STATYSTYKA

STATYSTYKA
Rafał Kucharski
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16
ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
Karl Popper
. . . no matter how many instances of white swans we may have
observed, this does not justify the conclusion that all swans
are white.
Good tests kill flawed theories; we remain alive to guess
again.
Hipoteza statystyczna
I
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące
I
I
postaci rozkładu cechy w populacji generalnej (hipotezy
nieparametryczne) lub
wartości jego parametrów (hipotezy parametryczne).
I
Postępowanie służące rozstrzygnięciu czy hipotezę należy odrzucić
czy też nie, nazywamy weryfikacją lub testowaniem hipotezy.
I
Weryfikowaną hipotezę nazywamy zerową (H0 ).
I
Oprócz niej formułujemy także drugą hipotezę: alternatywną (H1 ),
której prawdziwość przyjmujemy w przypadku odrzucenia hipotezy
zerowej.
I
Hipoteza mówiąca, że parametr przyjmuje pewną dokładną
(punktową) wartość, nazywa się hipotezą prostą (np. θ = 3).
I
Hipotezę określająca zbiór wartości parametru nazywamy hipotezą
złożoną (np. θ < 0).
Test statystyczny
I
I
Test statystyczny to reguła (procedura) postępowania służąca do
podjęcia decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu sprawdzanej hipotezy,
na podstawie wyników z próby.
Formalnie procedura testowa to mierzalna funkcja ϕ : X → {0, 1},
I
I
gdzie ϕ(X ) = 1 oznacza decyzję o odrzuceniu H0 (i przyjęcie H1 ),
a wartość ϕ(X ) = 0 oznacza przyjęcie H0 (i odrzucenie H1 ).
I
Testy parametryczne służą do weryfikacji hipotez parametrycznych.
I
Testy nieparametryczne służą do weryfikacji hipotez
nieparametrycznych.
Błędy I i II rodzaju
I
Hipoteza zerowa może być prawdziwa lub fałszywa.
I
My możemy podjąć dwie decyzje: odrzucić H0 albo nie odrzucać H0 .
I
Hipoteza statystyczna jest weryfikowana w oparciu o dane z próby,
więc istnieje prawdopodobieństwo popełnienia błędu.
I
Możliwe są cztery sytuacje:
Wynik testu
Rzeczywistość
H0 jest prawdziwa H0 jest fałszywa
Odrzucamy H0
Błąd I rodzaju
decyzja poprawna
Brak podstaw
do odrzucenia H0
decyzja poprawna
Błąd II rodzaju
Obserwacja:
I
Cecha X ma rozkład normalny N(m, 1) o nieznanej wartości
przeciętnej m.
I
Wysuwamy przypuszczenie, że H0 : m = 0 (hipoteza zerowa).
I
Załóżmy teraz, że z wylosowanej próby prostej zwierającej 10
elementów uzyskano wartość x̄ = 0.977.
I
Wiemy, że jeśli X ∼ N(0, 1), to X̄10 ∼ N(0, 1/10), zatem
√
√
P(|X̄10 | ­ 0.977) = P( 10|X̄10 | ­ 0.977 10) =
√
= 2(1 − Φ(0.977 10)) ≈ 0.002.
I
Jeśli H0 jest prawdziwa, to zdarzenie {|X̄10 | ­ 0.977} jest
I
I
mało prawdopodobne,
jednakże możliwe.
Poziom istotności, testy istotności
I
Musimy podjąć decyzję (czy też ustalić regułę decyzyjną), jak małe
prawdopodobieństwo nastąpienia obserwowanego zdarzenia (przy
zachodzeniu H0 ) skłania nas do odrzucenia H0 .
I
Takie krytyczne prawdopodobieństwo α ∈ (0, 1), że odrzucamy H0 ,
jeżeli (przy zachodzeniu H0 ) prawdopodobieństwo nastąpienia
zaobserwowanego zdarzenia jest nie większe niż α, nazywamy
poziomem istotności.
P(ϕ(X ) = 1|H0 ) = P(odrzucamy H0 |H0 ) ¬ α.
I
Testy, przy których interesuje nas jedynie prawdziwość lub
fałszywość H0 , i nie interesuje na błąd II rodzaju, nazywamy
testami istotności.
I
Testy istotności pozwalają na odrzucenie H0 , lub stwierdzenie, że
zaobserwowane wartości nie dają podstaw do odrzucenia H0 .
