Modele matematyczne układów elementarnych

Modele matematyczne układów elementarnych
1. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego schematu.
G(s ) =
Y ( s)
=?
U ( s)
Rozwiązanie:
1 

U (s ) = I (s ) R +

Cs 

1 

Y (s ) = I (s ) R −

Cs 

1
R−
Y (s )
Cs = RCs − 1
G (s ) =
=
1
U (s )
RCs + 1
R+
Cs
G (s ) =
Ts − 1
;
Ts + 1
T=RC
2. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego
schematu.
1
G (s ) =
U 2 (s )
=?
U1 (s )
U 1 (s ) = IR + LsI 

U 2 (s ) = IR − LsI 
G (s ) =
U 2 (s ) (R − Ls )I
=
U1 (s ) (R + Ls )I
L
s
R = 1 − Ts , gdzie
G (s ) =
L
1 + Ts
1+ s
R
1−
T=
L
R
3. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego schematu.
G (s ) =
G (s ) =
G (s ) =
G (s ) =
U 2 (s )
=?
U1 (s )
U 2 (s )
R2
R2 (R1 + Ls )
=
=
R1 Ls
U1 (s )
+ R2 R1 Ls + R1 R2 + R2 Ls
R1 + Ls
R1 + Ls
R1
Ls + R1 + Ls
R2
T1 s + 1
,
(T1 + T2 )s + 1
=
L
s +1
R1
 1
1 
 + 1
Ls 
+
 R 2 R1 
gdzie T1 =
L
L
; T2 =
R1
R2
2
4. Wyznaczyć transmitancję operatorową nieobciążonego czwórnika wg poniższego
schematu.
G (s ) =
U 2 (s )
=?
U1 (s )
G (s ) =
U 2 (s )
=
U 1 (s )
R2
R1
Cs
1
R1 +
Cs
G (s ) =
G (s ) =
=
+ R2
R2
R1
+ R2
R1Cs + 1
=
R2 (R1Cs + 1)
R1 + R2 (R1Cs + 1)
R1Cs + 1
R1Cs + 1
=
R
R + R2
R1Cs + 1 + 1 R1Cs + 1
R2
R2
K (Ts + 1)
,
KTs + 1
gdzie T = R1C ;
K=
R2
R1 + R2
5. Dany jest nieobciążony nieliniowy czwórnik RC, w którym opór zależy od prądu wg wzoru
podanego na poniższym schemacie.
a) Napisać równanie wiążące U2(t) z U1(t)
b) Zlinearyzować to równanie wokół punktu i=i0=0
c) Wyznaczyć transmitancję od modelu
zlinearyzowanego od U1(t) do U2(t)
d) Przeskalować równanie zlinearyzowane
do współczynników równych 1
3
Rozwiązanie
a) U 1 (t ) = i (t ) R (i ) + U 2 (t )
(1)
(
)
U 1 (t ) = i (t ) ⋅ R0 1 + i 2 (t ) + U 2 (t )


dU 2 (t )
i (t ) = C

dt

(2)
(3)
dU 2 (t )
 dU 2 (t ) 
U 2 (t ) + R0C
+ R0C 3 
 = U 1 (t )
dt
 dt 
3
2
b) R (i ) = R0 + R0 i
R(i0 + ∆i ) = R(i0 ) +
dR
∆i + RN ≈ R0 + R0 i02 + 2 R0 i0
di i0
= R0
i0 =0
Podstawiając zlinearyzowaną rezystancję do (1) otrzymuje się
U 2 (t ) + R0 i (t ) = U 1 (t )
Teraz podstawiając za prąd wg (3) otrzymuje się równanie zlinearyzowane
U 2 (t ) + R0C
c)
dU 2 (t )
= U1 (t )
dt
Stosując transformację Laplace’a dla zerowych warunków początkowych otrzymuje się
U 2 (s ) + R0CsU 2 (s ) = U1 (s )
G (s ) =
U2
1
1
, gdzie T0 = R0 C
=
=
U1 1 + R0Cs 1 + T0 s
d) Wprowadźmy zmienne bezwymiarowe
U2
,
τ = ω0t ,
U 02
dU 2
dy
skąd dla pochodnej mamy
= ω 0U 02 2 .
dt
dτ
Równanie (4) przyjmuje postać
i
Dla prądu i (t )zmienna bezwymiarowa j = ,
dy 2
i
b
U 01 y1 (τ ) = R0 Cω 0U 02
+ U 02 y 2
dτ
dy 2
gdzie
i
otrzymamy
z
zależności
i
j
=
C
U
.
ω
0 02
b
Przyjmijmy U 01 = U 02 = 1V,
dτ
1
1V
wtedy musi być R0Cω 0 = 1,
Mamy więc ib = Cω 0U 02 = C
1V =
R0 C
R0
1
1
skąd ω 0 =
=
R0C T0
y1 =
U1
,
U 01
y2 =
4
6. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
P : f (t ) − m&y& − k ( y (t ) − x(t )) = 0

