Moment bezwładności cm4

GEOMETRIA FIGUR PŁASKICH
1. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI
1.1. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI BRYŁY MATERIALNEJ PRZESTRZENNEJ
Jeżeli sztywną bryłę materialną podzielimy myślowo na dużą liczbę n
małych cząstek w sposób regularny to każda z nich posiada określoną masę mi
oraz ciężar Pi.
Ciężary wszystkich cząstek stanowią układ sił równoległych, a wypadkowa
tych sił stanowi ciężar całej bryły.
Środkiem ciężkości bryły materialnej nazywamy graniczne położenie
punktu przyłożenia wypadkowej sił ciężkości wszystkich cząstek
bryły, gdy ich liczba dąży do nieskończoności.
Niech Pi oznacza ciężar i-tej cząstki bryły, a liczby (xi , yi , zi) będą
współrzędnymi punktu przyłożenia tej siły.
Opierając się na definicji środka ciężkości możemy posłużyć się znanymi wzorami
statyki na położenie wypadkowej sił równoległych.
n
∑ Pi ⋅ xi
i =1
n
n →∞
xo = lim
∑ Pi
i =1
n
;
yo = lim
n →∞
∑ Pi ⋅ yi
i =1
n
∑ Pi
i =1
n
;
∑ Pi ⋅ zi
i =1
n
n →∞
zo = lim
∑ Pi
i =1
1.1.1. UPROSZCZENIA W WYZNACZANIU ŚRODKA CIĘŻKOŚCI
a) płaszczyzna symetrii
b) oś symetrii i punkt symetrii
Wniosek
Jeżeli bryła sztywna jest symetryczna względem płaszczyzny, osi albo punktu, to
jej środek ciężkości leży na tej płaszczyźnie, osi albo w punkcie symetrii.
Uwaga: powyższe zapisy są aktualne dla bryły jednorodnej – tzn. przyjęty stały
ciężar jednostki jej objętości w każdym punkcie.
2
1.2. ZASADA GRUPOWANIA
Jeżeli bryła ma kształt, który pozwala podzielić ją na takie części, dla
których położenie środków ciężkości jest znane lub łatwe do określenia, to
możemy rozpatrywać skończoną ilość ciężarów Gi tych części, umieszczonych w
ich środkach ciężkości.
Wzory na współrzędne środka ciężkości:
xo =
G1 x1 + G2 x2 + G3 x3
G1 + G2 + G3
yo =
G1 y1 + G2 y2 + G3 y3
G1 + G2 + G3
zo =
G1 z1 + G2 z 2 + G3 z3
G1 + G2 + G3
1.3. ZASADA MAS UJEMNYCH
W miejscu otworu w bryle dodajemy siłę ciężkości, tak jakby otworu nie
było, tzn. bryłę traktujemy jako pełną.
Dla narysowanego przykładu możemy więc napisać:
3
xo =
G1 x1 − G2 x2
;
G1 − G2
G1 y1 − G2 y2
;
G1 − G2
yo =
zo =
G1 z1 + G2 z 2
G1 − G2
1.4. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIGURY PŁASKIEJ
Jeżeli grubość figury jest bardzo mała w porównaniu z jej pozostałymi wymiarami,
to można przyjąć że środek ciężkości tej figury leży w jej płaszczyźnie, to znaczy
że do jego wyznaczenia wystarczy podać tylko dwie współrzędne: xo i yo .
Przez ΔAi oznaczmy powierzchnię elementu „i” a przez γ ciężar cząstki bryły o
powierzchni jednostkowej.
Ciężar wycinka elementarnego „i” będzie więc wynosił Pi = γ ⋅ ΔAi .
∑ Pi ⋅ xi
i =1
n
n →∞
xo = lim
∑ Pi
n
n
n
∑ γ ⋅ ΔAi ⋅ xi
i =1
n
n →∞
= lim
∑ γ ⋅ ΔAi
i =1
= lim
n →∞
i =1
n
= lim
n →∞
∑ ΔAi ⋅ xi
i =1
n
∑ ΔAi
i =1
4
=
γ ∑ ΔAi ⋅ xi
i =1
n
γ ∑ ΔAi
i =1
∫ xdA
A
A
=
analogicznie:
yo =
Wyrażenie lim
∫ ydA
A
A
n
∑ ΔAi ⋅ xi = ∫ xdA nazywamy momentem statycznym figury
n →∞ i =1
A
płaskiej względem osi y i oznaczamy symbolem Sy.
