Bez tytułu slajdu

Tautologia
(wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Definicja 1:
Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna
jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach
zmiennych zdaniowych występujących w tym wyrażeniu.
Definicja 2:
Tautologią nazywamy formułę α taką, że ω*(α) = 1 dla
dowolnego wartościowania ω.
Definicja 3:
Kontrtautologią nazywamy formułę α taką, że ω*(α) = 0 dla
dowolnego wartościowania ω.
Tautologie
4 Prawo wyłączonego środka:
p ∨ ∼p
p
0
1
∼p
1
0
p ∨ ∼p
1
1
4 Prawo niesprzeczności:
∼ ( p ∧ ∼p )
4 Prawo tożsamości:
p⇒p
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
1
Tautologie
4 Prawo kontrapozycji:
( p ⇒ q ) ⇔ (∼q ⇒ ∼p )
4 Prawo negowania alternatywy:
∼ ( p ∨ q ) ⇔ (∼p ∧ ∼q)
4 Prawo negowania koniunkcji:
∼ ( p ∧ q ) ⇔ (∼p ∨ ∼q)
Prawa negowania alternatywy i koniunkcji - prawa de Morgana
Tautologie
4 Prawo negowania implikacji:
∼ ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∧ ∼q)
∼ ( p ⇒ q ) ⇔ ∼ ( ∼p ∨ q ) ⇔ ( p ∧ ∼q)
4 Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:
((p∧q)∨r) ⇔ ((p∨r)∧(q∨r))
4 Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:
((p∨q)∧r) ⇔ ((p∧r)∨(q∧r))
...
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
2
Definicja:
Formuła α ma postać normalną koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy, gdy
α jest koniunkcją pewnej liczby alternatyw α1, ..., αn, przy czym
członami tych alternatyw są zmienne zdaniowe lub negacje zmiennych
zdaniowych:
α = (p1 ∨ p2 ∨ ... ∨ ∼p1 ∨ ∼p2) ∧ (p3 ∨ ∼p4 ∨ ...) ∧ ... ∧ (p1 ∨ ∼p4 ∨ ...)
Twierdzenie:
Jeśli α ma postać normalną koniunkcyjną i α jest koniunkcją alternatyw
α1, ..., αn, to α jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej
alternatywie α1, ..., αn występuje jakaś zmienna raz bez negacji, a
drugi raz z negacją:
α = (p1 ∨ p2 ∨ ∼p1 ∨ ...) ∧ (p3 ∨ ∼p4 ∨ p4 ...) ∧ ... ∧ (p5 ∨ ∼p4 ∨ ∼p5...)
Jak doprowadzić formułę do koniunkcyjnej postaci normalnej?
n ( p⇔q )
n ( p⇒q )
⇔
⇔
( ( p⇒q ) ∧ ( q⇒p) )
( ∼p ∨ q )
pozwalają usunąć symbole ⇔ i ⇒ z formuły
o ∼(p∧q) ⇔
( ∼p ∨ ∼q )
o ∼(p∨q) ⇔
( ∼p ∧ ∼q )
pozwalają usunąć znaki negacji sprzed alternatyw i koniunkcji
p ∼ ∼p
⇔
p
pozwala zlikwidować podwójne negacje
q p∨(q∧r) ⇔
(p∨q)∧(p∨r)
pozwala na to, aby członami alternatywy
były zawsze pojedyncze zmienne lub ich negacje
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
3
Przykład:
(p⇒q)⇒(q∧r)
(∼p ∨ q ) ⇒ ( q ∧ r )
∼(∼p ∨ q ) ∨ ( q ∧ r )
( p ∧ ∼q ) ∨ ( q ∧ r )
( ( p ∧ ∼q ) ∨ q ) ∧ ( ( p ∧ ∼q ) ∨ r )
( ( p ∨ q ) ∧ ( ∼q ∨ q) ) ∧ ( ( p ∨ r) ∧ (∼q ∨ r ) )
( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r) ∧ (∼q ∨ r )
Definicja:
Formuła α ma postać normalną alternatywną wtedy i tylko wtedy, gdy
α jest alternatywą pewnej liczby koniunkcji α1, ..., αn, przy czym
członami tych koniunkcji są zmienne zdaniowe lub negacje zmiennych
zdaniowych:
α = (p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ ∼p1 ∧ ∼p2) ∨ (p3 ∧ ∼p4 ∧ ...) ∨ ... ∨ (p1 ∧ ∼p4 ∧ ...)
