Wykład 9

Statystyki kwantowe
P. F. Góra
http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
2016
Statystyki kwantowe
Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie
H=
N
X
p
~i2
i=1 2m
.
(1)
Zamykamy czastki
˛
w bardzo dużym pudle o idealnie sztywnych ścianach
— pedy
˛ sa˛ wówczas skwantowane i czasteczki
˛
moga˛ obsadzać tylko poziomy energii
p2
εp =
2m
gdzie p jest wartościa˛ własna˛ operatora pedu
˛
p=
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 2π~
n
L
(2)
(3)
9–2
Aby obliczyć wartość energii, nalezy teraz wysumować po (obsadzonych)
wartościach własnych pedu.
˛
Jeżeli pudło jest naprawde˛ bardzo duże, sumowanie po pedach
˛
zastepu˛
jemy całkowaniem
Z
X
V
(4)
−→ 3 d3p
h
p
Stan układu możemy wyznaczyć przez podanie liczby obsadzeń np poszczególnych stanów. Całkowita energia i całkowita liczba czastek
˛
sa˛
równe
E =
N =
X
p
X
εpnp
(5a)
np
(5b)
p
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 9–3
Bozony i fermiony
Możliwe liczby obsadzeń bardzo sie˛ różnia˛ dla bozonów i fermionów:
np =

0, 1, 2, . . .
0, 1
bozony
fermiony
(6)
Dla czastek
˛
boltzmannowskich np = 0, 1, 2, . . . ale jeden układ {np}
Q
określa N !/ (np!) stanów układu N czastek:
˛
dla czastek
˛
boltzmannowp
skich przestawienie dwu czastek
˛
prowadzi do nowego stanu, podczas gdy
dla bozonów przestawienie czastek
˛
nie prowadzi do żadnych zmian, a dla
fermionów może jedynie zmienić znak funkcji falowej.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 9–4
Gdy V → ∞, poziomy energetyczne tworza˛ widmo ciagłe.
˛
Podzielmy je
na grupy poziomów — komórki — zawierajace,
˛
odpowiednio, g1, g2, . . .
poziomów. Średnia energia i-tej komórki wynosi εi, a jej liczba obsadzeń,
bed
˛ aca
˛ suma˛ liczby obsadzeń poszczególnych poziomów, wynosi ni. (Ta
dziwna konstrukcja służy do tego, abyśmy mogli wykonywać dyskretne sumowanie, formalnie przeszedłwszy do widma ciagłego.)
˛
Niech W {ni} bedzie
˛
liczba˛ stanów odpowiadajac
˛ a˛ układowi liczb obsadzeń {ni}. Wówczas
Γ(E) =
X
W {ni}
(7)
{ni }
gdzie sumujemy po wszystkich mozliwych stanach o zadanej energii i liczbie czastek.
˛
Teraz wystarczy znaleźć wszystkie możliwości rozmieszczenia ni czastek
˛
w i-tej komórce, zawierajacej
˛ gi poziomów ,.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 9–5
Doskonały gaz Bosego
Każdy poziom może być obsadzony przez dowolna˛ liczbe˛ czastek.
˛
Niech
i-ta komórka ma gi podkomórek (poziomów) i gi−1 przegród pomiedzy
˛
nimi. Trzeba znaleźć liczbe˛ permutacji ni czastek
˛
i gi−1 przegród, które
prowadza˛ do różnych rozmieszczeń.
W {ni} =
Y (ni + gi − 1)!
i
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright ni!(gi − 1)!
(8)
9–6
Doskonały gaz Fermiego
Liczba czastek
˛
w każdej z gi podkomórek wynosi 0 lub 1. Trzeba znaleźć
liczbe˛ sposobów wybrania ni spośród gi przedmiotów
W {ni} =
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright gi !
i ni !(gi − ni )!
Y
(9)
9–7
Doskonały (kwantowy) gaz Boltzmanna
Umieszczamy N czastek
˛
w komórkach, tak, aby i-ta komórka zawierała
Q
ni czastek.
˛
Można to zrobić na N !/ (ni!) sposobów. Z kolei w każdej
i
n
˛
może
komórce jest gi poziomów: jest (gi) i sposobów, na które ni czastek
obsadzić te gi poziomów. Ostatecznie zatem
Y (gi)ni
Y (gi)ni
1
W {ni} =
N!
=
N!
n
!
ni!
i
i
i
(10)
W (10) podzieliliśmy przez N ! aby zapewnić “poprawne zliczanie boltzmannowskie” (jest to pewna niekonsekwencja, ale kwantowy gaz czastek
˛
klasycznych sam w sobie jest niekonsekwencja).
˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 9–8
Entropia gazów kwantowych
Aby policzyć entropie,
˛ formalnie musimy wysumować po wszystkich możliwych konfiguracjach {ni}. Jednak dla dużych układów, entropia jest dobrze przybliżona, jeśli W {ni} zastapimy
˛
przez W {n̄i}, gdzie {n̄i} jest
P
układem odpowiadajacym
˛
maksimum W {ni} przy warunkach εini =
E,
P
i
i
ni = N .
Otrzymujemy

