tan(x)

Wybrane funkcje matematyczne programu Matlab
Funkcja
Opis
sin(x) cos(x)
tan(x) cot(x)
asin(x) acos(x)
atan(x) acot(x)
sinh(x) cosh(x)
tanh(x) coth(x)
asinh(x) acosh(x)
atanh(x) acoth(x)
Funkcje trygonometryczne których argumentem jest kąt podawany w
radianach
Funkcja cylkometryczna w wyniku podaje kąt w radianach
Funkcja hiperboliczna której argumentem jest kąt podawany w radianach
Funcke pola, odwotne hiperboliczne, w wyniku podają kąt w radianach
exp(x)
Wykładnicza, tworzy macierz z elementów e(xij)
log(x)
Logarytm naturalny o podstawie e
logy(x)
Logarytm przy podstawie y z x (np. log10(x) – logarytm dziesiętny,
log2(x) – logarytm z x przy podstawie 2
sqrt(x)
Pierwiastek kwadratowy z x
abs(x)
Wartość bezwzględna
nthroot(x,n)
Pierwiastek stopnia n z x
mod(a)
Reszta z dzielenia a
sign(x)
Znak 1 gdy x>0, 0 gdy x=0,-1 gdy x<0
factorial(n)
Silnia (iloczyn kolejnych liczb) z liczb naturalnych
cross(a,b)
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów współpłaszczyznowych a i b (np.
w płaszczyźnie xy: a = (x1,y1,0), b = (x2,y2,0). W wyniku operacji
cross(a,b) uzyskany zostanie wektor prostopadły c=(0,0,z)
Sposoby zaokrąglania liczb rzeczywistych:
Funkcja
fix(a)
Opis
Najbliższa liczba całkowita w kierunku 0
floor(a)
Zaokrąglanie w dół
ceil(a)
Zaokrąglanie w górę
round(a)
Najbliższa liczba całkowita
Funkcje operujące na wektorach
Funkcja
Opis
max(x)
Zwraca największy element wektora x
min(x)
Zwraca najmniejszy element wektora x
sum(x)
Zwraca sumę elementów wektora x
prod(x)
Zwraca iloczyn elementów wektora x
mean(x)
Zwraca średnią arytmetyczną elementów wektora x
Operacje macierzowe.
Dzielenie macierzy, to mnożenie przez macierz odwrotną:
A/B (prawostronne) = A*B-1 lub A\B (lewostronne) = A-1*B
Macierze możemy podzielić, tylko gdy występuje zgodność wymiarów macierzy, oraz gdy
macierz, która powinna zostać odwrócona, jest odwracalna.
W pierwszej kolejności należy sprawdzić wyznacznik macierzy odwracanej:
det(A) – Wyznacznik macierzy A
oraz możliwość jej odwrócenia
inv(A) – Macierz odwrotna macierzy A
Obliczenia numeryczne
Prowadząc obliczenia numeryczne z wykorzystaniem pakietu Matlab zgadzamy się na pewne
założenia a proiri:
- operując na liczbach , dopuszczamy możliwość ich niedokładnej reprezentacji
- podczas obliczeń mogą występować niedokładności
- niewielkie błędy mogą się pojawiać na każdym etapie obliczeń
- może okazać się że wynik będzie obarczony niewielką niedokładnością, która jednak nie
może zostać zaakceptowana
W obliczeniach numerycznych konieczne jest określenie wielkości charakteryzujących
macierz, takich jak wyznacznik, rząd, norma czy wartość własna macierzy
Funkcja
Opis
det(A)
Wyznacznik macierzy A
rank(A)
Rząd macierzy A
norm(A)
Norma macierzy A.
cond(A)
Liczba warunkowa macierzy A
L=eig(A)
Zwraca wektor L zawierający wartości własne macierzy kwadratowej A
[V,D]=eig(A)
Wyznacza macierz D, zawierającą na przekątnej wartości własne
macierzy A oraz macierz V wektorów własnych odpowiadających tym
wartościom
Miejsca zerowe, minima funkcji nieliniowych.