Wyrażenie lim
n
∑ ΔAi ⋅ yi = ∫ ydA nazywamy momentem statycznym figury
n→∞ i =1
A
płaskiej względem osi x i oznaczamy symbolem Sx.
Posługując się wprowadzonymi pojęciami możemy nadać wzorom na współrzędne
środka ciężkości figury płaskiej następującą postać:
Sy
xo =
A
S
yo = x
A
1.5. MOMENT STATYCZNY FIGURY PŁASKIEJ
Momentem statycznym figury płaskiej względem pewnej osi (np. x)
nazywamy wielkość wyrażoną przez całkę iloczynu elementów pola
tej figury i ich odległości y od danej osi x, rozciągniętą na całym
polu A tej figury.
S x = ∫ ydA
A
Wnioski
1) Momenty statyczne obszarów leżących dalej od osi osiągają bezwzględne
wartości większe niż momenty statyczne elementów leżących bliżej osi.
5
2) Momenty statyczne mogą być liczbami dodatnimi jak i ujemnymi. Zależy to
od położenia figury w stosunku do osi.
3) Wymiarem momentu statycznego są jednostki długości do potęgi trzeciej
[cm3], [m3]
4) Wzorom xo =
Sy
A
, yo =
Sx
można nadać postać:
A
S x = A ⋅ yo
S y = A ⋅ xo
Jeżeli znane są współrzędne środka ciężkości figury płaskiej, to momenty
statyczne tych figur można obliczyć z tych wzorów
Wzór S x = A ⋅ yo oznacza, że moment statyczny figury płaskiej
względem dowolnej osi jest równy iloczynowi jej powierzchni A i
odległości jej środka ciężkości od tej osi.
S x = A ⋅ yo
S y = A ⋅ xo
Przykład
h
bh 2
S x = yo ⋅ A = ⋅ b ⋅ h =
2
2
5) Ze wzorów powyższych wynika, że np. S x = 0 jeżeli yo = 0 co oznacza, że
Moment statyczny figury względem osi przechodzącej przez jej środek
ciężkości jest równy zero.
6
6) Jeżeli do wniosku nr 4) dodamy zasadę grupowania, to możemy obliczyć
współrzędne środka ciężkości figur złożonych, np.:
S yI = x1 ⋅ A1 ;
S yII = x2 ⋅ A2 ;
S yIII = x3 ⋅ A3
S y = S yI + S yII + S yIII
xo =
Sy
A
S xI = y1 ⋅ A1 ;
=
x1 ⋅ A1 + x2 ⋅ A2 + x3 ⋅ A3
A1 + A2 + A3
S xII = y2 ⋅ A2 ;
S xIII = y3 ⋅ A3
S x = S xI + S xII + S xIII
Sx
y ⋅ A + y2 ⋅ A2 + y3 ⋅ A3
= 1 1
yo =
A
A1 + A2 + A3
W zapisie ogólnym przy dowolnej ilości pól prostych tworzących figurę złożoną
możemy zapisać:
7
n
xo =
∑ xi ⋅ Ai
i =1
n
∑ Ai
i =1
n
yo =
∑ yi ⋅ Ai
i =1
n
∑ Ai
i =1
2. MOMENT BEZWŁADNOŚCI FIGURY PŁASKIEJ
Moment bezwładności figury płaskiej względem osi jest wielkością
charakteryzującą kształt figury płaskiej rozpatrywaną w nauce wytrzymałości
materiałów.
J x = ∫ y 2 dA
A
Momentem bezwładności figury płaskiej względem pewnej osi np. x,
nazywamy całkę z iloczynu elementów pola tej figury i kwadratu ich
odległości od danej osi rozpatrywaną na całym polu A tej figury.
Własności:
1) Wielkość ta jest zawsze związana z wyborem osi;
2) Moment bezwładności przyjmuje wartości większe od zera
Jx > 0;
3) Wymiarem (jednostką) momentu bezwładności są jednostki długości do
potęgi czwartej: [cm4] ; [m4].