Poziom istotności, rozmiar i moc testu
I
Rozmiarem testu nazywamy liczbę
P(błędu I rodzaju) = P(odrzucenie H0 |H0 jest prawdziwa).
I
Test na poziomie istotności α ma rozmiar ¬ α.
I
Mocą testu nazywamy liczbę 1 − β, gdzie
β = P(błędu II rodzaju) =
= P(nieodrzucenie H0 |H1 jest prawdziwa),
czyli
moc testu = P(odrzucenie H0 |H1 jest prawdziwa).
Obszar krytyczny
I
Test istotności składa się:
I
I
ze statystyki testowej (T ) zwanej także sprawdzianem hipotezy,
oraz obszaru krytycznego (K ), który wyznaczamy tak, aby
α = P(T ∈ K |H0 ).
I
I
I
I
Jeśli zachodzi T ∈ K , to H0 odrzucamy, na korzyść H1 .
Jeśli T 6∈ K , to nie ma podstaw do odrzucenia H0 .
Hipoteza zerowa w testach parametrycznych ma zwykle postać:
H0 : θ = θ0 , gdzie θ0 jest ustaloną liczbą rzeczywistą.
Hipotezę alternatywną w testach istotności możemy sformułować
na trzy sposoby; każdemu z nich odpowiada inny typ obszaru
krytycznego:
I
H1 : θ 6= θ0 ,
I
H1 : θ > θ 0 ,
H1 : θ < θ 0 ,
I
obszar krytyczny dwustronny:
K = (−∞, a) ∪ (b, ∞),
obszar krytyczny prawostronny: K = (b, ∞),
obszar krytyczny lewostronny: K = (−∞, a)
(gdzie a, b należy wyznaczyć z warunku (∗)).
(∗)
Schemat weryfikacji hipotez
I
Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej,
I
Wybór statystyki testowej,
I
Określenie poziomu istotności α,
I
Wyznaczenie obszaru krytycznego testu,
I
Obliczenie oceny statystyki testowej na podstawie próby,
I
Podjęcie decyzji.
Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o
znanej wariancji, H1 : µ 6= m0
I
I
I
I
I
Zakładamy, że X ∼ N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane.
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ = m0 wobec H1 : µ 6= m0 .
X̄ − m0 √
Statystyką testową jest Z =
n.
σ
Ustalamy poziom istotności α ∈ (0, 1).
Z uwagi na postać H1 obszar krytyczny jest dwustronny:
K = (−∞, −zα ) ∪ (zα , ∞),
I
gdzie wartość krytyczną zα dobieramy tak, aby P(|Z | ­ zα |H0 ) = α.
Pod założeniem H0 mamy Z ∼ N(0, 1), zatem
α
α
= P(Z ­ zα |H0 ) = 1 − Φ(zα ) ⇐⇒ zα = Φ−1 1 −
.
2
2
I
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej z ∈ K , czyli |z| ­ zα .
Przykład
I
Czas pracy pewnego rodzaju baterii ma rozkład N(µ, 702 ). Na
poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że przeciętny
czas pracy tego typu baterii jest równy 500 godz., jeżeli dla 16
losowo wybranych baterii otrzymano x̄ = 530 godz.
I
H0 : µ = 500
I
α = 0.05 ⇒ zα =
I
K = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, ∞),
I
x̄ = 530, σ = 70, n = 16,
x̄ − m0 √
530 − 500 √
z=
n=
16 = 1.714286 6∈ K .
σ
70
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
I
I
I
∨
H1 :
−1
Φ (1
µ 6= 500,
− 0.05/2) = 1.96,
Wniosek: Przeciętny czas pracy tego typu baterii nie jest istotnie
różny od 500 godzin (na poziomie istotności 0.05).
p-value
I
I
I
I
I
Gdybyśmy w powyższym przykładzie przyjęli α = 0.1,
to wówczas zα = Φ(0.95) = 1.645,
Wtedy z = 1.714286 ∈ K = (−∞, −1.645) ∪ (1.645, ∞),
więc H0 należałoby odrzucić.
Najmniejszy poziom istotności α dla którego odrzucamy H0 (lub
największy dla którego nie odrzucamy H0 ) nazywamy p-wartością
testu (p-value).
p-value dostarcza dodatkową informację o „dowodach” za lub
przeciw H0 , ułatwiając podejmowanie decyzji o jej przyjęciu lub
odrzuceniu.
