Diagonalizacja macierzy.

9. Diagonalizacja macierzy
9.1 Wartości i wektory własne macierzy
Definicja 9.1.1 (wektor własny i wartość własna macierzy)
 v1 
Niezerowy n-wektor kolumnowy v =  M  jest nazywany wektorem własnym macierzy
 
vn 
kwadratowej A stopnia n, odpowiadającym jej wartości własnej λ (która moŜe być liczbą
rzeczywistą lub zespoloną) jeśli
(9.1.1)
Av = λv
n
Innymi słowy wektor własny to dowolne niezerowe rozwiązanie v ( v ≠ 0 ∈ R (C n ) ) układu
równań Av = λv .
Uwaga 1. ZauwaŜmy, Ŝe mamy naturalną odpowiedniość między elementami przestrzeni Rn
(albo Cn ) a więc uporządkowanymi n-kami liczb a n-wektorami kolumnowymi czy teŜ nwektorami wierszowymi:
 v1 
v 
 2.
( v1 , v2 , K , v n ) ←
→ [v1 , v2 , K , v n ] ←→

M
 
v n 
Bardzo często będziemy więc traktować uporządkowane n-ki, n-wektory kolumnowe, i nwektory wierszowe jak gdyby były one tylko róŜnymi reprezentantami tego samego obiektu. W
równaniach macierzowych pojawiają się najczęściej wektory kolumnowe.
Uwaga 2. Wartości i wektory własne są zdefiniowane tylko dla macierzy kwadratowych.
Definicja 9.1.1 dopuszcza wartość własną równą zero ale kaŜdy wektor własny musi być
wektorem niezerowym v ≠ 0 . Jeśli macierz posiada wartość własną równą zero to Av = 0 v = 0 ,
czyli układ równań jednorodnych posiada nietrywialne (niezerowe) rozwiązanie, a więc detA=0,
z czego wynika, Ŝe macierz A nie jest odwracalna. Dla kaŜdej wartości własnej istnieje
nieskończenie wiele wektorów własnych, bo jeśli Av = λv to wektor αv , gdzie α ∈ R (C) , teŜ
jest wektorem własnym, bo A(αv ) = αAv = αλv = λ(αv ).
Mówimy więc równieŜ, Ŝe λ jest wartością własną odpowiedniego odwzorowania liniowego a
wektor (v1,v2,..., vn)∈ Rn ( Cn) jest wektorem własnym tego odwzorowania. Czasami wygodniej
 v1 
jest pisać wektor kolumnowy jako transpozycję wektora wierszowego v =  M  = [v1 K v n ] T .
 
vn 
1
 1 1
Przykład 1. v =   jest wektorem własnym macierzy A = 
 odpowiadającym wartości
3
− 3 5
 1 1 1  4 
1
własnej λ = 4 :
Av = 
=   = 4   = 4v .



 − 3 5 3 12
3
Rozwiązanie problemu wartości i wektorów własnych danej macierzy kwadratowej podaje
następujące twierdzenie.
Twierdzenie 9.1.1
Aby istniało niezerowe rozwiązanie układu (9.1.1) musi zachodzić
det(A−λI) = 0
(9.1.2)
gdzie I jest macierzą jednostkową.
Uwaga. WyraŜenie pA(λ)=det(A−λI) jest wielomianem n-tego stopnia względem λ (jak się
łatwo przekonać stosując np. rozwinięcie Laplace’a). Nazywamy go wielomianem
charakterystycznym macierzy A.
MoŜna dowieść, Ŝe ma on następującą postać:
pA(λ) = (–1)n (λn − cn–1⋅λn–1 + cn–2⋅λn–2 + .... + (–1)n–1c1⋅λ + (–1)nc0 ),
gdzie c0 = det(A) i cn−1 = Tr(A), liczba Tr(A) jest śladem macierzy A=[aij] i,j=1,2,...,n.
Równanie 9.1.2 nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Wartości własne są
pierwiastkami wielomianu charakterystycznego.
Procedura znajdowania wartości i wektorów własnych macierzy A jest więc następująca:
1) Znaleźć pierwiastki wielomianu charakterystycznego pA(λk) = 0.
2) Następnie dla kaŜdej wartości własnej znajdujemy wektory własne znajdując ogólne
rozwiązanie układu równań Av − λv = 0 (stosując np. metodę eliminacji Gaussa).
6 3
Przykład 2. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy A = 
.
4 7
Rozwiązanie.
RozwiąŜmy najpierw równanie charakterystyczne
3 
6 − λ
2
2
0 = det( A − λI ) = det 
 = (6 − λ )(7 − λ ) − 4 ⋅ 3 = λ − 13λ + 42 − 12 = λ − 13λ + 30 =
λ
4
7
−


