Bez tytułu slajdu

MATEMATYKA DYSKRETNA,
PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
dr inż. Barbara GŁUT
Program wykładów:
Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy
semantyki.
Podstawy teorii mnogości – rachunek zbiorów, relacje, funkcje.
Aspekty kombinatoryki: obiekty kombinatoryczne – pojęcie obiektu,
reprezentacje, metody przeliczania obiektów kombinatorycznych. Równania
rekurencyjne. Zagadnienia istnienia obiektów o zadanych własnościach.
Algorytmy kombinatoryczne.
Grafy: reprezentacje i własności grafów, grafy eulerowskie i hamiltonowskie,
drzewa, grafy planarne, kolorowanie grafów, digrafy, skojarzenia.
szersze znaczenie:
LOGIKA - nauka podająca prawa i reguły poprawnego
myślenia oraz poprawnego wypowiadania myśli.
Trzy główne działy:
logika formalna, semiotyka, metodologia nauk
semiotyka: nauka o języku jako środku formułowania i przekazywania myśli
metodologia nauk: nauka o ogólnych metodach naukowych
LOGIKA FORMALNA (symboliczna, matematyczna)
problematyka rachunku logicznego i języka tych rachunków oraz
zagadnienia struktury i własności systemów dedukcyjnych.
Logika klasyczna (dwuwartościowa): system logiczny, w którym zdaniom
przypisuje się jedną z dwu wartości logicznych - prawdę (1) lub fałsz (0).
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
1
Wszystkie czysto formalne aspekty myślenia mają swoje
odpowiedniki w języku.
Rozważa się więc sformalizowaną część języka naturalnego.
Dla języka ustala się alfabet (symbole).
Z symboli alfabetu tworzy się wyrażenia.
Interesujące są jedynie wyrażenia poprawnie zbudowane (zbudowane
zgodnie z wymogami składni, sensowne).
Wyrażenia dzieli się na kategorie składniowe (syntaktyczne).
(syntaktyczne).
Dwa wyrażenia należą do tej samej kategorii składniowej wtedy i tylko
wtedy, gdy po zastąpieniu jednego przez drugie z wyrażeń sensownych
otrzymujemy wyrażenie sensowne. (uwaga na wyrażenia
wieloznaczne!)
Na przykład:
„Kraków” , „Warszawa” należą do tej samej kategorii składniowej, bo po
zastąpieniu jednego przez drugi w zdaniu „Kraków jest miastem”
otrzymamy - „Warszawa jest miastem”, tj. wyrażenie sensowne.
„Kraków” , „jest” nie należą do tej samej kategorii składniowej, bo
„Jest jest miastem” nie jest wyrażeniem sensownym.
Podobnie:
symbole arytmetyczne 2 i 5 należą do tej samej kategorii, a 2 i = nie
2+4=6⇒
• 5+4=6
- zdanie poprawne, choć fałszywe
• =+4=6
- bez sensu
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
2
Podstawowe kategorie składniowe:
składniowe
WYRAŻENIA NAZWOWE
WYRAŻENIA ZDANIOWE
OPERATORY
FUNKTORY
A) Do kategorii WYRAŻEŃ NAZWOWYCH zalicza się wyrażenia,
które mogą być podmiotem lub orzecznikiem zdań typu M jest N.
Mogą więc należeć do tej kategorii rzeczowniki, przymiotniki, zaimki i
inne odpowiednio zbudowane wyrażenia złożone.
B) Do kategorii WYRAŻEŃ ZDANIOWYCH zalicza się:
zdania,
zmienne zdaniowe,
funkcje zdaniowe.
ZDANIE
W języku naturalnym (np. polskim) przez zdanie rozumie się
poprawnie zbudowane wyrażenie zawierające podmiot,
orzeczenie itp.
Rodzaje zdań:
- oznajmujące
- pytające
- rozkazujące.