Q : k ( y − x ) − Bx& = 0

F(t) -WE
m
F (s ) = ms 2Y (s ) + kY (s ) − kX (s )


kY (s ) − kX (s ) = sBX (s )
P
Y(t) -WY
K
X (s )(Bs + k ) = kY (s )
X =
Q
X(t)
k
Y=
Bs + k
1
Y
B
1+ s
k
 2
k2 
 = F
Y  ms + k −
Bs
+
k


B
G (s ) =
T1 =
B
;
k
Y (s )
Bs + k
=
F (s ) mBs 3 + mks 2 + kBs + k 2 − k 2
T2 =
m
;
B
k1 =
1
B
B
s +1
k
B
s +1
T1s + 1
1
k
G (s ) =
=
= k1
B m 2 m
 mB 2


T1T2 s 2 + T2 s + 1
s + ms + B  s

 s + s + 1s
B
 k

k

5
7. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
G (s ) =
Y (s )
=?
F (s )
P : F (s ) − ms 2 X (s ) − K ( X − Y ) = 0

Q : K ( X − Y ) − BsY = 0

KX = BsY + KY
X =
Bs + K
B

Y =  s + 1Y
K
K

B

B

ms 2  s + 1Y + K  s + 1Y − KY = F (s )
K

K

 Bms 3


+ ms 2 + Bs Y = F (s )
 K

1
Y (s )
1
B
G (s ) =
=
=
m
F (s )  Bm 2

m

s + ms + B  s  s 2 + s + 1 s

B
 K

K

6
8. Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego wg poniższego schematu.
F(t)=U(t)
y(t)
B1
k
G (s) =
Y (s
F ( s)
x(t)
B2
Rozwiązanie:
F (s ) = B1 s (Y − X ) + k1 (Y − X )
− B2 sX = B1 s ( X − Y ) + k ( X − Y )
F = (B1 s + k )Y − (B1 s + k )X
(B1s + k + B2 s )X
X =
= Y (B1 s + k )
}
}
Y (B1 s + k )
T s +1
=Y 1
,
(B1 + B2 )s + k
T2 s + 1
F = (B1 s + k )Y − (B1 s + k )
gdzie
T1 =
B1
,
k
T2 =
B1 + B2
k
T1 s + 1
Y
T2 s + 1
 T s + 1
T2 s + 1 − T1 s − 1 1 s (T1 s + 1)
1 F
= = (B1 s + k )1 − 1
=
 = k (T1 s + 1)
(
)
G Y
T
s
+
1
T
s
+
1
k1 T2 s + 1

2

2
G = k1
T2 s + 1
s (T1 s + 1)
gdzie
1
 B + B2 − B1 
= k (T2 − T1 ) = k  1
 = B2
k
k1


k1 =
1
B2
7
9. Przeskalować zlinearyzowane równanie wahadła matematycznego, przyjmując za jednostkę czasu okres drgań.
Dane: zlinearyzowane równanie wahadła
d 2θ (t ) g
+ θ (t ) = 0
przy warunkach początkowych
dt 2
l
θ (0) = 0 ; θ&(0) = θ&0
Rozwiązanie równania metodą operatorową:
g
s 2θ − sθ 0 − θ&0 + θ (s ) = 0
l
g

θ  s 2 −  = sθ 0 + θ&0
l

g
sθ 0
g
l
θ (s ) =
+ θ&0
2
2
l
 g
 g
2



+
s 2 + 
s

 l 
 l 


θ (t ) = θ 0 cos
g
l
g
t + θ&0
sin
t
l
g
l
,
2π
g
1 2π
l
i okres drgań T = =
= 2π
.
=
T
l
f
ω
g
Przyjmując za jednostkę czasu okres drgań, zastępujemy czas t bezwymiarowym cza1
sem τ = t .
T
d 2θ
1 d 2θ
g d 2θ
Teraz
=
=
i równanie przyjmuje postać
dt 2 T 2 dτ 2 4π 2 l dτ 2
skąd pulsacja drgań ω = 2πf =
d 2θ
g
4π l dτ
2
2
+
g
g
θ = 0:
l
l
1 d 2θ
+θ = 0
4π 2 dτ 2
Rozwiązanie tego równania metodą operatorową
1 2
s θ − sθ 0 − θ&0 + θ = 0
4π 2
 1

θ  2 s 2 + 1 = sθ 0 + θ&0
 4π

2
4π sθ 0
4π 2θ&0
+
θ (s ) = 2
s + 4π 2 s 2 + 4π 2
θ (τ ) = 4π 2θ 0 cos 2πτ + 2πθ&0 sin 2πτ
Zastosowanie bezwymiarowego czasu τ dało wynik uogólniony, ważny dla dowolnej
długości wahadła przy dowolnym przyspieszeniu grawitacyjnym.
8