= (λ − 3)(λ − 10).
Tak więc wartości własne to λ1 = 3 i λ2 = 10. Teraz dla kaŜdej wartości własnej znajdujemy
wektor własny.
3   3 3
6 − 3
a) λ1=3:
i dokonując operacji elementarnej na
A − 3I = 
=
7 − 3 4 4
 4
wierszach macierzy rozszerzonej dla jednorodnego układu równań A − 3I = 0 otrzymujemy:
 3 3 0 W21 ( − 43 ),W1 ( 13 ) 1 1 0

   → 
,
 4 4 0
 0 0 0
co odpowiada układowi równań (jedno równanie)
v1 + v 2 = 0.
Rozwiązanie ogólne to: v1 = −v2 , v 2 = α , gdzie α jest dowolnym skalarem. MoŜemy je zapisać
teŜ następująco:
− α 
 − 1
v1 =   = α   .
 α
 1
3  − 4
3
6 − 10
b) λ2=10:
A − 10I = 
=
i dokonując operacji elementarnej na

7 − 10  4 − 3
 4
wierszach macierzy rozszerzonej otrzymujemy:
3 0 W21 (1),W1 ( − 14 ) 1 − 3 / 4 0
− 4

   → 
,
4
−
3
0
0
0
0




co odpowiada układowi równań (jedno równanie)
3
v1 − v 2 = 0.
4
3
Rozwiązanie ogólne v1 = v2 , v 2 = α moŜemy zapisać teŜ następująco:
4
3 
3 / 4 
α
v2 =  4  = α 
.
1 
 α

 
Twierdzenie 9.1.2. (zasadnicze twierdzenie algebry)
KaŜdy wielomian stopnia n ma w ciele liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków (przy czym
niektóre mogą być wielokrotne).
Niech λ1 , λ2 , K , λm będą róŜnymi (w ogólności zespolonymi) wartościami własnymi macierzy
A. W takim razie wielomian charakterystyczny macierzy A moŜna zapisać następująco:
pA(λ) = ( −1) n ( λ − λ1 ) k1 ( λ − λ2 ) k2 L ( λ − λm ) km ,
(9.1.3)
k1 + k 2 + K + k m = n .
(9.1.4)
gdzie oczywiście
Z kaŜdą wartością własną λi związana jest liczba ki zwana jej algebraiczną krotnością.
Definicja 9.1.2
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Dla dowolnej wartości λi własnej zbiór
wszystkich wektorów spełniających równanie Av = λi v nazywać będziemy przestrzenią własną
macierzy A odpowiadającą wartości własnej λi i oznaczać będziemy Ei. Przestrzeń Ei
otrzymujemy rozwiązując jednorodny układ równań ( A − λi I ) v = 0 .
Uwaga 1. Współczynniki tego układu równań mogą być zespolone bo λi mogą być zespolone.
Uwaga 2. Inaczej powiedzieć moŜemy, Ŝe przestrzeń własna to jądro odwzorowania liniowego
Li : C n → C n zdefiniowanego następująco: Li ( v ) = ( A − λi I ) v .
Jeszcze inaczej moŜemy
powiedzieć, Ŝe przestrzeń własna to zbiór rozwiązań układu jednorodnego ( A − λi I) v = 0 .
Uwaga 3. Jedyną róŜnicą między przestrzenią własną a zbiorem wszystkich wektorów własnych
odpowiadających danej wartości własnej jest to, Ŝe przestrzeń własna zawiera wektor zerowy.
Przykład 3. W ostatnim przykładzie:




 − 1
3 / 4 
E1 =  v : v = α  , α ∈ C  i E 2 =  v : v = α 
,α ∈ C  .