Z logicznego punktu widzenia interesujące jedynie zdania
oznajmujące i to tylko te, którym możemy nadać wartość
logiczną (!), czyli w logice klasycznej - wartość prawdy
lub fałszu. (zasada dwuwartościowości)
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
3
Np.:
zdanie w powyższym sensie:
w przeciwieństwie do:
Kraków leży nad Wisłą.
Miasto leży nad rzeką.
bo: drugie, choć poprawne w sensie gramatycznym, ale nie możemy
stwierdzić prawdziwości (nadać wartości logicznej).
Ta nieformalna definicja odnosi się również do języków sztucznych.
W matematyce (w języku matematyki):
2+5=7
2+3=7
zdania
x+5=7
nie,
nie
ale tak, po podstawieniu w miejsce x symbolu konkretnej liczby
ZMIENNA ZDANIOWA
jest to zmienna, za którą można podstawiać dowolne zdanie.
FUNKCJA ZDANIOWA
jest to wyrażenie zawierające zmienne, z którego
otrzymujemy zdania po podstawieniu za zmienne
odpowiednich stałych.
np.:
Żadne S nie jest P
a+b=b+a
x+4=7
Funkcje zdaniowe nazywa się także:
formami zdaniowymi lub warunkami.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
4
OPERATORY
W językach, w których wprowadza się zmienne i funkcje zdaniowe mogą
wystąpić jeszcze wyrażenia innej kategorii składniowej tj. operatory.
Operatorami są np.: kwantyfikatory, symbole abstrakcji „{x: }”, znaki
dodawania i mnożenia zbiorów itp..
Wspólną cechą operatorów jest to, że ich częściami są
wskaźniki. Można też powiedzieć, że operatory wiążą
zmienne.
Operatory, tak jak funktory występują łącznie z wyrażeniami określonych
kategorii składniowych i tworzą wraz z nimi wyrażenia złożone
określonej kategorii.
Np. kwantyfikator – operator zdaniotwórczy o jednym argumencie
zdaniowym,
symbol abstrakcji – operator nazwotwórczy o jednym argumencie
zdaniowym itd.
FUNKTORY
Funktory są wyrażeniami, które w połączeniu z pewnymi
innymi wyrażeniami, zwanymi ich argumentami,
tworzą złożone wyrażenia sensowne.
Funktory dzieli się na kategorie składniowe ze względu na:
• kategorię składniową wyrażenia złożonego, które dany funktor tworzy
wraz ze swymi argumentami,
• liczbę argumentów,
• kategorie składniowe kolejnych argumentów.
Funktory tworzące wraz ze swymi argumentami wyrażenia
zdaniowe nazywa się funktorami zdaniotwórczymi.
Funktory tworzące wraz ze swymi argumentami wyrażenia
nazwowe nazywa się funktorami nazwotwórczymi.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
5
Np.:
funktory zdaniotwórcze
• o jednym argumencie zdaniowym wyraz „nie” w zdaniu „Nie mam.”,
„∼” spójnik negacji w zdaniu ∼( 2 + 2 ≠ 4 )
• o dwóch argumentach zdaniowych spójnik „i” łączący dwa wyrażenia zdaniowe,
„∧” spójnik koniunkcji
• o dwóch argumentach nazwowych:
wyraz „oświeca” w zdaniu „Słońce oświeca ziemię”,
symbol „<” w zdaniu „2 < 3”
funktor nazwotwórczy
o jednym argumencie nazwowym „sin” w wyrażeniu sin(300)
Funktory ekstensjonalne
- czyli takie, które sprawiają, że wartość logiczna złożonego wyrażenia
utworzonego przy ich pomocy zależy wyłącznie od wartości logicznej
zdań składowych ( z pominięciem wszelkich innych czynników, w
szczególności ich treści).
Uzależniają w stały, sobie tylko właściwy sposób wartość logiczną
zdań złożonych od wartości zdań składowych.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
6
Negacja:
funktor zdaniotwórczy jednoargumentowy,
używane symbole:
~p
-p
Np
⎤ p ...
