Bez tytułu slajdu

Symbol Newtona
liczba wyborów zbioru k-elementowego ze zbioru
n elementów
⎛ n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k! ( n − k )!
⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 1
⎝0⎠
n≥ k
⎛ n⎞ ⎛ n ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝k⎠ ⎝n− k⎠
⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 1
⎝ n⎠
⎛ n ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞
⎟⎟
⎟⎟ + ⎜⎜
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k − 1⎠
Krata
n
B1
•B
B2
k
•
A
Każda droga:
n odcinków
⇒
k „do góry”
⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝k⎠
⎛ n ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k − 1⎠
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
1
Ile rozwiązań ma równanie:
x1 + x2 + x3 + x4 = 6
gdzie xi są nieujemnymi liczbami całkowitymi?
x4 = 1
x4 = 0
x3 = 3
x3 = 1
x2 = 0
x2 = 5
x1 = 2
x1 = 0
⎛9⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 84
⎝ 3⎠
Liczba rozwiązań równania: x1 + x2 + ... + xk = n
⎛ n + k − 1⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ k −1 ⎠
Ciąg binarny
Ciąg binarny
001100010
Ciąg binarny złożony z n jedynek i m zer.
Ile ich jest?
100000101
⎛n + m⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ n ⎠
• sposób zakodowania drogi w kracie
• rozmieszczenie przedmiotów w pudełkach
• liczba rozwiązań równań w liczbach całkowitych
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
2
Rozmieszczenie przedmiotów
Mamy r jednakowych kulek i n rozróżnialnych komórek.
Ile jest wszystkich możliwych rozmieszczeń kul w komórkach?
o o | o o o | o o || o o | o
Mamy r zer (kółka) i n–1 jedynek (kreski)
Symbole mogą być ustawione w dowolnej kolejności.
Dwie kreski obok siebie - komórka pusta.
Mamy r+n–1 symboli, należy wybrać miejsca na postawienie zera lub
miejsce na postawienie jedynki.
Tych wyborów jest:
⎛ r + n − 1⎞ ⎛ r + n − 1⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
r
⎠
⎝ n−1 ⎠ ⎝
Mamy r jednakowych kulek i n rozróżnialnych komórek.
Ile jest możliwych rozmieszczeń kul w komórkach takich, że żadna
komórka nie jest pusta (r ≥ n)?
oo|ooo|oo|oo|o
Aby żadna komórka nie była pusta, nie można stawiać więcej niż jedną
kreskę między dwiema kulkami.
W ilu miejscach można postawić jedynkę (kreskę)?
Można wstawić n–1 kresek w r–1 miejscach.
Liczba wyborów:
⎛ r − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ n − 1⎠
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
3
Liczba rozwiązań równania
Ile rozwiązań ma równanie:
x1 + x2 + ... + xk = n
a) gdzie xi są nieujemnymi liczbami całkowitymi?
b) gdzie xi są dodatnimi liczbami całkowitymi?
a) Można uznać, że mamy n kul (zer) i k komórek (składników - jedynek).
xi oznacza liczbę kul w i-tej komórce. Komórki mogą być puste.
o o | o o o | o o || o o | o
2+3+2+0+2+1=10
b) Nie ma pustych komórek.
oo|ooo|oo|oo|o
⎛ n + k − 1⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ k −1 ⎠
⎛ n − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
k
−
1
⎝
⎠
Serie
Ciąg binarny złożony z n jedynek i m zer.
Serią nazywamy maksymalny podciąg kolejnych,
jednakowych elementów.
W ciągu 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 jest 6 serii.
Liczba serii zer i jedynek różnią się o 1.
Przyjmijmy, że 1≤ n ≤ m.
Wtedy liczba serii R dowolnego (n,m)-ciągu binarnego spełnia:
gdy n = m
⎧2 n
2≤ R≤⎨
⎩2n + 1 gdy n < m
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
4
Ile jest (n,m)-ciągów o zadanej liczbie serii R?
Traktujemy serie jako niepuste komórki.
W przypadku R=2k,
mamy k komórek dla n jedynek i k komórek dla m zer.
Jedynki i zera rozmieszczamy w komórkach niezależnie tak, żeby żadna
komórka nie pozostała pusta. Ponadto ciąg może zaczynać się od
jedynki lub zera, co daje dodatkowy czynnik 2.
⎛ n − 1 ⎞⎛ m − 1 ⎞
2⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟
⎝ k − 1 ⎠⎝ k − 1 ⎠
Analogicznie, gdy R=2k+1
⎛ n − 1 ⎞⎛ m − 1 ⎞ ⎛ n − 1 ⎞⎛ m − 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟
⎝ k ⎠⎝ k − 1 ⎠ ⎝ k − 1 ⎠⎝ k ⎠
Przykład:
Przed kasą wystawy ustawiła się 100-osobowa kolejka. Bilety są w cenie
5 złotych. W kasie nie ma żadnych pieniędzy. 50 osób dysponuje
monetą 5-złotową, a pozostałe tylko banknotem 10-złotowym.
Zakładamy, że kolejność osób jest przypadkowa i że wszyscy kupują
po jednym bilecie.
Ile jest takich ustawień kolejki, że żadna osoba nie będzie zmuszona
czekać na wydanie reszty?
Kolejkę można przedstawić jako (50,50)-ciąg binarny, gdzie jedynka
oznacza osobę posiadającą banknot 10-złotowy, a zero - osobę z
monetą 5-złotową.
W ciągu musi być co najmniej tyle zer, co jedynek w każdym
początkowym fragmencie.
Oznaczamy liczbę takich ciągów d(50,50).