 1
 1 




Twierdzenie. 9.1.3
a) dla kaŜdego i, Ei jest podprzestrzenią liniową R n ( C n ).
b) jeśli ni=dim Ei jest wymiarem podprzestrzeni Ei, wtedy 1 ≤ ni ≤ k i dla kaŜdego i. Liczbę ni
nazywamy krotnością geometryczną danej wartości własnej λi. Mówimy wtedy, Ŝe krotność
geometryczna ni danej wartości własnej jest nie większa niŜ jej krotność algebraiczna ki.
Przykład 4. (2 wartości własne i (tylko) 2 wektory własne liniowo niezaleŜne). Macierz
−2
3
 1

A = −1
2
− 3


4
− 4
 0
ma wielomian charakterystyczny pA(λ) = –λ2(λ +1). Zatem jej wartościami własnymi są liczby
λ1 = −1 (o krotności algebraicznej k1 = 1) i λ2 = 0 (o krotności algebraicznej k2 = 2).
Dla wartości własnej λ1 = −1 znajdujemy macierz rozszerzoną
−2
3 0  2
3 0
1
0 0
0 0
1 + 1 − 2
 1
1 1

 
 w1 + w2 
 w2 + w1 

− 3 0 =  − 1
− 3 0 →  − 1
2 +1
3
3 − 3 0 → 0 4 − 3 0 →
− 1
 0
 0
0 4 − 3 0
− 4 + 1 0  0
− 3 0
4
4
4 − 3 0
0 0 1 w2 1 1
0 0
3 / 4 0
1 1
1 0
w3 − w2

4 
 w1 − w2 

→ 0 4 − 3 0 → 0 1 − 3 / 4 0 → 0 1 − 3 / 4 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
a z odpowiedniego układu równań znajdujemy wektory własne: α⋅[−3/4, 3/4, 1]T, gdzie α ≠ 0,
T
oraz przestrzeń własną E1 = {v : v = α [− 3 4 , 3 4 , 1] , α ∈ C}. Zawiera ona jeden wektor liniowo
niezaleŜny więc n1 = k1 = 1 .
Wartości własnej λ2 = 0 odpowiada macierz rozszerzona:
−2
2
4
3 0
3 0
3 0 1 w2  1 − 2
3 0
1 − 2
1 − 2
w2 ↔ w3
w1 + w2




4 

− 3 0 = →  0
0
0 0 →  0
4
− 4 0 →  0
1
− 1 0
 0
 0
− 4 0
4
− 4 0
0
0 0  0
0
0 0
1 0
1 0
w1 + 2 w2


→  0 1 − 1 0 ,
 0 0
0 0
z której znajdujemy wektor własny α⋅[−1 ,1 ,1]T, gdzie α ≠ 0. Podprzestrzeń własna ma postać
T
E 2 = {v : v = β [− 1, 1, 1] , α ∈ C} . Zawiera ona tylko jeden wektor liniowo niezaleŜny więc
n2 = 1 < k 2 = 2 . Krotność geometryczna jest mniejsza od krotności algebraicznej tej wartości
własnej.
Fakt. Istnieją macierze dla których krotność geometryczne pewnej wartości własnej jest mniejsza
od jej krotności algebraicznej.
 1

− 1
 0
Definicja 9.1.4 (podobieństwo macierzy)
Macierze A i B nazywamy podobnymi jeŜeli istnieje macierz nieosobliwa P (o której mówimy,
Ŝe jest macierzą zmiany bazy) taka, Ŝe P–1AP = B
Definicja 9.1.5
Mówimy, Ŝe macierz A jest diagonalizowalna, jeŜeli istnieje nieosobliwa macierz P i diagonalna
macierz ∆ taka, Ŝe ∆ =P−1AP. Innymi słowy macierz diagonalizowalna jest podobna do
macierzy diagonalnej typu
 λ1
0

∆= M

0
 0
0
L
λ1
O
0
0
L
L
λm
0
0
0  .
M 

0
λm 
Kiedy macierz jest diagonalizowalna? Odpowiadają na to następujące twierdzenia.
Twierdzenie. 9.1.5
Macierz A wymiaru n×n jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ona n liniowo
niezaleŜnych wektorów własnych. Ma to miejsce wtedy, gdy krotność geometryczna kaŜdej
wartości własnej jest równa jej krotności algebraicznej. Nieosobliwą macierz P taką, Ŝe
∆ =P−1AP, gdzie ∆ jest macierzą diagonalną uzyskujemy z wektorów własnych tej macierzy:
P = [v1 ,v 2 , K , v n ] .
Przykład 5. Zdiagonalizować następującą macierz:
5
A =  4
 2
4
5
2
2
2  .
2 
Wielomian charakterystyczny tej macierzy:
5−λ
4
2
2
p A (λ ) = det ( A − λI) = 4
5−λ
2 = −(λ − 1) (λ − 10) = 0.
2
2
2−λ
Wartości własne i krotności algebraiczne: λ1 = 1 , k1 = 2 i λ 2 = 10 , k2 = 1 .
Wektory własne:
1) λ1 = 1 .
Musimy rozwiązać układ równań:
 4 4 2  x1 
(A − 1 ⋅ I )x =  4 4 2  x2  = 0.
 2 2 1   x3 
Macierz rozszerzona układu:
 4 4 2 0
4 4 2 0
1 1





