Błędy weryfikacyjne, moc testów, testy jednostajnie najmocniejsze

IV rok matematyki, specjalność zastosowania
Statystyka II (1)
Błędy weryfikacyjne, moc testów, testy jednostajnie
najmocniejsze
Zadanie 1. W urnie znajduje się 7 kul, w tym k białych i pozostałe czarne. W celu
zweryfikowania hipotezy H0 : k = 3 wobec H1 : k = 5 losuje się bez zwracania dwie
kule i odrzuca H0 , jeśli obydwie są białe. Oblicz prawdopodobieństwa błędów pierwszego
i drugiego rodzaju.
Zadanie 2. Weryfikację hipotezy o wadliwości p pewnej partii towaru przeprowadza się na podstawie wyników pięcioelementowej próby prostej za pomocą następującego
testu: Jeśli w próbie zaobserwujemy więcej niż jedną sztukę wadliwą, to hipotezę odrzucamy, w przeciwnym wypadku, przyjmujemy. Znaleźć poziom istotności testu oraz
prawdopodobień-stwo błędu drugiego rodzaju, jeśli weryfikowaną hipotezą jest H0 : p =
0, 2, alternatywną zaś hipoteza H1 : p = 0, 3.
Zadanie 3. Niech (x1 , x2 , . . . , xn ) będą wynikami n-elementowej próby prostej z populacji, w której cecha X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, θ). Do weryfikacji
hipotezy H0 : θ = θ0 przy alternatywie H1 : θ > θ0 zaproponowano następujący test: Jeśli
max(x1 , x2 , . . . , xn ) < c, gdzie c jest pewną stałą dodatnią, to przyjmujemy hipotezę H0 ,
w przeciwnym przypadku przyjmujemy H1 . Wyznacz:
• taką wartość c, aby poziom istotności α był równy 0,1;
• funkcję mocy testu
• liczebność próby n, przy której prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego
rodzaju będzie mniejsze od 0,09, jeśli za hipotezę alternatywną przyjmiemy H1 :
θ = 1, 2 · θ0 .
Zadanie 4. Hipotezę, że wariancja w rozkładzie normalnym wynosi 80 odrzuca się, gdy
wartość wariancji policzona na podstawie trzyelementowej próby jest mniejsza niż 4 lub
większa niż 240. Oblicz prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju.
Zadanie 5. Próba prosta pochodzi z pewnego rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości: fθ (x) = exp −(x − θ)I(θ,∞) (x). Hipotezę H0 : θ 6 1 wobec hipotezy alternatywnej
H1 : θ > 1 weryfikuje się za pomocą testu z obszarem krytycznym postaci
{(X1 , X2 , . . . , Xn ) : X1:n > C}, C ∈ R. Wyznacz stałą C tak, aby błąd pierwszego rodzaju był równy e−3 ≈ 0, 0498.
Zadanie 6. Cecha X populacji ma rozkład N (µ, 2). Do weryfikacji hipotezy H0 : µ =
−1 przy alternatywie H1 : µ = 1 zastosowano test:Jeśli średnia z próbki n-elementowej
X̄ > c, to hipotezę H0 odrzucamy na korzyść hipotezy H1 . W przeciwnym wypadku
przyjmujemy hipotezę H0 .
• wyznaczyć taką liczbę c(n), aby poziom istotności α = 0, 05;
• jak liczną należy pobrać próbę, aby przy α = 0, 05 prawdopodobieństwo błędu
drugiego rodzaju β 6 0, 05?
Statystyka II (1)
IV rok matematyki, specjalność zastosowania
Zadanie 7. Niech (X1 , X2 , . . . , X25 ) będzie próbą z rozkładu N (µ, 1). Testujemy hipotezę H0 : µ = 1 przeciwko hipotezie H1 : µ = 2 na poziomie istotności α = 0, 05. Wyznacz
najmocniejszy test na poziomie istotności α. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju. Oblicz wartość poziomu krytycznego p przyjmując, że średnia z próby wynosi
x̄ = 1, 15.
Zadanie 8. Niech (X1 , X2 , . . . , X20 ) będzie próbą losową z rozkładu normalnego N (0, σ).
Rozważmy
√ test jednostajnie najmocniejszy hipotezy H0 : σ = 1 przeciwko hipotezie
H1 : σ = 3, na poziomie istotności α = 0, 01. Wyznacz moc tego testu.
Definicja Testem jednostajnie najmocniejszym na poziomie istotności α z funkcją
mocy β(θ) nazywamy test, dla którego spełniony jest warunek
^
β(θ) > β 0 (θ)
θ∈Θ1
dla każdej funkcji β 0 (θ), która jest funkcją mocy testu na poziomie istotności α.
Lemat Neymana-Pearsona
Testujemy hipotezę H0 : θ = θ0 przeciw hipotezie H1 : θ = θ1 , za pomocą testu z obszarem
odrzucenia W, który spełnia warunki
1. (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ W , jeżeli fθ1 (x1 , x2 , . . . , xn ) > kfθ0 (x1 , x2 , . . . , xn )
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ W 0 , jeżeli fθ1 (x1 , x2 , . . . , xn ) < kfθ0 (x1 , x2 , . . . , xn )
2. α = Pθ0 ((X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ W ) .
Wówczas
• (dostateczność) każdy test, który spełnia powyższe warunki jest testem jednostajnie najmocniejszym na poziomie istotności α
• (konieczność) jeżeli istnieje test spełniający powyższe warunki z k > 0, to każdy
test jednostajnie najmocniejszy na poziomie α jest testem rozmiaru α (2) i każdy
jednostajnie najmocniejszy test na poziomie α spełnia warunek (1) z wyjątkiem być
może zbioru A spełniającego warunek
Pθ0 ((X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ A) = Pθ1 ((X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ A) = 0.