W naszym przykładzie:
1.714286 = Φ−1 (1−p/2) ⇐⇒ p = 2(1−Φ(1.714286)) = 0.08647621.
I
Zauważmy, że w tym przykładzie
p = P |Z | ­ |z|H0 ,
gdzie z jest wartością statystyki Z zaobserwowaną w próbie.
Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o
znanej wariancji, H1 : µ > m0
I
I
I
I
I
Zakładamy, że X ∼ N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane.
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ = m0 wobec H1 : µ > m0 .
X̄ − m0 √
Statystyką testową jest Z =
n.
σ
Ustalamy poziom istotności α ∈ (0, 1).
Z uwagi na postać H1 obszar krytyczny jest prawostronny:
K = (z2α , ∞),
I
gdzie z2α dobieramy tak, aby P(Z ­ z2α |H0 ) = α.
Pod założeniem H0 mamy Z ∼ N(0, 1), zatem
α = P(Z ­ z2α |H0 ) = 1 − Φ(zα ) ⇐⇒ z2α = Φ−1 (1 − α) .
I
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej z ∈ K , czyli z > z2α .
Przykład
I
Czas pracy pewnego rodzaju baterii ma rozkład N(µ, 702 ).
Odpowiedz na pytanie, czy przeciętny czas pracy tego typu baterii
wynosi ponad 500 godz., jeżeli dla 16 losowo wybranych baterii
otrzymano x̄ = 530 godz. Przyjmij poziom istotności α = 0.05.
I
H0 : µ = 500
I
α = 0.05 ⇒ zα =
I
K = (−∞, −1.645) ∪ (1.645, ∞),
I
x̄ = 530, σ = 70, n = 16,
x̄ − m0 √
530 − 500 √
z=
n=
16 = 1.714286 ∈ K .
σ
70
Odrzucamy H0 : Przeciętny czas pracy tego typu baterii jest istotnie
większy niż 500 godzin (na poziomie istotności 0.05).
I
I
I
∨
H1 :
−1
Φ (1
µ > 500,
− 0.05) = 1.645,
p = P Z > |1.714286|H0 = 1 − Φ(1.714286) = 0.04323811.
Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o
znanej wariancji, H1 : µ < m0
I
I
I
I
I
Zakładamy, że X ∼ N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane.
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ = m0 wobec H1 : µ < m0 .
X̄ − m0 √
Statystyką testową jest Z =
n.
σ
Ustalamy poziom istotności α ∈ (0, 1).
Z uwagi na postać H1 obszar krytyczny jest lewostronny:
K = (−∞, −z2α ),
I
gdzie z2α dobieramy tak, aby P(Z ¬ −z2α |H0 ) = α.
Pod założeniem H0 mamy Z ∼ N(0, 1), zatem
α = P(Z ¬ −z2α |H0 ) = 1 − Φ(z2α ) ⇐⇒ z2α = Φ−1 (1 − α) .
I
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej z ∈ K , czyli z < −z2α .
Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o
nieznanej wariancji, H1 : µ 6= m0
I
I
I
I
I
Zakładamy, że X ∼ N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane.
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ = m0 wobec H1 : µ 6= m0 .
X̄ − m0 √
Statystyką testową jest T =
n − 1.
S
Ustalamy poziom istotności α ∈ (0, 1).
Z uwagi na postać H1 obszar krytyczny jest dwustronny:
K = (−∞, −tα ) ∪ (tα , ∞),
I
gdzie wartość krytyczną tα dobieramy tak, aby P(|T | ­ tα |H0 ) = α.
Pod założeniem H0 mamy T ∼ tn−1 , zatem
−1
(1 − α/2) ,
α = P(|T | ­ tα |H0 ) ⇐⇒ tα = Ft,n−1
I
gdzie Ft,n−1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-Studenta o n − 1
stopniach swobody.
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej t ∈ K , czyli |t| > tα .
Przykład
I
Na podstawie 10–elementowej próby obliczono średnią czasu
toczenia detalu na tokarce równą 27 minut i odchylenie
standardowe 5 minut. Na poziomie istotności α = 0.02
zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas toczenia na tej tokarce
wynosi 30 minut, przy założeniu, że czas toczenia detalu ma
rozkład normalny.