Wyrażenie zbudowane ze znaku negacji i następującego po
nim wyrażenia zdaniowego nazywamy negacją lub
zaprzeczeniem.
zaprzeczeniem
Czytamy: „nie p”, „nieprawda, że p”, „nie jest tak, że p”
Pozostałe używane stałe - funktory dwuargumentowe
Koniunkcja:
używane symbole:
p∧q
p∩q
K pq
p&q
p•q
Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń
zdaniowych połączonych znakiem koniunkcji nazywa się
koniunkcją lub iloczynem logicznym. Człony koniunkcji
nazywamy czynnikami.
Czytamy „ p i q”.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
7
Alternatywa:
używane symbole:
p∨q
p∪q
A pq
p+q
Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń
zdaniowych połączonych znakiem alternatywy nazywa się
alternatywą lub sumą logiczną. Człony alternatywy
nazywamy składnikami.
Czytamy „p lub q”.
Implikacja:
używane symbole:
p⇒q
p→q
C pq
p⊃q
Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń
zdaniowych połączonych znakiem implikacji nazywa się
implikacją lub okresem warunkowym. Pierwszy człon
implikacji
nazywamy
poprzednikiem,
a
drugi
następnikiem.
Czytamy „Jeżeli p to q”.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
8
Równoważność:
używane symbole:
p⇔q
p≡q
E pq
p∼q
Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń
zdaniowych połączonych znakiem równoważności nazywa
się równoważnością. Pierwszy człon równoważności
nazywamy lewą stroną równoważności, a drugi prawą
stroną.
Czytamy „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”.
Inne funktory:
dysjunkcja (funktor Sheffera),
binegacja (funktor jednoczesnego zaprzeczenia,
funktor Łukasiewicza),
alternatywa wykluczająca
itd.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
9
Klasyczny rachunek zdań
prawa i schematy logiczne, w których oprócz stałych logicznych
występują tylko zmienne zdaniowe
Alfabet języka rachunku zdań:
zmienne zdaniowe - o określonej wartości logicznej { 0 , 1 }
oznaczone symbolami liter p, q, r, p1, p2 ...
spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze, stałe rachunku zdań)
o symbolach
∼
∨
∧
⇒
⇔
...
symbol pomocniczy - nawiasy ( )
V = { p, q, r, ..., p1, p2, ... } X = { ∼ , ∧, ∨, ⇒, ⇔ }
A=V∪X∪Z
Z={(,)}
− alfabet języka rachunku zdań
Wyrażenie:
Wyrażenie dowolny, skończony, niepusty ciąg symboli alfabetu
np.:
((p ∧ q) ⇒ r
∧ ∧pqr
(p ∨ r) ∧ ∼ (∼p)
(p ∨ r) ⇒ p ∧
Wyrażenie poprawnie zbudowane
(sensowne - syntaktycznie)
gdy spełniony jeden z warunków:
1o
2o
jest jedną z liter,
jeśli wyrażenia α oraz β są poprawnie zbudowane, to wyrażenie
∼α
α∧β
α∨β
α⇒β
α⇔β
(α)
są również poprawnie zbudowane.
F - zbiór formuł rachunku zdań
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
10
Matrycowe ujęcie logiki zdań
polega na podaniu liczbowych (0,1) charakterystyk
dla poszczególnych związków prawdziwościowych zachodzących
między zdaniami oraz na zastosowaniu tych charakterystyk
do rozstrzygania formuł logiki zdań.
metoda zero-jedynkowa:
„1” dla oznaczania prawdziwości zdania
„0” dla oznaczania fałszywości zdania
Matryca negacji:
negacji
p
∼p
1
0
0
1
Matryca koniunkcji:
p∧q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki są
prawdziwe.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
11
Matryca alternatywy:
p∨q
p
q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Alternatywa jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej składniki są
fałszywe.
Matryca implikacji:
p⇒q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest
prawdziwy, a następnik fałszywy.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
12
Matryca równoważności:
p⇔q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy obie jej strony
mają taką samą wartość logiczną.