8
2.1. Zależności dla osi równoległych do siebie
Zakładamy, że moment bezwładności względem osi x jest wielkością znaną.
Stawiamy sobie pytanie, jaki jest moment bezwładności względem osi x1 , gdzie oś
jest równoległa do osi x i oddalona od niej o wartość a.
J x = ∫ y 2 dA
A
J x1 = ∫ y12 dA ; y1 = y + a
A
Czyli:
J x1 = ∫ ( y + a ) 2 dA = ∫ ( y 2 + 2ay + a 2 )dA = ∫ y 2 dA + 2a ∫ ydA + ∫ a 2 dA =
A
A
A
A
A
= ∫ y 2 dA + 2a ∫ ydA + a 2 ∫ dA
A
A
A
J x1 = J x + 2a ⋅ S x + a 2 A
Jeżeli dodatkowo przyjmiemy, że oś x przechodzi przez środek ciężkości figury
płaskiej (oznaczamy ją wtedy x0), to moment statyczny Sx=0 i powyższy wzór
przyjmie postać:
J x1 = J x + a 2 A
Wzór ten nazywamy wzorem Steinera.
Przykład
Znaleźć moment bezwładności figury płaskiej względem: a) osi przechodzącej
przez jego podstawę; b) osi przechodzącej przez środek ciężkości i równolegle do
podstawy.
9
h
h
h
by 3
2
2
2
J x = ∫ y dA = ∫ y bdy = b ∫ y dy =
3 0
0
0
A
bh 3
Jx =
3
Według wzoru Steinera:
2
J x = J xo + a A → J xo
2
bh 3 ⎛ h ⎞
bh 3 bh 3 bh 3
= Jx − a A =
− ⎜ ⎟ bh =
−
=
3 ⎝2⎠
3
4
12
2
J xo
bh3
=
12
3. ODŚRODKOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI FIGURY
(MOMENT DEWIACYJNY)
Jest to wielkość uwzględniająca usytuowanie figury płaskiej względem dwóch osi
jednocześnie.
J xy = ∫ xydA
A
10
Uwagi:
1) Odśrodkowy moment bezwładności może być wielkością dodatnią jak
i ujemną
2) Wymiarem (jednostką) odśrodkowego momentu bezwładności są jednostki
długości do potęgi czwartej: [cm4] ; [m4].
3) Jeżeli figura płaska ma przynajmniej jedną oś symetrii to jej moment
dewiacyjny względem tej osi jest równy zero
3.1. Zależności dla osi równoległych do siebie
def
J x′y′ =
∫ x′y′dA = ∫ ( x + a)( y + b)dA = ∫ xydA + a ∫ ydA + b ∫ xdA + ab ∫ dA
A
A
A
A
A
A
J x′y′ = J xy + aS x + bS y + abA
Jeżeli dodatkowo osie pierwotne xy przechodzą przez środek ciężkości figury to
S x = S y = 0 i wzór przyjmie prostszą postać:
J x′y′ = J xy + abA
Jest to odpowiednik wzoru Steinera.
Zarówno przy liczeniu momentu bezwładności względem osi jak
i dewiacyjnych momentów obowiązuje zasada grupowania, która mówi, że jeżeli
figurę możemy podzielić na kilka prostszych elementów to moment całej figury
względem określonej osi jest sumą momentów względem tej osi dla
poszczególnych elementów składowych tej figury.
11
n
J xo = ∑ ( J xi + bi2 ⋅ Ai )
i =1
n
J yo = ∑ ( J yi + ai2 ⋅ Ai )
i =1
Analogicznie otrzymamy dla momentów dewiacyjnych:
n
J xo y = ∑ ( J xi yi + Ai ⋅ ai ⋅ bi )
o
i =1
W tym ostatnim wzorze, jeżeli elementami składowymi rozpatrywanymi pod
znakiem sumy ∑ są prostokąty zanika J xi yi i wzór przyjmuje postać:
n
J xo yo = ∑ Ai ⋅ ai ⋅ bi .
i =1
Wynika to stąd, że dla prostokąta mamy:
J xi yi = 0
12
4.