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
5
Przykład: Spacer po ulicach.
Odcinek powyżej przekątnej
jest niebezpieczny.
Ile jest takich możliwości spaceru,
żeby nie trafić do tego obszaru?
Liczba odcinków pionowych nigdy nie powinna przekroczyć liczby
odcinków poziomych.
Odpowiedź: d(n,m).
Funkcja d(
d(n,m)
n,m)
Liczba tych (n,m)– ciągów, w których, dla każdego i=1, 2, ... , n+m, na
pierwszych i pozycjach znajduje się co najmniej tyle zer co jedynek.
Ciągi zdominowane przez zera.
Na przykład, dla n=3 i m=4
0 1 0 0 1 1 0 ciąg zdominowany
0 1 0 1 1 0 0 nie jest zdominowany.
Twierdzenie:
Jeśli n ≤ m, to liczba ciągów zdominowanych, składających się z n
jedynek i m zer, wynosi:
m +1− n ⎛n + m⎞
d ( n, m ) =
⎜
⎟
m + 1 ⎜⎝ m ⎟⎠
Liczby Catalana:
Catalana:
d ( n, n) =
1 ⎛ 2n ⎞
⎜ ⎟
n + 1 ⎜⎝ n ⎟⎠
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
6
Symbol Newtona - współczynnik dwumianowy
( a + b )0 = 1
( a + b )1 = a + b
( a + b )2 = aa + 2ab + bb
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
trójkąt Pascala
( a + b )( a + b )( a + b ) =
aaa + ( aab + aba + baa) + ( abb + bab + bba ) + bbb
14424443
tyle, ile jest możliwych wyborów
takich iloczynów, w których a występuje 2 razy
⎛ 3⎞
( a + b )3 = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ a3 +
⎝ ⎠
⎛ 3⎞
⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ ⎠
a2b +
⎛ 3⎞
3
⎜⎜ 1 ⎟⎟ ab
⎝ ⎠
+
⎛ 3⎞
⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝ ⎠
b3 .
n
⎛ n⎞
( a + b) n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ a k b n− k
k =0 ⎝ k ⎠
⎛ n⎞ ⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
(1 + x ) n = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 + K + ⎜⎜ ⎟⎟ x k + K + ⎜⎜ ⎟⎟ x n
⎝0⎠ ⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝k⎠
⎝ n⎠
⎛ n⎞
k =0
⎝ ⎠
⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝k⎠
n
0
1
2
3
4
n
∑ ⎜⎜ k ⎟⎟ = 2
x =1
2n
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
n
1
4
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
1
20
21
22
23
24
7
Współczynniki wielomianowe
Na ile sposobów można podzielić n-elementowy zbiór X na r rozłącznych
podzbiorów A1, A2, ... , Ar o mocy odpowiednio k1, k2, ... , kr ,
gdzie k1 + k2 + ... + kr = n ?
Zbiór A1 można wybrać na
Zbiór A2 można wybrać na
⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ k1 ⎠
⎛ n − k1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ k2 ⎠
sposobów
sposobów ...
⎛ n ⎞⎛ n − k1 ⎞⎛ n − k1 − k2 ⎞ ⎛ n − k1 − k2 − K − kr −1 ⎞
⎟⎟ K ⎜⎜
⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟
k3
kr
⎝ k1 ⎠⎝ k2 ⎠⎝
⎠
⎠ ⎝
=
n
⎛
⎞
n!
⎟
= ⎜⎜
k1 , k2 ,K, kr ⎟⎠
k1! k2!K kr !
⎝1442443
współczynnik wielomianowy
Wzór na współczynnik wielomianowy służy też do przeliczania permutacji z
powtórzeniami.
( a1 + a2 + K + ar ) n =
∑
k1 ,K, kr ≥ 0
k1 + k2 +Kkr = n
n
⎛
⎞ k1 k2
⎜⎜
⎟⎟ a1 a2 ⋅ K ⋅ arkr
⎝ k1 ,K, kr ⎠
Współczynniki wielomianowe stosujemy tylko wówczas, gdy r ≥ 2 oraz r
liczb stojących w dolnym rzędzie sumuje się do liczby n.
n
⎞
⎛ n⎞ ⎛
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
−
k
k
n
k
⎠
⎝ ⎠ ⎝
⎛ n ⎞ n
⎛ n ⎞ n ⎛ n ⎞ n −1
( a + b) n = ⎜⎜
⎟⎟ b =
⎟⎟ a b + K + ⎜⎜
⎟⎟ a + ⎜⎜
⎝ 0 n⎠
⎝ n − 1 1⎠
⎝ n 0⎠
⎛ n ⎞ k1 k2
⎜⎜
⎟a b
k1 k2 ⎟⎠
⎝
k1 , k2 ≥ 0
∑
k1 + k2 = n
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
8
⎛
⎜⎜
⎝ k1
⎞
⎟ =
k2 ... kr ⎟⎠
n
n−1
n−1
n−1
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + K+ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ k1 − 1 k2 K kr ⎠ ⎝ k1 k2 − 1 K kr ⎠
⎝ k1 k2 K kr − 1⎠
Rozmieszczamy n obiektów w r pudełkach, przy czym k1 obiektów ma
być w pierwszym pudełku, k2 w drugim, ... i kr w r-tym.
Jeżeli pierwszy obiekt jest umieszczony w pudełku i, to pozostałe n-1
obiekty muszą być rozmieszczone w r pudełkach - k1 w pierwszym,
k2 w drugim, ... , ki-1 w i-tym ... oraz kr w r-tym.
i może przyjąć dowolną z wartości od 1 do r.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
9