia jego
modelu jest bliskość powszechnej intuicji dotyczącej zachowania się podmiotów podczas
negocjacji. Zeuthen znalazł właściwe przełożenie między złożonością procesów psychologicznych, jakie mają miejsce w sytuacji targu a wymogami formalnymi modelu ekonomicznego. Udało mu się uogólnić zachowania negocjacyjne podmiotów w postaci konstrukcji
formalnej nie tracąc niczego z opisu natury tych procesów silnie zakorzenionej w psychologii.
2
Przykład stanowią prace Harsanyi’ego (Harsanyi, 1956) i Raiffy (Luce, Raiffa, 1964).
Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze
115
Aby dodatkowo podkreślić znaczenie jego prac przypomnieć należy na koniec, że Zeuthen w
swoich dociekaniach był pozbawiony instrumentarium, jakie w przyszłości przyniosła ze sobą
teoria gier.
Schemat arbitrażowy Nasha
Dwupodmiotowa sytuacja negocjacyjna została zdefiniowana w klasycznym artykule
Nasha jako: „możliwość współpracy dla wspólnych korzyści na więcej niż jeden sposób. W
prostszej wersji jako stan, w którym żadna decyzja podjęta przez jeden z podmiotów bez zgody partnera nie może wpłynąć na korzyści tego drugiego” (Nash, 1950a). Jako przykłady takich sytuacji Nash podaje monopol bilateralny, duopol, negocjacje płacowe między pracodawcami i związkami zawodowymi oraz negocjacje handlowe między państwami.
Logika schematu arbitrażowego opiera się na szeregu założeń, których spełnienie umożliwia konstrukcję modelu sytuacji negocjacyjnej. Po pierwsze należy przeprowadzić charakterystykę
podmiotów w niej uczestniczących. Są one racjonalne, mają zdefiniowane funkcje użyteczności osiąganych wygranych, identyczne zdolności negocjacyjne oraz pełną informację o parametrach wyborów dokonywanych przez partnerów. Druga grupa założeń dotyczy zbioru rozwiązań (S) stanowiących pary wygranych każdej ze stron osiągane w zależności od podejmowanych przez nie decyzji. Według Nasha musi on być zwarty i wypukły (Nash, 1950a).
Zwartość sprawia, że zbiór rozwiązań jest ograniczony i można go zamknąć w odpowiednio
dużym kwadracie przestrzeni euklidesowskiej. To implikuje, że każda ciągła funkcja użyteczności wygranych jednego podmiotu zakłada maksymalną wartość zbioru dla danej użyteczności drugiego podmiotu. Wypukłość zbioru rozwiązań sprawia, że dla danego rozwiązania
można znaleźć alternatywę zwiększającą korzyść, co najmniej, jednego podmiotu bez zmniejszania wygranych drugiego, tylko w obrębie tego zbioru. Nigdy przez znalezienie rozwiązania
będącego efektem odpowiedniego mieszania strategii.
Ważnym punktem zbioru rozwiązań jest sytuacja braku współpracy między podmiotami. Funkcje użyteczności wygranych w tym punkcie przybierają wartość zero. Przyrosty
korzyści uzyskane przez podmioty dzięki współpracy będą za punkt odniesienia miały tą właśnie sytuację. Innymi słowy punkt odniesienia jest rozwiązaniem nie kooperacyjnym, do którego podmioty mogą powrócić w wypadku niepowodzenia negocjacji. Ustalenie zerowych
współrzędnych punktu odniesienia jest możliwe dzięki założeniu o możliwości liniowej transformacji zbioru rozwiązań, która nie będzie miała wpływu na wybór rozwiązania arbitrażowego
Nash twierdził, że w zbiorze rozwiązań istnieje jedno, które każdemu podmiotowi
przynosi korzyści jakich oczekuje. Można zatem przyjąć, że racjonalne podmioty zgodzą się
na to właśnie lub ekwiwalentne rozwiązanie. Istnieje punkt, który nazwiemy rozwiązaniem
arbitrażowym (c(S)), należący do zbioru rozwiązań dostępnych i traktowanych przez podmioty jako obopólnie korzystne. Znajdując warunki charakteryzujące rozwiązanie arbitrażowe,
Nash wyznaczył prostą metodę jego wyznaczania.