Twierdzenie:
Jeśli α ma postać normalną alternatywną i α jest alternatywą koniunkcji
α1, ..., αn, to α jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej
koniunkcji α1, ..., αn występuje jakaś zmienna raz bez negacji, a drugi
raz z negacją:
α = (p1 ∧ p2 ∧ ∼p1 ∧ ...) ∨ (p3 ∧ ∼p4 ∧ p4 ...) ∨ ... ∨ (p5 ∧ ∼p4 ∧ ∼p5...)
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
4
Twierdzenie:
Dla dowolnej formuły α istnieją formuły α' oraz α" równoważne α
będące w postaciach normalnych odpowiednio koniunkcyjnej i
alternatywnej.
Postać normalną koniunkcyjną nazywa się także postacią normalną
koniunkcyjno-alternatywną,
a postać alternatywną – odpowiednio postacią alternatywno-koniunkcyjną.
Inny zapis:
Definicje:
literał – formuła atomowa (zmienna zdaniowa) lub jego negacja
literały komplementarne – literały α oraz ∼α
klauzula – alternatywa literałów
postać koniunkcyjna − gdy:
α = α1∧ α2 ∧ ... ∧ αn, gdzie α1, α2 , ... , αn są klauzulami
postać alternatywna − gdy:
α = α1∨ α2 ∨ ... ∨ αn, gdzie α1, α2 , ... , αn są koniunkcjami literałów
Twierdzenie:
Formuła α w postaci normalnej koniunkcyjnej jest tautologią wtedy i
tylko wtedy, gdy każda z jej klauzul zawiera parę literałów
komplementarnych.
Twierdzenie:
Formuła α w postaci normalnej alternatywnej jest kontrtautologią wtedy i
tylko wtedy, gdy każdy jej składnik zawiera parę literałów
komplementarnych.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
5
Wnioskowanie - proces, w którym na podstawie pewnych
uznanych zdań (zwanych przesłankami)
przesłankami dochodzimy do
uznania innego zdania (zwanego wnioskiem).
wnioskiem
Dziś jest sobota.
-------------------Jutro będzie niedziela.
Jeżeli Newton był w Warszawie, to Newton był w Polsce.
Newton nie był w Polsce.
------------------------------------------------------------------Newton nie był w Warszawie.
Wnioskowanie dedukcyjne:
o przyjęciu wniosku nie decydujemy na podstawie jego treści czy też
treści przesłanek, a na podstawie ich postaci.
Jeżeli w jakimś wnioskowaniu zastąpimy spójniki zdaniowe ich
symbolicznymi odpowiednikami, a argumenty zastąpimy zmiennymi
zdaniowymi, to otrzymamy tzw. formalny schemat wnioskowania.
p⇒q
∼q
------∼p
Interesujące nas schematy wnioskowań - schematy niezawodne.
p
-q
Dany schemat wnioskowania jest niezawodny wtedy i tylko wtedy, gdy
nie istnieje żadne takie wnioskowanie, które przebiega wedle tego
schematu, które ma wszystkie przesłanki prawdziwe, ale które
równocześnie ma wniosek fałszywy.
Prawdziwość wszystkich przesłanek wnioskowania
oraz niezawodność jego schematu
stanowią gwarancję prawdziwości wniosku.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
6
Reguły wnioskowania
Definicja:
Definicja Regułą wnioskowania nazywamy sposób przekształcania ciągu
formuł α1, α2, ... , αn zwanych przesłankami w formułę α zwaną
wnioskiem i mający tę własność, że jeśli przesłanki uznajemy za
prawdziwe, to wniosek też wolno uznać za prawdziwy.