 4 4 2 0  → 0 0 0 0  → 0 0
2 2 1 0
0 0 0 0
0 0
0

0 0 .
0 0
1
2
Rozwiązanie: x1 = −β − 12α, x2 = β , x3 = α , gdzie
α, β ∈ R.
Wektory własne są więc postaci:
− β − 1 2 α 
− 1
− 1
 β
 = β  1 + α  0, gdzie α ≠ 0 lub β ≠ 0.


  2 
 α

 0
 2
 − 1
 − 1


Wektory v1 = 1 i v 2 =  0  są liniowo niezaleŜne i generują (rozpinają całą przestrzeń E1)
 
 
 0 
 2 
więc n1 = 2.
3)
λ 2 = 10 .
Musimy rozwiązać układ równań:
− 5
(A − 10 I )x =  4
 2
Macierz rozszerzona układu:
− 5
4

 4 −5
 2
2
− 1 − 1
2 0


2 0 →  4 − 5
 2
− 8 0
2
4
−5
2
2   x1 
2   x 2  = 0 .
− 8   x 3 
− 1 − 1
4 0


2 0 →  4 − 5
 0
− 8 0
0
1
4 0


2 0 →  0
 0
0 0
1
1
0
− 4 0

− 2 0.
0 0
Rozwiązanie układu to x1 = 2α , x2 = 2α , x3 = α . Rozwiązanie to moŜna napisać w postaci
wektorowej:
 x1  2α 
2
x = x2  = 2α  = α 2, α ∈ R.
 x3   α 
1
Wektory własne (tylko jeden liniowo niezaleŜny):
2
2


α 2, α ≠ 0, wybieramy v 3 = 2 .
1
1
Krotność geometryczna: n2 = 1.
Macierz
−1
2
− 1

P = [v1 , v 2 , v 3 ] =  1
0
2
 0
2
1
diagonalizuje macierz A. Aby to sprawdzić obliczmy najpierw macierz P−1.
− 1

 1
 0
−1
0
1
2 1 0 0


2 0 1 0 →  0
 0
1 0 0 1
2
 1

→ 0
 0
 1

→ 0
 0
0
2
0
1
1
−4
−1
−1
0
9
2
2
 1
− 2 − 1 0 0


4 1 1 0 →  0
 0
1 0 0 1
1
−1
2
 1
0


0 →  0
 0
1
0
0
− 4/9
5/9
1
0
− 1/ 9
− 1/ 9
0
1
2/9
2/9
0
2
1
−4
0
1
2 0 1 0

4 1 1 0 →
1 0 0 1
0
−1
2
0 

−1 −1
0 →
2 / 9 2 / 9 1 / 9
0
1
− 2 / 9

4 / 9 .
1 / 9 
Otrzymaliśmy więc macierz odwrotną:
P
−1
 − 4/9
=  − 1 / 9
 2 / 9
− 2 / 9
4 / 9 
1 / 9 
5/9
− 1/ 9
2/9
Sprawdzenie odwrotności macierzy:
− 1
 1

 0
−1
0
2
2  − 4 / 9
2  − 1 / 9
1   2 / 9
5/9
− 1/ 9
2/9
− 2 / 9 1 0 0
4 / 9  = 0 1 0 .
1 / 9  0 0 1
Sprawdzenie czy P diagonalizuje A:
 − 4/9
P AP =  − 1 / 9
 2 / 9
−1
 − 4/9
=  − 1 / 9
 2 / 9
5/9
− 1/ 9
2/9
5/9
− 1/ 9
2/9
− 2 / 9 5 4 2  − 1
4 / 9  4 5 2  1
1 / 9  2 2 2  0
− 2 / 9  − 1
4 / 9   1
1 / 9   0
−1
0
2
−1
0
2
2
2 =
1 
20 1 0 0  λ1
20 = 0 1 0  =  0
10  0 0 10  0
0
λ1
0
0
0 .
λ2 