Pierwszy warunek jest wyrazem założenia o racjonalności podmiotów. Załóżmy, że ua
jest funkcją użyteczności korzyści gracza A, a ub gracza B. Jeśli istnieje rozwiązanie α w
zbiorze S takie, że jest w nim inne, β o własności ua(β)>ua(α) i ub(β)>ub(α) to α≠c(S). Ten
warunek odzwierciedla dążenie racjonalnych podmiotów do maksymalizacji użyteczności w
ramach uzgodnionego rozwiązania arbitrażowego. Ponadto ogranicza on poszukiwania rozwiązania arbitrażowego do takiego podzbioru S, w którym wszystkie punkty spełniają kryterium optymalności Pareto. W sensie geometrycznym, rozwiązania arbitrażowego należy szukać na prawym, górnym brzegu zbioru S.
Drugi warunek dotyczy niezależności od alternatyw niezwiązanych. Jeśli zbiór T zawiera zbiór S i c(T) należy do S, to c(T)=c(S). Jeśli rozwiązanie arbitrażowe wyznaczone jest
116
Sławomir Kalinowski
dla większego zbioru T i należy do mniejszego zbioru S, który się w T całkowicie zawiera, to
jest jednocześnie rozwiązaniem arbitrażowym dla zbioru mniejszego. Spośród wszystkich
warunków, ten właśnie wydaje się najbardziej zaskakujący. Pozostałe są naturalną konsekwencją przyjmowanych założeń. Nash uzasadniał włączenie tego warunku twierdząc, że jeśli
c(S) jest rozwiązaniem arbitrażowym dla większego zbioru T, to usunięcie z niego niektórych
rozwiązań uznanych za nieosiągalne (powstaje zbiór S) nie prowadzi do zmiany wskazania.
Warunek o niezależności od alternatyw niezwiązanych budził największe kontrowersje. Przykłady kwestionujące jego zasadność dają Straffin (Straffin, 2001, s.136), Raiffa (Luce, Raiffa, 1964, s.125-131) oraz Kalai i Smorodinsky (Kalai, Smorodinsky, 1975). Krytyka
warunków rozwiązania arbitrażowego Nasha zaprowadziła tych ostatnich do sformułowania
własnego, alternatywnego schematu.
Trzeci warunek dotyczy symetrii zbioru S. Jeśli zawiera on punkt o współrzędnych
(a,b) to zawiera również punkt (b,a). Jeśli S jest symetryczny i funkcje u1 i u2 odzwierciedlają
tą symetryczność, punkt c(S) ma identyczne współrzędne dla każdego z graczy (a,a). Innymi
słowy leży na linii ua=ub. Ten warunek jest wyrazem równego potencjału i umiejętności negocjacyjnych obydwu podmiotów.
Wykorzystując założenia oraz trzy sformułowane w oparciu o nie warunki Nash udowodnił, że jedynym kryterium wyznaczenia punktu c(S) jest maksymalizacja iloczynu u1u2 w
pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Zwartość zbioru S gwarantuje, że taki punkt istnieje, jego wypukłość sprawia, że jest on jedyny.