Zapisujemy schematycznie:
α1, α2, ... , αn
------------------α
Jeśli wszystkie przesłanki reguły są tautologiami, to i wniosek α jest
tautologią.
¾Reguła odrywania (modus ponens):
α, α ⇒ β
------------β
Jeżeli uznajemy formułę α oraz implikację α ⇒ β za prawdziwe, to
możemy uznać formułę β za prawdziwą.
Regule odpowiada prawo logiczne: ( ( p ⇒ q ) ∧ p ) ⇒ q
¾ Reguła podstawiania:
α
-----α[k/β]
Jeżeli uznajemy formułę α zawierającą zmienną pk , to uznajemy też
dowolną formułę powstałą z α przez podstawienie za pk dowolnej
formuły β.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
7
¾ Reguła dołączania koniunkcji (DK):
z dwóch oddzielnych formuł wynika ich koniunkcja
α1 , α2
---------α1 ∧ α2
Przykład:
Wyspiański był poetą , Wyspiański był malarzem
------------------------------------------------------------------Wyspiański był poetą i był malarzem
¾ Reguła opuszczania koniunkcji:
z koniunkcji wynika każdy z jej czynników
α1 ∧ α2
----------α1
odpowiadające prawa logiki:
α1 ∧ α2
------------α2
(p∧q)⇒p
(p∧q)⇒q
¾ Reguła dołączania alternatywy:
z dowolnej formuły wynika alternatywa, której jednym ze składników jest
ta formuła
α
------α∨β
β
-------α∨β
Przykład:
Wyjadę na wakacje nad morze
------------------------------------------Wyjadę na wakacje nad morze lub zwiedzę polskie wybrzeże
Zwiedzę polskie wybrzeże
---------------------------------------------------Wyjadę na wakacje nad morze lub zwiedzę polskie wybrzeże
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
8
¾ Reguła opuszczania alternatywy:
z alternatywy i zaprzeczenia jej składnika wynika drugi z jej składników
α ∨ β , ∼α
------------β
α ∨ β , ∼β
------------α
Przykład:
Kontakt jest zepsuty lub spaliła się żarówka
Kontakt nie jest zepsuty
----------------------------------------------------------Spaliła się żarówka
Odpowiadające prawa logiczne:
( ( p ∨ q ) ∧ ∼p ) ⇒ q
( ( p ∨ q ) ∧ ∼q ) ⇒ p
¾ Reguła modus tollens:
z implikacji i zaprzeczenia jej następnika wynika wyrażenie sprzeczne
z jej poprzednikiem
α ⇒ β , ∼β
------------∼α
∼α ⇒ β , ∼β
---------------α
Przykład:
Jeżeli Jan jest wujkiem Pawła, to Jan jest krewnym Pawła.
Jan nie jest krewnym Pawła.
----------------------------------------------------------Jan nie jest wujkiem Pawła.
Odpowiadające prawa logiczne:
( ( p ⇒ q ) ∧ ∼q ) ⇒ ∼p
( (∼p ⇒ q ) ∧ ∼q ) ⇒ p
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
9
¾ Reguła transpozycji:
z implikacji wynika jej transpozycja, tj. implikacja przeciwstawna, której
poprzednik jest sprzeczny z następnikiem danej implikacji i której
następnik jest sprzeczny z poprzednikiem danej implikacji:
α⇒β
------------∼β ⇒ ∼α
Przykład:
Jeżeli pada deszcz, to ulica jest mokra.
----------------------------------------------------------Jeżeli ulica nie jest mokra, to nie pada deszcz.