BIEGUNOWY
PŁASKIEJ
MOMENT
BEZWŁADNOŚCI
FIGURY
Wielkość ta występuje m.in. przy analizie naprężeń stycznych i odkształceń
w elementach doznających zjawiska skręcania.
def
J o = ∫ ρ 2 dA
A
Własności:
1) Biegunowy moment zawsze przyjmuje wartości większe od zera J o > 0 ;
2) Wymiarem (jednostką) momentu biegunowego są jednostki długości do
potęgi czwartej: [cm4] ; [m4];
3)
J o = ∫ ρ 2 dA = ∫ ( x 2 + y 2 )dA = ∫ y 2 dA + ∫ x 2 dA = J x + J y
A
A
A
A
Jo = J x + J y
4. ZALEŻNOŚCI DLA OSI OBRÓCONYCH
Dane są momenty bezwładności figury płaskiej względem osi x i y. Znane są
również wartości Jx , Jy oraz Jxy względem tych osi.
Szukamy momentu bezwładności tej figury względem nowych osi ξ (ksi) i
η (eta) obróconych względem układu xy o kąt ϕ .
13
ξ = x cos ϕ + y sin ϕ
η = y cos ϕ − x sin ϕ
Uwzględniając powyższe zależności obliczamy kolejno J ξ , Jη i J ξη .
J ξ = ∫ η 2 dA = ∫ ( y cos ϕ − x sin ϕ ) 2 dA =
A
A
2
= ∫ ( y 2 cos ϕ − 2 xy cos ϕ sin ϕ + x 2 sin 2 ϕ )dA =
A
= cos 2 ϕ ∫ y 2 dA − 2 cos ϕ sin ϕ ∫ xydA + sin 2 ϕ ∫ x 2 dA =
A
2
A
A
= J x cos ϕ − J xy sin 2ϕ + J y sin 2 ϕ
Jη = ∫ ξ 2 dA = ∫ ( x cos ϕ + y sin ϕ ) 2 dA =
A
A
2
= ∫ ( x 2 cos ϕ + 2 xy cos ϕ sin ϕ + y 2 sin 2 ϕ )dA =
A
= cos 2 ϕ ∫ x 2 dA + 2 cos ϕ sin ϕ ∫ xydA + sin 2 ϕ ∫ y 2 dA =
A
2
A
A
= J y cos ϕ + J xy sin 2ϕ + J x sin 2 ϕ =
= J x sin 2 ϕ + J xy sin 2ϕ + J y cos 2 ϕ
14
Wyliczmy w podobny sposób odśrodkowy moment bezwładności J ξη :
J ξη = ∫ ξηdA = ∫ ( x cos ϕ + y sin ϕ )( y cos ϕ − x sin ϕ )dA =
A
A
= cos 2 ϕ ∫ xydA − sin ϕ cos ϕ ∫ x 2 dA + sin ϕ cos ϕ ∫ y 2 dA − sin 2 ϕ ∫ xydA =
A
A
A
A
= ( J x − J y ) sin ϕ cos ϕ + J xy (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) =
1
= ( J x − J y ) sin 2ϕ + J xy cos 2ϕ
2
Wyniki te wykorzystamy poniżej.
5. GŁÓWNE OSIE BEZWŁADNOŚCI FIGURY PŁASKIEJ
Wyprowadzone w poprzednim punkcie wzory na obliczanie momentów
bezwładności J ξ , Jη , J ξη względem osi ξ , η tworzących kąt ϕ z pewnymi
osiami xy o początku w punkcie O. Jeżeli będziemy brali pod uwagę szereg
różnych osi ξη stale o początku O, odpowiadającym różnym kątom ϕ , to
otrzymywać będziemy odpowiednio różne momenty bezwładności.
Możemy więc np. wielkości J ξ , Jη potraktować jako funkcje kąta ϕ i zadać
pytanie, dla jakiego kąta ϕ = ω osiągną te funkcje ekstremum.