Wyznaczone przez Nasha kryterium spełnia założenie o niezależności od przekształceń liniowych. Jeśli punkt odniesienia, punkt c(S) i wszystkie pozostałe punkty zbioru pomnożymy przez dodatnią stałą, to wszystkie iloczyny odległości między punktami przemnożą
się przez kwadrat tej stałej i ten, który był maksymalny nadal pozostanie maksymalnym. Załóżmy, że punkt odniesienia ma współrzędne (uao,ubo). Jeśli ich wartości odejmiemy od odpowiednich współrzędnych wszystkich punktów zbioru S, to punkt odniesienia znajdzie się w
początku układu współrzędnych. Następnie wszystkie użyteczności rozwiązań graczy pomnóżmy przez dodatnie stałe tak, aby punkt c(S) miał współrzędne (1,1). Ze względu na
maksymalizujące własności punktu c(S), żaden punkt zbioru S nie może leżeć powyżej dodatniej gałęzi hiperboli uaub=1. Ponieważ gałąź ta jest wklęsła a zbiór S wypukły, nie może on
wykraczać ponad styczną do hiperboli w punkcie (1,1) o równaniu ua+ub=2. Zbudujmy kwadrat obrazujący zbiór T, który zawiera w sobie S, jest symetryczny względem osi ua=ub a jeden z jego boków zawiera się w prostej ua+ub=2. Zgodnie pierwszym i trzecim warunkiem
c(S) jest rozwiązaniem arbitrażowym dla zbioru T. Zgodnie warunkiem drugim, jest to jednocześnie rozwiązanie arbitrażowe dla zbioru S.
Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze
117
Wykres 2. Dowód unikalności schematu arbitrażowego Nasha
3
u a+u b =2
ub
u a=u b
2
S
c(S)
1
u au b =1
0
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
ua
T
-2
-3
Źródło: Nash, J.F., 1950a, The Bargaining Problem, Econometrica 18, s. 155-162
Dowód Nasha oparł się na założeniu o niezależności od przekształceń liniowych i
uwzględnieniu trzech warunków, których spełnienie wskaże rozwiązanie arbitrażowe jako
maksymalizację odległości w zbiorze S od punktu odniesienia. Szczególną rolę w tym, niewątpliwie eleganckim dowodzie, spełnił warunek drugi, który „dopiął” wywód.
Cofnięcie przekształcenia liniowego przyniesie wyznaczenie współrzędnych punktu
c(S) w pierwotnej skali użyteczności wygranych. Schemat arbitrażowy Nasha wyróżniał się
na tle wcześniejszych wskazań rozwiązań kooperacyjnych nie tylko elegancją dowodu, ale
również prostotą rachunków prowadzących do rozwiązania. Ponadto, wcześniejsze propozycje dopuszczały możliwość uzupełniania uzgodnień o konieczne wypłaty oboczne, których
celem było wyrównanie asymetrii korzyści wynikających z kooperacji dla negocjujących
podmiotów (von Neumann, Morgenstern, 1944, s.558).
Ilustracją zastosowania schematu arbitrażowego Nasha w pierwotnej postaci
(Nash, 1950a) będzie prosty przykład. Wyobraźmy sobie, że mamy do czynienia z następującą grą o sumie różnej od zera. Jej dwumacierzowa postać jest przedstawiona w Tabeli 2.
Gracze A i B, szukając rozwiązania akceptowanego przez obydwu i przynoszącego jak
największe korzyści mogliby wybrać parę strategii o najwyższej sumie wygranych w ramach
danego wyniku i podzielić tą sumę równo między siebie. Byłaby to para strategii (a1,b1) a
wygrane obydwu graczy wyniosłyby ua=ub=15. Tak wyznaczony wynik gry nazywamy rozwiązaniem egalitarnym. Oparcie kooperacji między graczami na szukaniu rozwiązania egalitarnego rodzi dwie wątpliwości. Po pierwsze, wygrane graczy są mierzone ich użytecznościami, które nie mają waloru uniwersalnego. Von Neumann i Morgenstern pisząc o użytecznościach porządkowych i kardynalnych, zauważyli, że nie można utożsamić „jednostki” użyteczności jednego z graczy z „jednostką” użyteczności drugiego. Po drugie, nawet, jeśli wygrane graczy mierzone byłyby w jakichś obiektywnych jednostkach to rozwiązanie polegające
na równym podziale maksymalnej sumy wygranych może nie satysfakcjonować gracza B.