L Uwagi
Twierdzenia matematyczne mają na ogół postać implikacji α ⇒ β
poprzednik α − założenie
następnik β − teza twierdzenia
α − warunek wystarczający na to, by β
β − warunek konieczny na to, by α
Jeżeli
to:
α⇒β
implikacja prosta
β⇒α
∼β ⇒ ∼α
∼α ⇒ ∼β
implikacja odwrotna
implikacja przeciwstawna
implikacja przeciwna
Implikacje prosta i przeciwstawna są równoważne
oraz
implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne.
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
10
Aksjomatyczny system
W naukach dedukcyjnych (np.: nauki matematyczne) stosuje się
wyłącznie dedukcyjne metody wnioskowania.
W dojrzalszych stadiach swego rozwoju nauki dedukcyjne przyjmują
postać systemów aksjomatycznych.
Aksjomatyzacja nauki polega na tym, że wybiera się pewien zbiór formuł,
które w ramach danego systemu przyjmuje się nie dowodząc ich –
aksjomaty.
Terminy występujące w aksjomatach – terminy pierwotne.
Aksjomat jest założeniem w danym systemie – nie jest aksjomatem z
konieczności, a z wyboru.
Kolejny etap: formalizacja nauki.
nauki
System sformalizowany – taki, którego reguły nie odwołują się do treści
wyrażeń, a jedynie do ich kształtu.
Aksjomatyczny system logiczny:
logiczny
4
alfabet języka
4
składnia języka
4
aksjomaty
4
reguły pierwotne dowodzenia twierdzeń
4
reguły wprowadzania definicji
Postulaty dotyczące systemów aksjomatycznych:

niesprzeczność (warunek kategoryczny)

rozstrzygalność

niezależność

zupełność (własność syntaktyczna)

pełność (własność semantyczna)
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
11
Niesprzeczność:
Niesprzeczność:
System jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy z jego aksjomatów
nie da się wywieść w oparciu o przyjęte w nim reguły dowodzenia
zarówno formuły α jak i ∼α (nie da się wywieść dwóch formuł
sprzecznych).
Uwaga: nie da się zastosować do systemów, gdzie nie występuje negacja.
Definicja niesprzeczności w sensie Posta: system jest niesprzeczny, jeżeli
istnieją formuły w języku, które nie są twierdzeniami tej teorii.
Rozstrzygalność:
System jest rozstrzygalny wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieje metoda
pozwalająca o każdej formule języka rozstrzygnąć w skończonej
liczbie kroków dowodowych pytanie, czy jest ona twierdzeniem
systemu czy nie.
Niezależność:
System jest niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden aksjomat nie da
się wywieść z pozostałych według przyjętych w systemie reguł
dowodzenia.
Zupełność (pojęcie syntaktyczne):
syntaktyczne):
System jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej formuły α
albo α, albo ∼α jest twierdzeniem (jest dowodliwa).
Mocna zupełność w sensie Posta: system jest zupełny wtedy i tylko
wtedy, jeśli każda formuła, która nie jest twierdzeniem (nie jest
dowodliwa), po dołączeniu jej do aksjomatów systemu, czyni ten
system sprzecznym.
Pełność (pojęcie semantyczne - zupełność semantyczna)
System jest pełny wtedy i tylko wtedy, gdy każda formuła prawdziwa
jest również dowodliwa (jest twierdzeniem).
Prawdziwość - własność semantyczna
oraz dowodliwość (dedukowalność) - własność syntaktyczna
„schodzą się”
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
12
Aksjomatyczne ujęcie rachunku zdań
Język:
Alfabet języka rachunku zdań A = V ∪ X ∪ Z:
zmienne zdaniowe: V = { p1, p2, ... }
stałe logiczne:
X = { ~, ⇒}
system implikacyjno-negacyjny
symbole pomocnicze: Z = { (, ) }
A* -
zbiór wszystkich napisów (wyrażeń - skończonych, niepustych ciągów
symboli alfabetu).