I
H0 : µ = 30
I
−1
α = 0.02, n = 10 ⇒ tα = Ft,9
(1 − 0.05/2) = 2.821,
I
K = (−∞, −2.821) ∪ (2.821, ∞),
x̄ − m0 √
27 − 30 √
x̄ = 27, S = 5, t =
n−1=
10 − 1 = −1.8 6∈ K .
S
5
Nie ma podstaw do odrzucenia H0 : Przeciętny czas toczenia detalu
na tokarce nie różni się istotnie od 30 minut.
I
I
I
∨
H1 : µ 6= 30,
p = P |T | > | − 1.8|H0 = 2(1 − Ft,9 (1.8)) = 0.1053907.
Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o
nieznanej wariancji, H1 : µ > m0
I
I
I
I
I
Zakładamy, że X ∼ N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane.
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ = m0 wobec H1 : µ > m0 .
X̄ − m0 √
Statystyką testową jest T =
n − 1.
S
Ustalamy poziom istotności α ∈ (0, 1).
Z uwagi na postać H1 obszar krytyczny jest prawostronny:
K = (t2α , ∞),
I
gdzie t2α dobieramy tak, aby P(T ­ t2α |H0 ) = α.
Pod założeniem H0 mamy T ∼ tn−1 , zatem
α = P(T ­ t2α |H0 ) ⇐⇒ P(|T | ­ t2α ) = 2α ⇐⇒
−1
⇐⇒ t2α = Ft,n−1
(1 − α) ,
I
gdzie Ft,n−1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-Studenta o n − 1
stopniach swobody.
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej t ∈ K , czyli t > t2α .
Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o
nieznanej wariancji, H1 : µ < m0
I
I
I
I
I
Zakładamy, że X ∼ N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane.
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ = m0 wobec H1 : µ < m0 .
X̄ − m0 √
Statystyką testową jest T =
n − 1.
S
Ustalamy poziom istotności α ∈ (0, 1).
Z uwagi na postać H1 obszar krytyczny jest lewostronny:
K = (−∞, −t2α ),
I
gdzie t2α dobieramy tak, aby P(T ¬ −t2α |H0 ) = α.
Pod założeniem H0 mamy T ∼ tn−1 , zatem
α = P(T ¬ −t2α |H0 ) ⇐⇒ P(|T | ­ t2α ) = 2α ⇐⇒
−1
⇐⇒ t2α = Ft,n−1
(1 − α) ,
I
gdzie Ft,n−1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-Studenta o n − 1
stopniach swobody.
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej t ∈ K , czyli t < −t2α .
Test dla wartości oczekiwanej w dowolnej populacji o
nieznanej wariancji, dla dużej próby
I
Dysponujemy liczną próbą (n > 120).
I
X ma dowolny rozkład o skończonej wariancji σ 2 , gdzie σ 2 jest
nieznane.
I
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ = m0 , gdzie µ = E(X ).
X̄ − m0 √
Jako statystyki testowej używamy Z =
n, która przy
S
prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład N(0, 1).
I
I
Dalej postępujemy jak w przypadku testu w populacji o znanej
wariancji.
Test równości wartości oczekiwanych w dwóch
populacjach normalnych o znanych wariancjach
I
I
I
I
I
Badamy dwie populacje generalne: X1 ∼ N(µ1 , σ12 ),
X2 ∼ N(µ2 , σ22 ).
Parametry µ1 , µ2 są nieznane, σ12 , σ22 są znane.
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ1 = µ2 wobec H1 : µ1 6= µ2 .
Próby wylosowane z populacji
mają liczebności
n1 i n2 .
Ponieważ X̄1 − X̄2 ∼ N µ1 − µ2 ,
σ12
n1
+
σ22
n2
, więc sprawdzianem
jest statystyka
X̄1 − X̄2
Z=r
,
σ12
σ22
n1 + n2
I
która przy prawdziwości H0 ma rozkład N(0, 1).
Przy poziomie istotności α ∈ (0, 1), obszar krytyczny ma postać
K = (−∞, −zα ) ∪ (zα , ∞),
I
gdzie wartość krytyczną zα dobieramy tak, aby P(|Z | ­ zα |H0 ) = α.
H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość z ∈ K , czyli |z| ­ zα .
Test równości wartości oczekiwanych w dwóch
populacjach normalnych o nieznanych wariancjach
I
I
I
I
I
Badamy dwie populacje generalne: X1 ∼ N(µ1 , σ12 ),
X2 ∼ N(µ2 , σ22 ).