Wie on, że w przypadku gracza A, strategia a2 dominuje a1. Wystarczy, że gracz B wybierze
b2, najlepszą odpowiedź na a2 i wygra więcej niż w przypadku rozwiązania egalitarnego
(16>15).
118
Sławomir Kalinowski
Tabela 2. Gra w postaci dwumacierzowej
Wygrane A = ua
a1
a2
b1
20
4
b2
2
8
Wygrane B = ub
a1
a2
b1
10
12
b2
2
16
Źródło: opracowanie własne
Zbiór rozwiązań S ma postać wieloboku wygranych, którego wierzchołkami są punkty
określające wygrane graczy dla tych samych par strategii. Zgodnie z warunkiem dotyczącym
racjonalności graczy rozwiązania arbitrażowego należy szukać na wypukłym, prawym
Wykres 3. Wielobok wygranych i obszar negocjacyjny
ua
25
(a1 ,b1 )
20
15
c(S)
10
(a2 ,b2 )
o(S)
5
(a2 ,b1 )
(a1 ,b2 )
0
ub
0
5
10
15
20
Źródło: opracowanie własne
górnym brzegu wieloboku. Częścią zbioru rozwiązań S, w której odnajdziemy kooperacyjne
rozwiązanie arbitrażowe będzie odcinek miedzy punktami (a1,b1) i (a2,b2). Rozwiązania znajdujące się w tym podzbiorze są parami wygranych obydwu graczy, uzyskanymi wyniku mieszania strategii a1 i a2 przez gracza A oraz b1 i b2 przez gracza B. Wszystkie te rozwiązania
spełniają kryterium optymalności Pareto.
Ograniczenie zbioru negocjacyjnego może wynikać z zawężenia jego obszaru przez
119
Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze
punkt odniesienia (o(S)). Jego współrzędne zostały ustalone poprzez wyznaczenie wygranych
dla pary strategii bezpieczeństwa każdego z graczy. Wybór strategii bezpieczeństwa polega
znalezieniu rozwiązań maximinowych w metagrach o sumie zerowej opartych na wygranych
jednego i drugiego gracza z gry pierwotnej.
Wyznaczenie poziomu bezpieczeństwa dla gracza B jest prostsze. Gra o sumie zerowej z jego wygranymi ma punkt siodłowy na skrzyżowaniu strategii (a1,b1). Jeśli będzie grał
strategię bezpieczeństwa b1 to, w najgorszym wypadku, osiągnie poziom bezpieczeństwa
równy 10. Grając swoją strategię bezpieczeństwa, gracz B gwarantuje sobie, że wygra co
najmniej 10 nawet wtedy, gdy gracz A będzie grał dla jak najgorzej dla niego.
Tabela 3. Metagra A o sumie zerowej
Tabela 4. Metagra B o sumie zerowej
Wygrane A = ua
a1
a2
Wygrane A = ua
a1
a2
b1
20
4
b1
-10
-12
b2
2
8
b2
-2
-16
Wygrane B = ub
a1
a2
Wygrane B = ub
a1
a2
b1
-20
-4
b1
10
12
b2
-2
-8
b2
2
16
Źródło: opracowanie własne
Źródło: opracowanie własne
Gra o sumie zerowej z wygranymi gracza A nie ma punktu siodłowego wyznaczonego
w strategiach czystych. Aby wyznaczyć jego poziom bezpieczeństwa należy znaleźć rozwiązanie w strategiach mieszanych. Optymalne prawdopodobieństwo, zgodnie z którym powinny
być mieszane strategie a1 i a2 (q), zrównuje wartości oczekiwane wygranych ze strategii gracza B.
[8]
EVb1(q)=-20q-4(1-q)=-4-16q
[9]
EVb2(q)=-2q-8(1-q)=-8+6q
2
EVb1(q)=EVb2(q) <=> q= 11
[10]
Jeżeli gracz A będzie losował strategię a1 z prawdopodobieństwem
podobieństwem
9
11
to zapewni sobie wygraną równą
76
11
2
11
i strategię a2 z prawdo-
= 6 10
. Tyle będzie wynosić jego po11
ziom bezpieczeństwa.