Będzie to oczywiście wtedy, gdy jej pierwsze pochodne względem
wartość zero:
1)
dJ ξ
dϕ
ϕ przyjmą
=0
J ξ = J x cos 2 ϕ + J y sin 2 ϕ − J xy sin 2ϕ
dJ ξ
dϕ
= J x ⋅ 2 cos ϕ (− sin ϕ ) + J y ⋅ 2 sin ϕ cos ϕ − J xy ⋅ cos 2ϕ ⋅ 2
= ( J y − J x ) sin 2ϕ − 2 J xy cos 2ϕ
Następnie porównując tę pochodną do zera otrzymujemy równanie:
( J y − J x ) sin 2ϕ − 2 J xy cos 2ϕ = 0
/ : cos 2ϕ
Ostatecznie:
15
(1*)
tg 2ωξ =
Przez kąt
2 J xy
Jy − Jx
ωξ oznaczony został kąt ϕ , dla którego zachodzi ekstremum J ξ .
Ponieważ tangens kąta jest funkcją okresową o okresie 180o otrzymamy w
granicach od 0o do 360o dwa kąty 2ωξ różniące się o 180o
2ωξ = ω1 i 2ωξ = ω1 + 180o
stąd
ωξ =
2ωξ = arctg
ω1
2
i
2 J xy
Jy − Jx
ωξ =
⇒
ω1
2
+ 90o
1
2
ωξ = arctg
2 J xy
Jy − Jx
Jeżeli równania (1*) podzielimy przez 2 to otrzymamy:
1
( J x − J y ) sin 2ϕ + J xy cos 2ϕ = 0
2
Lewa strona tego równania jest identyczna z prawą stroną równania zapisanego w
pkt. 4 na wyrażenie J ξη , czyli
1
J ξη = ( J x − J y ) sin 2ϕ + J xy cos 2ϕ = 0
2
Wynika stąd, że dla kątów ϕ = ωξ = ωη wyznaczonych poprzednio, dla których
spełnione jest powyższe równanie, będziemy mieli J ξη = 0 .
Te dwa kąty ω posiadające omówione własności wyznaczają tzw. główne osie
bezwładności.
Głównymi osiami bezwładności figury płaskiej związanymi z
pewnym punktem O nazywamy osie, dla których odśrodkowy moment
bezwładności figury jest równy zeru.
Moment bezwładności względem jednej z nich jest największy,
względem drugiej najmniejszy ze wszystkich możliwych momentów
bezwładności tej figury względem różnych osi przechodzących przez
punkt O.
Należy tu jeszcze zwrócić uwagę, że dla różnych punktów figury otrzymamy
inne główne osie bezwładności i momenty obliczone względem nich będą dla
każdego punktu inne.
16
Jeżeli jako punkt O obierzemy środek ciężkości figury to wtedy osie główne
nazywamy głównymi środkowymi osiami bezwładności, a momenty obliczone
względem takich osi nazywamy głównymi środkowymi momentami bezwładności
Ze wzoru Steinera wynika wniosek, że moment bezwładności względem
jednej z głównych środkowych osi bezwładności jest najmniejszym momentem
bezwładności figury w ogóle.
Względem drugiej osi moment jest największy ze wszystkich momentów
bezwładności, ale tylko względem osi przechodzących przez środek ciężkości.
Tok postępowania przy poszukiwaniu głównych środkowych
osi bezwładności i głównych środkowych momentów bezwładności
1. Założenie dowolnego układu osi xy.
2. Znalezienie współrzędnych środka ciężkości.
xo =
Sy
A
yo =
;