Parametry µ1 , µ2 , a także σ12 , σ22 są nieznane, jednakże σ12 = σ22 .
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : µ1 = µ2 wobec H1 : µ1 6= µ2 .
Próby wylosowane z populacji mają liczebności n1 i n2 .
Przy prawdziwości H0 ma statystyka
t=q
I
X̄1 − X̄2
n1 S12 + n2 S22
r
n1 n2
(n1 + n2 − 2),
n1 + n2
ma rozkład t-Studenta o (n1 + n2 − 2) stopniach swobody.
Przy poziomie istotności α ∈ (0, 1), obszar krytyczny ma postać
K = (−∞, −tα ) ∪ (tα , ∞),
I
gdzie wartość krytyczną tα dobieramy tak, aby P(|t| ­ tα |H0 ) = α.
H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość t ∈ K , czyli |t| ­ tα .
Przykład (Jóźwiak, Podgórski, przykład 10.4)
I
I
I
Przypuszcza się, że młodsze osoby łatwiej decydują się na zakup
nowych, nieznanych produktów.
Zapytano o wiek 20 wybranych przypadkowo nabywców nowego
produktu i 22 nabywców znanego już wyrobu pewnej firmy.
Otrzymano dane:
I
I
I
I
nowy produkt: średnia 27.7 lat, odchylenie standardowe 5.5 lat,
stary produkt: średnia 32.1 lat, odchylenie standardowe 6.3 lat.
Weryfikujemy hipotezę H0 : µ1 = µ2 wobec H1 : µ1 < µ2 , α = 0.05.
Zakładamy, że wiek kupujących jest normalny o takim samym
zróżnicowaniu.
27.7 − 32.1
t=√
20 · 5.52 + 22 · 6.32
I
I
s
20 · 22
(20 + 22 − 2) = −2.343.
20 + 22
dla 20 + 22 − 2 = 40 stopni swobody, oraz 2α = 0.1 odczytujemy
t0.1,40 = 1.684, obszar krytyczny K = (−∞, −1.684).
Ponieważ t ∈ K , więc H0 odrzucamy na korzyść hipotezy
alternatywnej: wyniki próby potwierdzają przypuszczenie.
Test dla wariancji w populacji normalnej
I
Zakładamy, że cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ),
o nieznanych parametrach.
I
Weryfikujemy hipotezę, że wariancja ma ustaloną wartość σ02 :
H0 : σ 2 = σ02 ,
wobec
H1 : σ 2 > σ02 .
nS 2
1 P
= 2 ni=1 (Xi − X̄ )2 , która przy
2
σ0
σ0
prawdziwości H0 ma rozkład χ2 o n − 1 stopniach swobody.
I
Statystyką testową jest χ2 =
I
Na poziomie istotności α ∈ (0, 1), z uwagi na postać H1 obszar
krytyczny ma postać:
K = (χ2α , ∞),
gdzie wartość krytyczną χ2α dobieramy tak, by P(χ2 ­ χ2α |H0 ) = α.
I
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej χ2 ∈ K , czyli χ2 ­ χ2α .
Test dla wariancji w populacji normalnej
I
Tygodniowe wydatki na żywność per capita mają rozkład N(µ, σ 2 ).
Dla 10 losowo wybranych rodzin otrzymano x̄ = 48 i s = 10.8.
I
Czy na poziomie istotności α = 0.05 można uważać, że odchylenie
standardowe wydatków wynosi 9?
I
Weryfikujemy H0 : σ 2 = 92 wobec H0 : σ 2 > 92 .
I
Mamy n = 10, σ02 = 92 , s 2 = 10.82 , więc
χ2 =
nS 2
10 · 10.82
=
= 14.4,
92
σ02
oraz χ20.05,9 = 16.919.
I
Ponieważ χ2 = 14.4 < 16.919 = χ20.05,9 ,
więc nie ma podstaw do odrzucenia H0 .
Test dla wariancji w populacji normalnej, n > 30
I
Zakładamy, że cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ),
o nieznanych parametrach.
I
Dysponujemy dużą próbą: n > 30.
I
Weryfikujemy hipotezę, że wariancja ma ustaloną wartość σ02 :
H0 : σ 2 = σ02 ,
I
I
H1 : σ 2 > σ02 .
wobec
nS 2
,
σ02
która przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład N(0, 1).