Zbiór rozwiązań optymalnych w sensie Pareto leżący na prawo i w górę od punktu
odniesienia nazywać będziemy zbiorem negocjacyjnym. Będzie on, w prezentowanym przykładzie, całym odcinkiem ograniczonym punktami (a1,b1) i (a2,b2). Łatwo możemy policzyć,
że zbiór negocjacyjny w naszej grze to odcinek linii ua=40-2ub leżący między punktami
(10,20) i (16,8).
Zgodnie z propozycją Nasha, jeżeli punkt odniesienia o(S) ma współrzędne (uao,ubo),
to jedynym rozwiązaniem arbitrażowym jest należący do wieloboku wygranych punkt c(S) o
takich współrzędnych (ua,ub), że ua>uao i ub>ubo oraz (ua-uao)(ub-ubo)=max. Współrzędne tego
szczególnego punktu będziemy oznaczać jako (uac,ubc). Rozwiązanie kooperacyjne musi, zatem spełnić następujące warunki:
ua=40-2ub
[11]
76
(u a − 11 )(u b − 10) = max
[12]
Podstawienie warunku [11] do warunku [12] tworzy funkcję jednej zmiennej, której maksymalizacja wskaże pierwszą współrzędną rozwiązania kooperacyjnego:
120
Sławomir Kalinowski
f(ub)=-2ub2+ 584
u - 3640 =max
11 b 11
Warunkiem koniecznym tej maksymalizacji jest:
∂f (u b )
= −4u b + 584
=0
11
∂u b
[13]
[14]
Jest on spełniony, gdy ub=ubc= 146
= 13 113 . Gdy podstawimy tą wartość do równania [11], mo11
żemy wyznaczyć wartość wygranej gracza A w ramach rozwiązania kooperacyjnego
= 13 115 ). Dążąc do rozwiązania kooperacyjnego gracze powinni uzgodnić rozwią(ua=uac= 148
11
zanie o wygranych uac= 148
i ubc= 146
. Aby takie rozwiązanie osiągnąć, każdy z graczy powi11
11
nien wybrać odpowiednią strategię mieszaną. Prawdopodobieństwa wyboru strategii można
wyznaczyć przyrównując odpowiednie wartości oczekiwane ze współrzędnymi rozwiązania
kooperacyjnego (punktu c(S)).
20p+8(1-p)= 148
=>
p= 115
[15]
11
10q+16(1-q)= 146
11
=>
q= 115
[16]
Arbiter rozstrzygający w tej grze powinien zarekomendować graczowi A strategię mieszaną
( 115 a1; 116 a2), a graczowi B strategię mieszaną ( 115 b1; 116 b2).
Dla szukania punktu c(S) metodą geometryczną duże znaczenie ma zgodność wartości
bezwzględnej nachylenia linii, na której leży ten punkt i linii łączącej go z punktem odniesienia. Nachylenia linii stycznej do zbioru negocjacyjnego w punkcie oznaczającym rozwiązanie
kooperacyjne c(S) i linii łączącej ten punkt z punktem odniesienia o(S) są równe, co do modułu i przeciwne, co do znaku. W grze z Tabeli 2 punkt c(S) leży na linii o nachyleniu β=-2.
Łatwo można sprawdzić, że linia łącząca go z punktem odniesienia ma nachylenie ε=2.
Nash rozwinął swoją koncepcję rozwiązania arbitrażowego w drugim artykule dotyczącym tego problemu (Nash, 1953). Nie zmienił w nim istoty proponowanego schematu.
Nowymi elementami koncepcji było osadzenie schematu arbitrażowego w paradygmacie teorii gier, nadanie mu formy aksjomatycznej oraz konkretyzacja określenia punktu odniesienia
jako punktu gróźb optymalnych3.