Sx
A
3. Przeprowadzenie przez środek ciężkości O osi xoyo (osie środkowe).
4. Obliczenie J xo , J yo oraz J xo yo .
5. Znalezienie położenia głównych środkowych osi bezwładności
tg 2ω =
2 J xo yo
J yo − J xo
arctg
ω′ =
2ω = arctg
⇒
2 J xo yo
J yo − J xo
2 J xo yo
J yo − J xo
2
i
ω ′′ = ω ′ + 90o
6. Obliczenie głównych środkowych osi bezwładności
J ξ = J x cos 2 ϕ + J y sin 2 ϕ − J xy sin 2ϕ
17
(a) J xog = J xo cos 2 ω ′ + J yo sin 2 ω ′ − J xo yo sin 2ω ′
Jη = J x sin 2 ϕ + J y cos 2 ϕ + J xy sin 2ϕ
(b) J yog = J xo sin 2 ω ′ + J yo cos 2 ω ′ + J xo yo sin 2ω ′
J xog yog = 0
Wzory (a) i (b) są uciążliwe w stosowaniu w związku z czym z postaci
trygonometrycznej można przejść na postać algebraiczną dokonując pewnych
podstawień
Po dokonaniu formalnych przekształceń ostatecznie otrzymujemy:
1
1
J xog = ( J xo + J yo ) ±
2
2
1
1
J yog = ( J xo + J yo ) m
2
2
(J y
o
(J y
o
− J xo
)2 + 4 J x2 y
− J xo
)2 + 4 J x2 y
o o
o o
Jeżeli J xo > J yo to bierzemy pod uwagę znaki górne.
Jeżeli J xo < J yo to bierzemy pod uwagę znaki dolne.
Koło bezwładności Mohra
Jeżeli dla pewnej figury znamy położenie głównych osi bezwładności
związanych z pewnym punktem lub głównych środkowych osi bezwładności, to
obliczanie momentów bezwładności względem jakichś innych osi xy nachylonych
w stosunku do poprzednich o pewien kąt ϕ możemy przeprowadzić za pomocą
poprzednio zaprezentowanych wzorów.
J x = J xg cos 2 ϕ + J y g sin 2 ϕ
J y = J xg sin 2 ϕ + J y g cos 2 ϕ
1
J xy = ( J xg − J y g ) sin 2ϕ .
2
Jeżeli zastosujemy tu znane wzory trygonometryczne
18
1
sin 2 ϕ = (1 − cos 2ϕ )
2
1
cos 2 ϕ = (1 + cos 2ϕ )
2
to otrzymamy:
1
1
J x = ( J xg + J y g ) + ( J xg − J y g ) cos 2ϕ
2
2
1
1
J y = ( J xg + J y g ) − ( J xg − J y g ) cos 2ϕ
2
2
W ten sposób uzyskujemy ostatecznie trzy wzory:
1
1
J x = ( J xg + J y g ) + ( J xg − J y g ) cos 2ϕ
2
2
1
1
J y = ( J xg + J y g ) − ( J xg − J y g ) cos 2ϕ
2
2
1
J xy = ( J xg − J y g ) sin 2ϕ .
2
Wielkości J x , J y i J xy łatwo można wyznaczyć dla każdego kąta
ϕ na
podstawie koła Mohra, które buduje się następująco:
Na pewnej osi odkładamy, w przyjętej skali, wartości momentów bezwładności
danej figury względem głównych osi bezwładności. Następnie zakreślamy koło o
średnicy równej
( J xg − J y g )
i środku K na przyjętej osi.
Łatwo zauważyć, że:
1
OK = ( J xg + J y g ) .
2
Chcąc znaleźć momenty bezwładności danej figury względem osi xy tworzących z
osiami głównymi kąt ϕ , to odkłądamy kąt dwa razy większy w punkcie K i
prowadzimy odpowiednią średnicę. Wyznacza ona punkty A i B na kole, a ich
rzuty na oś Jx, Jy określają wielkości Jx i Jy.
19
Na podstawie koła Mohra można wykonać także czynności odwrotną, niż
przedstawiono wyżej i wyznaczyć położenie głównych osi bezwładności i
wielkości momentów głównych względem tych osi.
6. PROMIEŃ BEZWŁADNOŚCI FIGURY PŁASKIEJ
W zagadnieniach geometrii figur płaskich obok wcześniej poznanych
wielkości występuje wielkość zwana promieniem bezwładności pola figury
względem osi.
Określa ją wzór:
ix =
Jx
A
gdzie:
ix
Jx
A
- promień bezwładności pola względem osi x,
- moment bezwładności pola względem osi x,
- pole danej figury.
Jednostką promienia bezwładności jak wynika ze wzoru jest jednostka długości
[cm], [m].
A ⋅ ix2 = J x
20
Końce promieni bezwładności układają się dla dowolnych osi mających swój
początek w punkcie O w elipsę.
Jest to tzw. elipsa bezwładności.
21