Statystyką testową jest Z =
p
2χ2 −
√
2n − 3, gdzie χ2 =
Na poziomie istotności α ∈ (0, 1), z uwagi na postać H1 , obszar
krytyczny ma postać:
K = (zα , ∞),
gdzie wartość krytyczną zα dobieramy tak, by P(Z ­ zα |H0 ) = α.
I
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej z ∈ K , czyli z ­ zα .
Test równości wariancji w dwóch populacjach normalnych
I
I
I
I
I
Badamy dwie populacje generalne: X1 ∼ N(µ1 , σ12 ),
X2 ∼ N(µ2 , σ22 ).
Wszystkie parametry są nieznane.
Chcemy zweryfikować hipotezę H0 : σ12 = σ22 wobec H1 : σ12 6= σ22 .
Próby wylosowane z populacji mają liczebności n1 i n2 .
Statystyką testową jest
F =
I
Ŝ12
n1 S12 /(n1 − 1)
,
=
n2 S22 /(n2 − 1)
Ŝ22
która przy prawdziwości H0 ma rozkład F -Snedecora o (n1 − 1)
oraz (n2 − 1) stopniach swobody.
Obszar krytyczny ma postać:
K = (−∞, F1−α/2 ) ∪ (Fα/2 , ∞),
gdzie
P(F ­ Fα/2 ) = α/2,
P(F ¬ F1−α/2 ) = α/2.
Test równości wariancji w dwóch populacjach
normalnych, c.d.
I
Dla H1 : σ12 6= σ22 zwykle postępujemy następująco:
I
I
I
umieszczamy w liczniku większą wariancję, niezależnie czy jest
obliczona z pierwszej czy drugiej próby, tak by obliczona z próby
wartość F > 1,
wyznaczamy liczbę Fα/2 taką, że P(F ­ Fα/2 ) = α/2,
odrzucamy H0 , jeżeli F ­ Fα/2 .
I
Jeśli H1 : σ12 > σ22 , to obszar krytyczny jest prawostronny i
wyznaczany z relacji P(F ­ Fα ) = α.
I
Jeśli H1 : σ12 < σ22 , to najlepiej przenumerować populacje uzyskując
poprzedni przypadek.
Przykład
I
I
Sprawdzimy czy założenie o takim samym zróżnicowaniu wieku
nabywców było słuszne.
Weryfikujemy hipotezę:
H0 : σ12 = σ22 ,
I
wobec
H1 : σ12 6= σ22 .
Ponieważ odchylenie standardowe wieku nabywców znanego
wyrobu jest większe, więc tą populację będziemy traktować jako
pierwszą. W tych oznaczeniach:
n1 = 22, n2 = 20, s1 = 6.3, s2 = 5.5.
I
Statystyka testowa:
F =
I
I
22 · 6.32 /21
= 1.306.
20 · 5.52 /19
Dla α = 0.05, n1 = 22, n2 = 19 odczytujemy F0.025,21,19 = 2.493.
Ponieważ F < F0.025,21,19 , więc nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy o równości wariancji.
Test dla wskaźnika struktury
I
I
I
I
Zakładamy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p.
Dysponujemy dużą próbą n > 100.
Weryfikujemy hipotezę H0 : p = p0 wobec H1 : p 6= p0 .
Statystyka testowa
m
− p0
Z = qn
p0 (1−p0 )
n
I
I
ma przy prawdziwości H0 asymptotyczny rozkład N(0, 1).
m jest liczbą wyróżnionych elementów w próbie posiadających
daną cechę.
Na poziomie istotności α ∈ (0, 1) obszar krytyczny ma postać
K = (−∞, −zα ) ∪ (zα , ∞),
I
gdzie zα dobieramy tak, aby P(|Z | ­ zα |H0 ) = α.
Hipotezę H0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki
testowej z ∈ K , czyli |z| > zα .
Test równości wskaźników struktury
I
Badamy dwie populacje X1 i X2 o rozkładach zero-jedynkowych z
parametrami p1 i p2 .
I
Dysponujemy dużymi próbami n1 , n2 > 100.
I
Weryfikujemy hipotezę H0 : p1 = p2 wobec H1 : p1 6= p2 .
I
Niech m1 i m2 oznacza liczbę wyróżnionych elementów w próbach.
m1
m2
m1 + m2
n1 n2
Liczymy: w1 =
, w2 =
, p̄ =
, n̄ =
.
n1
n2
n1 + n2
n1 + n2
Statystyka testowa
w1 − w2
Z=q
I
I
p̄(1−p̄)
n̄
ma przy prawdziwości H0 asymptotyczny rozkład N(0, 1).