Analiza porównawcza i wnioski
Schemat arbitrażowy Nasha, jakkolwiek często krytykowany za arbitralność założeń
oraz abstrakcyjny charakter utrudniający praktyczną aplikację, wyznaczył punkt zwrotny w
badaniach nad poszukiwaniem rozwiązania kooperacyjnego w grach o sumie różnej od zera.
John Harsanyi, z którym Nash podzielił Nagrodę Nobla w 1994 roku, pisząc artykuł o problemie sytuacji negocjacyjnej zatytułował go „Approaches to the Bargaining Problem Before
and After the Theory of Games: a Critical Discussion of Zeuthen’s, Hick’s, and Nash’s Theories” (Harsanyi, 1956). Jedną z tez autora było uznanie prac Nasha za niesłychanie istotny
przykład wykorzystania teorii gier dla rozwoju obszarów badawczych, które ekonomiści
głównego nurtu uznali za spenetrowane.
W przywołanym artykule znalazł się bardzo ciekawy fragment dotyczący powinowactwa między modelem Zeuthena a schematem arbitrażowym Nasha. Harsanyi pisze w nim o
tożsamości wskazań rozwiązań kooperacyjnych obydwu autorów. Ta teza stała się inspiracją
dla zbudowania przykładów opisanych Tabelami 1 i 2. Dotyczą one tej samej sytuacji negocjacyjnej, którą poddano poszukiwaniu rozwiązania kooperacyjnego najpierw zgodnie z modelem Zeuthena, później według schematu Nasha. Uzyskano identyczne wyniki. Nawet
3
Ograniczenia nałożone na objętość artykułu nie pozwalają na szczegółową prezentacje rozwiniętej koncepcji
Nasha.
Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze
121
prawdopodobieństwa odrzucenia ofert drugiej strony w równowadze uzyskanej dzięki pierwszemu podejściu są identyczne z wagami, według których należy mieszać strategie w rozwiązaniu kooperacyjnym wskazanym przez metodę aksjomatyczną (w obydwu wypadkach wynoszą 115 ).
Tożsamość wskazań musi pociągnąć za sobą porównanie obydwu teorii oraz wskazanie jej przyczyn. Te ostatnie zostały ujawnione przez Harsanyi’ego poprzez wyprowadzenie
głównego kryterium schematu Nasha, czyli maksymalizacji iloczynu przyrostów użyteczności
podmiotów ponad wartości z punktu odniesienia, z równania opisującego mechanizm modelu
Zeuthena. Prezentowana wersja analizy będzie zmodyfikowana ze względu na specyfikę
wcześniej prezentowanych przykładów. Łatwo zauważyć, że normalizacja użyteczności osiąganych przez strony w pierwszym z nich jest niczym innym jak przesunięciem zbioru negocjacyjnego tak, aby punkt odniesienia znalazł się w początku układu współrzędnych. Znormalizowane użyteczności w przykładzie dotyczącym modelu Zeuthena można wówczas traktować jako przyrosty użyteczności w stosunku do wyniku gry w poziomach bezpieczeństwa w
schemacie Nasha.
Przypomnijmy, że ustępstwo strony A w modelu Zeuthena będzie miało miejsce wtedy, gdy spełniona zostanie nierówność:
u an (a 1 ) − u an (b1 ) u bn (b1 ) − u bn (a 1 )
<
,
[17]
u an (a 1 )
u bn (b1 )
którą można również zapisać jako:
u an (a 1 )u bn (a 1 ) < u an (b1 )u bn (b1 ) .
