slajdy 2

Plan wykładu
I
I
I
Przypomnienie: Dominacja oraz równowaga Nasha
Model konkurencji ilościowej Cournot
Model konkurencji cenowej Bertranda
I
I
I
Prosty model aukcji:
I
I
I
jednakowe produkty
produkty zróżnicowane
Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach
słabo dominujących
Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha
Model przetrzennego głosowania
Gra
Gra jest zdefiniowana jako:
I
Zbiór graczy N ≡ {1, 2, ..., N}
I
Dla każdego gracza zbiór akcji Ai
I
Dla każdego gracza funkcja wypłaty zdefiniowana na
profilach akcji: ui : A Ï R
Notacja:
A ≡ {A1 , ..., AN }
A−i
≡ {A1 , ..., Ai−1 , Ai+1 , ..., AN }
Strategie dominujące
I
Akcja ai gracza i ściśle dominuje akcję ai0 jeśli:
ui (ai , a−i ) > ui (ai0 , a−i ), ∀a−i ∈ A−i
I
Akcja ai gracza i słabo dominuje akcję ai0 jeśli dla
każdego profilu a−i ∈ A−i
ui (ai , a−i ) ≥ ui (ai0 , a−i )
podczas gdy dla pewnych profilów a−i ∈ A−i :
ui (ai , a−i ) > ui (ai0 , a−i )
I
I
Aby wykluczyć zdominowaną akcję dla danego gracza,
musimy wiedzieć, że jest to gracz racjonalny
Aby zastosować iteracyjną eliminację akcji
zdominowanych, potrzeba wspólnej wiedzy o
racjonalności.
I
I
Jeśli eliminujemy słabo zdominowane akcje, możemy
stracić pewne równowagi (więc kolejność eliminacji ma
znaczenie)
Jeśli eliminujemy ściśle zdominowane akcje, nigdy nie
tracimy żadnych równowag (zatem kolejność eliminacji
nie ma znaczenia)
Równowaga Nasha
I
Profil akcji a∗ ∈ A jest równowagą Nasha, jeśli
∗
∀i ∈ N, ui (a∗ ) ≥ ui (ai , a−i
), ∀ai ∈ Ai
I
I
Profil akcji a∗ ∈ A jest ścisłą równowagą Nasha, jeśli
∗
∀i ∈ N, ui (a∗ ) > ui (ai , a−i
), ∀ai ∈ Ai
Model Cournot (1838)
I
I
Są dwie firmy. Każda z nich
produkuje ilości q1 i q2
jednorodnego dobra
Cena na rynku (odwrócony
popyt):
a − Q, dla Q < a
P(Q) =
0,
dla Q ≥ a
gdzie Q = q1 + q2 .
I
Koszt dla firmy i wynosi
Ci (qi ) = cqi , gdzie c < a
I
Firmy wybierają ilości
produkcji jednocześnie
Zapisujemy problem w postaci gry
I
Zbiór graczy: N = {Firma 1, Firma 2}
I
Akcja gracza i opisana jest przez qi a zbiór akcji
Ai = [0, a − c)
I
Funkcja wypłaty gracza i:
Πi (qi , qj ) = qi [P(qi + qj ) − c] = qi [a − (qi + qj ) − c]
I
Para akcji (a1∗ , a2∗ ) jest równowagą w sensie Nasha, jeśli
dla każdego gracza i,
ui (ai∗ , aj∗ ) ≥ ui (ai , aj∗ )
dla każdej dopuszczalnej akcji ai ∈ Ai
I
Równoważnie, dla każdego gracza, akcja ai∗ musi być
rozwiązaniem następującego problemu:
max ui (ai , aj∗ )
ai ∈Ai
Równowaga w sensie Nasha dla modelu Cournota
I
Dla modelu duopolu Cournota stwierdzamy
analogicznie, że (q1∗ , q2∗ ) jest równowagą w sensie Nasha,
jeśli dla każdej z firm i, ilość qi spełnia:
max
0≤qi ≤a−c
I
Πi (qi , qj∗ ) =
max
0≤qi ≤a−c
qi [a − (qi + qj∗ ) − c]
Warunek pierwszego rzędu: a − c − qj∗ − 2qi = 0, czyli
1
qi = (a − qj∗ − c)
2
I
Czyli, żeby (q1∗ , q2∗ ) były równowagą w sensie Nasha,
muszą spełniać układ równań:
∗
q1 = 12 (a − q2∗ − c)
q2∗ = 12 (a − q1∗ − c)
Równowaga
I
Rozwiązując otrzymujemy:
q1∗ = q2∗ =
Przykł ad z praktyki:
a−c
3
Intuicja
I
Każda z firm chciałaby być monopolistą na rynku.
Wtedy wybrałaby qi , aby maksymalizować πi (qi , 0) - czyli
wyprodukowałaby qm = a−c
2 i jej zysk wynosiłby
πi (qm , 0) =
I
I
(a−c)2
4 .
Ponieważ na rynku są dwie firmy, zagregowany zysk dla
duopolu byłby maksymalizowany, gdyby q1 + q2 = qm ,
czyli na przykład dla qi = qm /2, dla każdego i. Niestety
taka sytuacja nie wystąpi, ponieważ każda z firm miałaby
bodziec, aby od tej alokacji odejść:
Ponieważ produkowana ilość jest mała, cena będzie
duża i w związku z tym każda z firm będzie chciała przy
takiej cenie podnieść produkowaną ilość, pomimo, iż
obniży to cenę produktu.
Alternatywnie - najlepsza odpowiedź
Najlepszą odpowiedzią firmy pierwszej na akcję firmy
drugiej jest:
1
2 (a − q2 − c), jeśli q2 ≤ a − c
R1 (q2 ) =
0,
jeśli q2 > a − c
Podobnie, najlepszą odpowiedzią firmy drugiej na akcję
firmy pierwszej jest:
1
2 (a − q1 − c), jeśli q1 ≤ a − c
R2 (q1 ) =
0,
jeśli q1 > a − c
Model Bertranda (1883)
I
I
I
Bertrand zasugerował, że
firmy raczej wybierają ceny a
nie ilości.
Załóżmy, że dwie firmy
produkują ten sam produkt i
ustalają niezależnie cenę za
niego
Koszt krańcowy wynosi c
Popyt i równowaga dla modelu z jednakowymi
produktami
Popyt na produkty firmy i wynosi:

jeśli pi < pj
 q(pi )
q(pi )/2 jeśli pi = pj
qi (p1 , p2 ) =

0
jeśli pi > pj
Zakładamy, że funkcja q(·) jest malejąca oraz że q(c) > 0.
Będziemy sukcesywnie eliminować kandydatów do
równowagi Nasha aż zostanie nam tylko jeden:
(1)
Znajdowanie równowagi
I: p1 < c lub p2 < c. Wtedy jedna lub obie firmy
odnotowują straty - wystarczy podnieść cenę powyżej
drugiego, aby straty zredukować do zera.
II: c < p1 < p2 lub c < p2 < p1 . Firma z wyższą ceną ma
zerowy zysk. Gdyby obniżyła do ceny rywala, miał aby
dodatni (połowę rynku by miała)
III: c = p1 < p2 lub c = p2 < p1 . Firma z niższą ceną może
teraz trochę podnieść cenę i mieć dodatnie zyski
IV: c < p1 = p2 . Firma pierwsza może ustalić cenę
p1 = p2 − ε > c. Jej zysk się podniesie:
Znajdowanie równowagi
q(p2 )
(p2 − c)
2
q(p2 )
> q(p2 )(p2 − ε − c) −
(p2 − c)
2
q(p2 )
=
(p2 − c) − εq(p2 )
2
πpo − πprzed = q(p2 − ε)(p2 − ε − c) −
ponieważ q(·) jest malejącą funkcją.
Po wyeliminowaniu przypadków I-IV pozostał tylko jeden:
c = p1 = p2 . łatwo zauważyć, że dla cen równych
krańcowemu kosztowi, żadnej firmie nie opłaca się zmieniać
ceny.
Zatem jest to jedyna równowaga Nasha.
Przykł ad
Model Bertranda z produktami zróżnicowanymi
Rozważmy przypadek produktów zróznicowanych. Popyt na
produkty firmy i wynosi:
qi (pi , pj ) = a − pi + bpj
gdzie 0 < b < 2 jest miarą substytucyjności produktów obu
firm. Koszt krańcowy wynosi c < a. W wyniku ustalenia
przez firmę i ceny pi a przez konkurencyjną firmę ceny pj ,
zysk firmy i wynosi:
πi (pi , pj ) = qi (pi , pj )[pi − c] = [a − pi + bpj ][pi − c]
Zatem para cen (p1∗ , p2∗ ) jest równowagą w sensie Nasha jeśli
dla każdej firmy i, pi∗ spełnia:
max πi (pi , pj∗ ) = max [a − pi + bpj∗ ][pi − c]
0eqpi eq∞
0≤pi ≤∞
Równowaga
Rozwiązaniem powyższego problemu jest:
1
pi∗ = (a + bpj∗ + c)
2
Zatem, aby para cen (p1∗ , p2∗ ) była równowagą Nasha, muszą
spełniać następujący układ równań:
p1∗ =
p2∗ =
1
(a + bp2∗ + c)
2
1
(a + bp1∗ + c)
2
Rozwiązaniem powyższego układu równań jest:
p1∗ = p2∗ =
a+c
2−b
Przykład
Rodzaje aukcji
Aukcje otwarte (dynamiczne)
I
I
aukcja rosnącej ceny (aukcja angielska): cena jest
sukcesywnie podnoszona, aż tylko jeden uczestnik
zostaje, który wygrywa i płaci cenę końcową
aukcja malejącej ceny (aukcja holenderska): cena jest
stopniowo obniżana aż ktoś z uczestników zaakceptuje i
zapłaci aktualną cenę
Aukcje zamknięte (statyczne)
I
I
aukcja pierwszej ceny: najwyższa oferta wygrywa,
wygrany płaci swoją ofertę
aukcja drugiej ceny (aukcja Vickreya): najwyższa oferta
wygrywa, wygrany płaci drugą najwyższą cenę
Aukcje dzielą się również na:
I
I
aukcje wartości prywatnej (dzieła sztuki, antyki,
pamiątki)
aukcje wartości wspólnej (aukcje praw do pól naftowych,
przejęcia firm)
Strategiczna równoważność aukcji:
I
I
aukcja holenderska i aukcja pierwszej ceny
aukcja angielska i aukcja drugiej ceny (tylko pod
warunkiem, że wartości są prywatne)
Od teraz zakładamy, że mamy dwóch graczy i ich wartości
są wspólną wiedzą. Będziemy studiowali aukcje zamknięte.