I
Obszar krytyczny wyznaczamy i decyzję podejmujemy tak jak przy
teście dla pojedynczego wskaźnika struktury.
Test zgodności χ2
I
Weryfikujemy hipotezę, że badana populacja ma rozkład określony
dystrybuantą F0 :
H0 : F = F 0
I
I
I
Wyniki dużej próby porządkujemy w r klas o liczebnościach ni .
Niech pi oznaczają teoretyczne prawdopodobieństwo przyjęcia
wartości z i-tej klasy (przy założeniu H0 ), i = 1, . . . , r .
Statystyka testowa
χ2 =
r
X
(ni − npi )2
i=1
I
I
H1 : F 6= F0 .
wobec
npi
ma przy prawdziwości H0 asymptotyczny rozkład χ2 o (r − k − 1)
stopniach swobody, gdzie k jest liczbą parametrów rozkładu
oszacowanych na podstawie rozkładu empirycznego metodą
największej wiarygodności.
Wartość krytyczną χα wyznaczamy z relacji: P(χ2 ­ χ2α ) = α.
Hipotezę zerową odrzucamy, jeśli χ2 ­ χ2α .
Przykład
I
I
Rejestrując liczbę zgłoszeń w 300 losowo wybranych,
pięciosekundowych odcinkach pracy pewnej centrali telefonicznej
otrzymano dane:
Liczba zgłoszeń 0
1
2
3
4
5
Liczba odcinków 40 110 80 40 20 10
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że rozkład
liczby zgłoszeń napływających do tej centrali jest rozkładem
Poissona:
λk −λ
e , k = 0, 1, 2, . . . .
P(X = k) =
k!
Przykład, c.d.
I
Estymatorem NW parametru λ jest średnia arytmetyczna:
λ̂ = 1.733.
I
Dla xi = 0, 1, 2, 3, 4, obliczamy pi z powyższego wzoru.
Dla ostatniej klasy pi liczymy jako dopełnienie do 1.
xi
0
1
2
3
4
5 i więcej
ni
40
110
80
40
20
10
pi
0.177
0.306
0.265
0.153
0.066
0.032
npi
53.0
91.9
79.6
46.0
19.9
9.5
(ni −npi )2
npi
I
Otrzymujemy χ2 = 7.57.
I
Ponieważ r = 6, k = 1, więc χ20.05,4 = 9.487729.
I
Nie ma podstaw do odrzucenia H0 .
3.19
3.57
0.00
0.78
0.00
0.02
Test niezależności χ2
I
Rozważamy dwie cechy X i Y .
I
Weryfikujemy hipotezę, że: H0 : zmienne X i Y są niezależne,
wobec H1 : zmienne X i Y nie są niezależne.
I
Przypomnienie: do oceny zależności służy wielkość
Z=
r X
s
X
(nij − n̂ij )2
i=1 j=1
n̂ij
,
ni· · n·j
.
n
Statystyka Z przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład χ2
o (r − 1)(s − 1) stopniach swobody, i nie powinna przyjmować zbyt
dużych wartości.
gdzie nij są liczebnościami z tablicy korelacyjnej, zaś n̂ij =
I
I
Obszar krytyczny wyznaczamy z relacji: P(Z ­ χ2α ) = α, a hipotezę
zerową odrzucamy, jeśli Z ­ χ2α .
I
Uwaga: stosujemy, gdy n̂ij ­ 5 dla wszystkich i, j.
Przykład
I
Dane dotyczące jakości wyrobu A produkowanego w ciągu I i II
zmiany są następujące:
Zmiana
Jakość I
II
Dobra 52 18
Zła
8 22
Zweryfikuj hipotezę, że jakość wyrobu nie zależy od zmiany, na
której jest produkowany. Przyjmij poziom istotności α = 0.05.
I
Mamy
n̂ij
Dobra
Zła
n·j
I
42
18
60
II
28
12
40
ni·
70
30
100
(nij −n̂ij )2
n̂ij
Dobra
Zła
I
100/42
100/18
II
100/28
100/12
skąd Z = 19.84, (r − 1)(s − 1) = 1, χ20.05,1 = 3.84.
I
Hipotezę o niezależności odrzucamy. (p = 8.414615 · 10−6 )