[18]
Wykres 4. Ścieżka negocjacji w modelu Zeuthena
u an u bn
25
a4 z
20
b3
a3
b2
15
10
a2
5
10,000
10,273
10,545
10,818
11,091
11,364
11,636
11,909
12,182
12,455
12,727
13,000
13,273
13,545
13,818
14,091
14,364
14,636
14,909
15,182
15,455
15,727
16,000
0
ub
Źródło: opracowanie własne
Oznacza to, że ustępuje ta strona, w przypadku której iloczyn użyteczności preferowanego
przez nią rozwiązania jest mniejszy. Ustępstwo prowadzi do jego wzrostu tak, że:
u an (a 2 )u bn (a 2 ) > u an (b1 )u bn (b1 ) ,
[19]
co popycha do ustępstw stronę B. Każde kolejne ustępstwo podnosi iloczyn użyteczności
uzyskiwanych przez strony. Ustępstwa następują po sobie tak długo, aż nie zostanie osiągnięta maksymalna wartość tego iloczynu. W prezentowanym przykładzie osiąga on poziom
uan(az)ubn(bz)=21,421. Ścieżkę negocjacji można wytyczyć na wykresie pokazującym kolejne
122
Sławomir Kalinowski
wartości analizowanego iloczynu. W każdej kolejnej fazie negocjacji zwiększa się jego wartość: 11,09 przy rozwiązaniu a2, 15,45 przy b2, 18,18 przy a3, 20,36 przy b3, 21,27 przy a4 i
maksimum w punkcie z równe 21,42.
Przypomnijmy, że o maksymalizację tego samego iloczynu chodziło Nashowi kiedy
formułował warunek dla swojego rozwiązania kooperacyjnego polegający na maksymalizacji
iloczynu różnic między użytecznościami graczy w tym punkcie a użytecznościami w punkcie
odniesienia. Zbieżność wskazań modelu Zeuthena i Schematu arbitrażowego Nasha staje się
szczególnie interesująca, gdy skoncentrujemy uwagę na licznych różnicach jakie dzielą te
dwa podejścia.
U podstaw modelu Zeuthena leży psychologiczna analiza zachowań podmiotów w
trakcie prowadzenia negocjacji. Została ona w sposób błyskotliwy wbudowana w ramy modelu ekonomicznego, w którym podobnie zachowujące się strony, wyposażone w pełną wiedzę
dokonują wyborów tak aby zmaksymalizować wartość oczekiwaną użyteczności. Konwencja
abstrakcyjnej konstrukcji teoretycznej zastosowana przez Zeuthena nie spowoduje prawdopodobnie poczucia nierzeczywistości u kogoś, kto zna procesy negocjacyjne w praktyce. Poznając model Zeuthena będzie miał raczej wrażenie uczestnictwa w rzeczywistej sytuacji targu z
jej dynamiką i zmiennością postaw.
Schemat Nasha sprawia wrażenie konstrukcji teoretycznej, w której poprawność formalna dzierży prymat nad zbieżnością z naturą opisywanych procesów. W swoim drugim
artykule Nash interpretując aksjomat symetrii traktuje go jak imperatyw uczynienia stron negocjacji podmiotami racjonalnie zachowującymi się o pełnej wiedzy. To ma sprawić, że poza
różnicami wynikającymi z matematycznej konstrukcji modelu, żadna ze stron nie może osiągnąć przewagi nad drugą (Nash, 1953). U Zeuthena racjonalność i pełna wiedza prowadzą do
uzyskiwania przewagi nad drugą stroną, która staje się czynnikiem napędzającym negocjacje.
Z różnicy w podejściu autorów do problemu badawczego wynika różnica w naturze
zbudowanych modeli. U Zuethena dojście do rozwiązania kooperacyjnego jest procesem dynamicznym, który kierowany jest swoją wewnętrzną logiką. Nieodzownym dla jego przeprowadzenia jest udział negocjujących stron. W przypadku schematu Nasha wyznaczenie punktu
c(S) to jednorazowy akt poprzedzony wyznaczeniem punktu gróźb optymalnych. Udział stron
sytuacji negocjacyjnej może się ograniczyć wyłącznie do ustalenia arbitra, który zajmie się
resztą (Straffin, 2001).
Kolejna różnica ma podłoże głębsze, metodologiczne. Demarkacja miedzy ekonomią
pozytywną i normatywną zajmuje metodologów co najmniej od wyznaczenia przez Hume’a
tzw. „gilotyny” oddzielającej to co pozytywne od tego co normatywne (Black, 1970, s. 24).