W pakiecie Matlab wbudowane są funkcje umożliwiające obliczanie miejsc zerowych oraz
minimów dowolnych nieliniowych funkcji matematycznych:
Funkcja
Opis
Zwraca miejsce zerowe x1 nieliniowej funkcji jednej zmiennej f(x).
Argument x0 określa początkowe przybliżenie wartości szukanego
x1=fzero(f,x0)
miejsca zerowego (punkt startowy). f jest łańcuchem znaków
określających funkcję Matlaba: nazwę funkcji (standardowej lub z mpliku) lub definicję funkcji inline
Zwraca wartość x1, dla której nieliniowa funkcja jednej zmiennej f(x)
osiąga minimum. Argumentami funkcji są: liczby x0 i xk, określające
x1=fminbnd(f,x0,xk)
początek i koniec przedziału poszukiwań oraz f – łańcuch znaków, jak
w przypadku fzero.
Zwraca wektor wartości X, dla których funkcja nieliniowa wielu
X=fminsearch
zmiennych osiąga minimum. Argumentami funkcji są: wektor X0,
punkt startowy oraz f – łańcuch znaków, jak w przypadku
określający
(f,X0)
fzero.
Przykład
Znaleźć miejsce zerowe funkcji: f(x)=cos(2x-π) w otoczeniu punktu 3
>> fzero(inline('cos(2*x-pi)'),3)
ans =
2.3562
Znaleźć miejsce zerowe funkcji: f(x)=cos(x) w otoczeniu punktu 3
>> fzero('cos',3)
ans =
1.5708
Wszystkie w.w. funkcje można wywołać z wykorzystaniem opcjonalnych parametrów opcje :
>>x1=fzero(f,x0,opcje)
Opcje określają parametry wywołania tych funkcji. Domyślne ustawienia tych parametrów
można zmienić za pomocą funkcji optimset:
>>Opcje=optimset(parametr,wartość,…)
Argumentami funkcji optimset są pary parametr-wartość, przy czym parametr określany jest
za pomocą łańcuchów znaków.
Parametry zmieniane za pomocą funkcji optimset:
Funkcja
Opis
‘Diagnostics’
‘Display’
‘MaxFunEvals’
Wydruk diagnostyki minimalizowanej funkcji lub rozwiązywanego
równania; dopuszczalne wartości: ‘on’ lub ‘off’ (domyślna)
Sposób wyświetlania wyników: bez wyświetlania (‘off’), wyświetlanie
wyników po każdej iteracji (‘iter’), wyświetanie tylko ostatecznego
rozwiązania (‘final’ – wartość domyślna)
Maksymalna dozwolona liczba obliczeń wartości funkcji (liczba całkowita
dodatnia)
‘MaxIter’
Maksymalna dozwolona liczba iteracji (liczba całkowita dodatnia)
‘TolX’
Dokładność wykonywania obliczeń (liczba dodatnia, np. 2.2e-016)
Przykład:
Znaleźć miejsce zerowe funkcji: f(x)=cos(x) w otoczeniu punktu 1.6
>> fzero('cos',1.6,optimset('Display','iter'))
Search for an interval around 1.6 containing a sign change:
Func-count
a
1
1.6
2
1.55475
f(a)
-0.0291995
0.0160505
b
f(b)
1.6
-0.0291995 initial interval
1.6
-0.0291995 search
Search for a zero in the interval [1.55475, 1.6]:
Func-count
x
f(x)
2
1.55475
0.0160505
3
1.5708 -1.0276e-006
Procedure
Procedure
initial
interpolation
4
1.5708 4.41237e-011
interpolation
5
1.5708 6.12323e-017
interpolation
6