Składnia: wyrażenie poprawnie zbudowane - formuły
F - zbiór formuł rachunku zdań
Dwa sposoby definiowania wyrażenia poprawnie zbudowanego:
• indukcyjnie
• posługując się pojęciem najmniejszego zbioru, który zawiera pewien
zbiór i jest zamknięty ze względu na pewne operacje
Definicja:
Wyrażenie jest poprawnie zbudowane (sensowne syntaktycznie)
wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków:
1o
2o
jest jedną ze zmiennych zdaniowych,
jeśli wyrażenia α oraz β są poprawnie zbudowane, to wyrażenia
∼α oraz α ⇒ β są również poprawnie zbudowane.
Definicja:
α nazywamy formułą rachunku zdań wtedy i tylko wtedy, gdy α jest
elementem najmniejszego zbioru G ⊂ A* spełniającego warunki:
(*)
V⊂G
(**)
Jeśli α ∈ G, to napis ∼α też należy do G
(***)
Jeśli α ∈ G oraz β ∈ G, to napis α⇒β też należy do G.
F - zbiór formuł rachunku zdań
najmniejszy zbiór spełniający te warunki
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
13
Aksjomaty:
Scharakteryzowanie aksjomatów systemu:
• jeśli zbiór aksjomatów skończony: podane wszystkie aksjomaty,
• jeśli zbiór aksjomatów nieskończony: podane schematy aksjomatów, tj.
określona budowa wyrażeń pełniących rolę aksjomatów.
Musimy umieć rozstrzygnąć o każdej formule, czy jest aksjomatem, czy nie.
A1 = { α ⇒ ( β ⇒ α ) : α, β ∈ F }
A2 = { ( α ⇒ ( β ⇒ γ ) ) ⇒ ( ( α ⇒ β ) ⇒ (α ⇒ γ ) ) : α, β, γ ∈ F }
A3 = { ∼α ⇒ ( α ⇒ β ) : α, β ∈ F }
A4 = { ( α ⇒ ∼α ) ⇒ ∼α : α ∈ F }
A5 = { ( ∼α ⇒ α ) ⇒ α : α ∈ F }
A0 = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5
Reguły wnioskowania:
reguła odrywania:
α, α ⇒ β
------------β
Inny układ aksjomatów:
1.
2.
p ⇒ (q⇒p)
( p⇒ (q⇒r) ) ⇒ ( (p⇒q) ⇒ (p⇒r) )
3.
4.
5.
( p⇔q ) ⇒ ( p⇒q )
( p⇔q ) ⇒ ( q⇒p )
( p⇒q ) ⇒ ( (q⇒p) ⇒ (p⇔q) )
6.
7.
8.
9.
10.
11.
(p∨q)⇒(q∨p)
(p∧q)⇒(q∧p)
p⇒(p∨q)
(p∧q)⇒p
p ⇒ ( q ⇒ (p ∧ q) )
( (p⇒r) ∧ (q⇒r) ) ⇒ ( (p∨q) ⇒ r )
1-2: aksjomaty pozytywne implikacji
3-5: aksjomaty charakteryzujące
równoważność za pomocą implikacji
6-11: aksjomaty charakteryzujące
koniunkcję i alternatywę
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
14
12. ( p ⇒ ( q ∧ ∼q ) ) ⇒ ∼p
13. ( p ∧ ∼p) ⇒ p
12-13: aksjomaty charakteryzujące negację
14. p ∨ ∼p
14: prawo wyłączonego środka
Aksjomaty 1-11
aksjomatyka logiki pozytywnej
(nie zawiera twierdzeń dotyczących negacji)
Aksjomaty 1-13
aksjomatyka logiki intuicjonistycznej
(nie zawiera prawa wyłączonego środka)
Reguły wnioskowania: reguła odrywania i reguła podstawienia.
System implikacyjnoimplikacyjno-negacyjny Łukasiewicza
ł1. (p⇒q) ⇒ ( (q⇒r) ⇒ (p⇒r) )
ł2. ( ∼p ⇒ p ) ⇒ p
ł3. p ⇒ ( ∼p ⇒ q )
Reguła odrywania i podstawienia
WSZiB – Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
15