Według Blauga bardzo często zdarza się w ekonomii, że granica między jej wymiarami pozytywnym i normatywnym staje się rozmyta. Stawia on pytanie retoryczne. „Jak to się dzieje, że
niektóre twierdzenia ekonomiczne, w rodzaju różnych równości krańcowych charakteryzujących optimum Pareto, pojawiają się w subtelnie różniących się przebraniach zarówno w ekonomii pozytywnej jak i w ekonomii normatywnej?” (Blaug, 1995, s. 189). Znakomitym przykładem ilustrującym to pytanie jest zestawienie modelu Zeuthena ze schematem arbitrażowym Nasha. W jednym z aksjomatów Nash otwarcie przywołuje kryterium optymalności
Pareto, które jest pośrednio obecne również w drugim z porównywanych modeli. Zapoznając
się z nimi, trudno się oprzeć wrażeniu, że model Zeuthena jest zdecydowanie bliższy ekonomii pozytywnej odpowiadającej na pytanie: „jak jest?”. Jednocześnie schemat arbitrażowy
Nasha wyczerpuje znamiona ekonomii normatywnej, która odpowiada na pytanie „jak należy
postąpić?”. To rozróżnienie staje się argumentem na rzecz tezy Blauga. Jeśli dwa analizowane
podejścia pochodzą z różnych obszarów ekonomii a przynoszą to samo wskazanie co do rozwiązania problemu badawczego, to rozróżnienie między tym co normatywne i tym co pozytywne traci na uzasadnieniu i ostrości.
Według Harsanyi’ego, tożsamość wskazania rozwiązania kooperacyjnego zestawiona
Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze
123
z istotnymi różnicami dzielącymi obydwa podejścia uzasadnia przyjęcie tezy, że stanowią one
dla siebie wzajemne potwierdzenie i uzupełnienie. Model Zeuthena uzupełnia podejście Nasha o wykorzystanie dynamiki procesu negocjacyjnego. Z drugiej strony schemat arbitrażowy
przynosi rozszerzenie zakresu rozstrzyganych problemów targu o sytuacje niesymetryczne, w
których strony uzgadniają rozwiązanie inne od spotkania „w połowie drogi” (Harsanyi, 1956).
Analiza prezentowanego przykładu dowodzi, że model Zeuthena może przynieść rozwiązanie
również w sytuacjach niesymetrycznych, należy tylko przeprowadzić normalizację użyteczności polegającą na odjęciu od nich odpowiednich poziomów bezpieczeństwa. Można zatem
rozszerzyć tezę Harsanyi’ego stwierdzając, że schemat arbitrażowy Nasha, poprzez „użyczenie” jednego ze swoich elementów zwiększa zakres aplikowalności modelu Zeuthena.
BIBLIOGRAFIA:
1. Black, M., (1970), Margins of Precision. Essays in Logic and Language, Cornell University Press, Ithaca.
2. Blaug, M., (1995), Metodologia ekonomii, PWN, Warszawa.
3. Harsanyi, J.C., (1956), Approaches to the Bargaining Problem Before and After the Theory
of Games, Econometrica 24, s. 144-157.
4. Kalai, E., Smorodinsky M., (1975), Other Solutions to Nash’s Bargaining Problem,
Econometrica 43, s. 513-518.
5. Luce, R.D. Raiffa H., (1964), Gry i decyzje, PWN, Warszawa.
6. Nash, J.F., (1950), The Bargaining Problem, Econometrica 18, s. 155-162.
7. Nash, J.F., (1953), Two-Person Cooperative Games, Econometrica 21;1, s. 128-140.
8. von Neumann, J., Morgenstern, O., (1944), Theory of Games and Economic Behavior,
Princeton University Press. (trzecie wydanie 1953), Princeton.
9. Straffin, P.D., (2001), Teoria gier, Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa.
10. Zeuthen, F., (1930), Problems of Monopoly end Economic Welfare, Routledge &
Sons, London.