Matryca dysjunkcji :
p
q
p|q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Dysjunkcję nazywa się też funktorem Sheffera.
Czytamy: „nie zarazem p i q”.
Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie ∼(p∧q).
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
13
Matryca binegacji:
binegacji:
p
q
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
p↓q
Binegację nazywa się też funktorem jednoczesnego zaprzeczenia lub
funktorem Łukasiewicza.
Czytamy: „ani p ani q”.
Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie ∼(p∨q).
Matryca alternatywy wykluczającej:
p
q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
p⊕q
Czytamy: „albo p albo q”.
Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie ∼(p⇔q).
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
14
→ wartościowanie zmiennych:
dowolna funkcja określona na V o wartościach w zbiorze Y = {0,1}
ω : V→ { 0, 1 }
ω(p) = 1 dla oznaczenia prawdy, ω(p) = 0 dla oznaczenia fałszu
→ wartościowanie formuł :
funkcja ω* : F → { 0, 1 } taka, że:
(i)
jeśli α jest zmienną zdaniową (α∈V), to ω*(α) = ω(α) ,
(ii) jeśli α ∈ F jest postaci
∼α1 lub α1⇒ α2 lub α1∧ α2 lub α1∨ α2,
gdzie α1 oraz α2 są formułami,
a ω*(α1) i ω*(α2) są już zdefiniowane, to odpowiednio:
ω*(α) = ω*(∼α1)
= 1 – ω*(α1)
*
*
ω (α) = ω (α1⇒ α2) = min(1, 1 + ω*(α2) – ω*(α1) )
ω*(α) = ω*(α1∧ α2 ) = min(ω*(α1), ω*(α2) )
ω*(α) = ω*(α1∨ α2) = max(ω*(α1), ω*(α2) ).
Obliczanie wartości ω*(α) oznacza wyznaczanie wartości logicznej
formuły: { p1, p2, ..., pn } → { 0 , 1 }
Istnieje dokładnie 2n wartościowań formuły zawierającej zmienne
zdaniowe { p1, p2, ..., pn }.
Istnieje dokładnie
22
n
n−argumentowych funktorów.
Czyli istnieją cztery funktory jednoargumentowe i szesnaście funktorów
dwuargumentowych.
A0
A1
A2
A3
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
B0
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
B12
B13
B14
B15
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Pytanie: czy można zapisać wszystkie funktory używając
jedynie zbioru
X = { ∼ , ∧, ∨, ⇒, ⇔ }
?
Tak - np. dysjunkcja B14 równoważna ∼(p∧q)
binegacja B8
równoważna ∼(p∨q)
alternatywa wykluczająca B6 równoważna ∼(p⇔q)
...
Pytanie: czy można zmniejszyć zbiór
X = { ∼ , ∧, ∨, ⇒, ⇔ }
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
?
16
• Czy można wyeliminować symbol ⇔ ?
(p⇔q)
=
(p⇒q)∧(q⇒p)
• Czy można wyeliminować symbol ⇒ ?
(p⇒q)
=
( ∼p ∨ q )
• Czy można wyeliminować symbol ∨ lub ∧ ?
(p∨q)
=
∼ ( ∼p ∧ ∼q )
(p∧q)
=
∼ ( ∼p ∨ ∼q )
(p∨q)
=
( ∼p ⇒ q )
(p∧q)
=
∼ ( p ⇒ ∼q )
• Czyli można przyjąć za zbiór X :
X = { ∼ , ∨ , ∧ } lub X = { ∼ , ∨ } lub X = { ∼ , ∧ } lub X = { ∼ , ⇒ }
A może wystarczy jeden funktor ?
Odpowiedź „tak” w dwóch przypadkach funktor dysjunkcji |
funktor binegacji ↓
∼p ≡ p | p
p ∧ q ≡ (p | q) | (p | q)
∼p ≡ p ↓ p
p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
17