gi




 z −1eβεi − 1
gi
n̄i =


z −1eβεi + 1



gize−βεi
Bose
Fermi
(11)
Boltzmann
z = eβµ i β = 1/kB T formalnie graja˛ role˛ mnożników Lagrange’a.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 9–9
Prowadzi to do nastepujacych
˛
wyrażeń na entropie:
˛

X
βε
−
ln
z

i
−βεi )

−
ln(1
−
ze
g

i


z −1eβεi − 1


i

X βε − ln z
S/kB =
gi −1i βε
+ ln(1 − ze−βεi )

z e i+1


i

X


−βεi (βε − ln z)

z
g
e

i
i

i
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright Bose
Fermi
(12)
Boltzmann
9–10
Cieplna długość fali
Dla gazu Boltzmanna
N =z
X
gie−βεi −→
i
E=z
X
giεie−βεi −→
i
zV
h3
Z∞
zV
h3
0
Z∞
2
zV
4πp2e−βp /2mdp = 3
λ
4πp2
0
p2
(13a)
!
2
3
e−βp /2mdp = N kB T
2m
3
(13b)
v
u
u 2π~2
jest cieplna˛ dlugościa˛ fali, czyli długościa˛ fali de Broglie’a
λ = t
mkB T
czastki
˛
o masie m i energii kbT .
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 9–11
Rozkład Plancka
Rozpatrujemy gaz fotonów. Dla celów naszej dyskusji wystarczy wiedzieć,
że
• foton o cz˛estości ω ma energie˛ ~ω
• foton o czestości ω ma ped
˛ ~k, |k| = ωc
• istnieja˛ dwie niezależne polaryzacje fotonu ε · k = 0
• liczba fotonów nie jest ograniczona, gdyż atomy “wneki”
˛
moga˛ pochłaniać i emitowac fotony (potencjał chemiczny gazu fotonów wynosi
zero).
Po zamknieciu
˛
gazu fotonów w pudle o krawedzi
˛
L (V = L3), wektory
falowe zostana˛ skwantowane k = 2π
L n, gdzie składowe wektora n moga˛
przybierać wartości 0, ±1, ±2, . . . . Liczba dozwolonych pedów
˛
pomiedzy
˛
V 4πk 2 dk.
k a k+dk wynosi (2π)
3
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 9–12
Całkowita energia takiego stanu pola elektromagnetycznego, w którym jest
nk,ε fotonów o pedzie
˛
k i polaryzacji ε wynosi
E{nk,ε} =
X
(14)
~ωnk,ε
k,ε
gdzie ω = c|k|, nk,ε = 0, 1, 2, . . . .
Suma statystyczna dana jest wzorem
X −βE{n }
k,ε
Z=
e


∞
X
Y X
Y
1


−β~ωn
exp −β
~ωnk,ε =
e
=
=
(15)
−β~ω
1
−
e
k,ε
k,ε n=0
k,ε
{nk,ε }
X
ln Z = −2
X
ln 1 − e−β~ω = −2
k
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright X
ln 1 − e
β~c2π|n|V −1/3
(16)
n
9–13
Możemy teraz obliczyć średnia˛ liczbe˛ fotonów o pedzie
˛
k
hnki =
1 ∂
2
ln Z = β~ω
,
β ∂(~ω)
e
−1
(17)
energie˛ wewnetrzn
˛
a˛
X
∂
ln Z =
~ω hnki ,
U =−
∂β
k
(18)
oraz ciśnienie
1 ∂
1 X
p=
ln Z =
~ω hnki .
β ∂V
3V k
Łacz
˛ ac
˛ (18) i (19) otrzymujemy równanie stanu gazu fotonów:
1
pV = U .
3
(19)
(20)
Na koniec obliczmy U/V w granicy V → ∞. Otrzymujemy
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 9–14
2
U
=
V
(2π)3
Z∞
Z∞
0
0
~
~ck
2
= 2 3
dk 4πk β~ck
e
−1
π c
ω3
.
dω β~ω
e
−1
(21)
Oznaczajac
˛
U
=
V
Z∞
dω u(ω, T )
(22)
0
widzimy, że gestość
˛
energii fotonów o cz˛estości ω wynosi
~
ω3
u(ω, T ) = 2 3 β~ω
.
π c e
−1
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright (23)
9–15