1.5708 6.12323e-017
interpolation
Zero found in the interval [1.55475, 1.6]
ans =
1.5708
Wielomiany
Zakładając, że wielomian stopnia n ma ogólną postać:
W(x,a)=a1xn+a2xn-1+…+anx+an+1
gdzie: ai – to współczynniki wielomiany uszeregowane według malejącej potęgi zmiennej x,
wyznaczyć można pierwiastki wielomiany z wykorzystaniem funkcji:
Funkcja
a=poly(r)
p=polyval(a,x0)
r=roots(a)
Opis
Zwraca wektor a współczynników ai wielomianu W(x,a) o pierwiastkach
podanych w postaci wektora r=[r1,r2,…,rn]
Zwraca wartość wielomiany W(x,a) w punkcie x=x0. Współczynniki
wielomianu określa wektor a, przy czym muszą być one uszeregowane w
kolejności od najbardziej znaczącego (a1) do wyrazu wolnego (an+1). Jeśli
x0 jest wektorem (macierzą), wartości wielomianu obliczane są dla
wszystkich elementów wektora x0
Zwraca wektor r pierwiastków wielomianu W(x,a). a – wektor
współczynników wielomiany ai
Przykład:
Wyznaczyć pierwiastki wielomianu:
W(x) = x2+3x-4
>> roots([1 3 -4])
ans =
-4
1
Wartość wielomianu w punkcie x0=0
>> polyval([1 3 -4],5)
ans =
36
Układ równań liniowych (kwadratowy)
Kwadratowy układ równań liniowych, w którym liczba równań i niewiadomych jest
jednakowa, można zapisać w sposób ogólny w postaci:
+
+ ⋯+
=
+
+ ⋯+
=
……………………………………
+
+⋯+
=
Układ taki można rozwiązać na dwa sposoby.
I Metoda macierzowa – z wykorzystaniem macierzy odwrotnej macierzy
wyznaczników
A*X=B
X=A-1*B
W pierwszej kolejności należy stworzyć potrzebne macierze. Na podstawie współczynników
układu równań macierz A, oraz kolumnową macierz wyrazów wolnych B.
>>A=[a11 a12 … a1n;a21 a22 … a2n;… … … …;an1 an2 … ann]
>>B=[b1;b2;…;bn]
W kolejnym kroku sprawdzamy czy macierz A spełnia warunke odwracalności, tzn. czy
posiada niezerowy wyznacznik macierzy:
>>det(A)
Gdy det(A) ≠ 0, można znaleźć rozwiązanie układu równać stosując wzór:
>> X=inv(A)*B
W wyniku otrzymany zostanie wektor kolumnowy wartości niewiadomych X ułożonych w
kolejności rosnących współczynników.
Ia Zamiast mnożenia przez macierz odwrotną można wykonać dzielenie lewostronne
A przez B
>> X=A\B
Przykład:
Rozwiąż układ równań
Rozwiązanie:
>> A=[2 3 0;1 1 1;0 -3 1]
A=
2
3
0
2
+3 =8
+ + =6
−3 + = −3
1
1
1
0
-3
1
>> B=[8;6;-3]
B=
8
6
-3
>> det(A)
ans =
5
>> X=inv(A)*B
X=
1
2
3
Oznacza to, że x1 = 1, x2 = 2 x3 = 3
Stosując dzielenie lewostronne
>> X=A\B
ans =
1
2
3
Oznacza to, że x1 = 1, x2 = 2 x3 = 3
II Metoda Crammera – metoda wyznacznikowa z wykorzystaniem wzorów Crammera
=
det( )
det( )
=
det( )
det( )
=
det( )
det( )
W pierwszej kolejności należy stworzyć potrzebne macierze. Na podstawie współczynników
układu równań macierz A, oraz kolumnową macierz wyrazów wolnych B.
>>A=[a11 a12 … a1n;a21 a22 … a2n;… … … …;an1 an2 … ann]
>>B=[b1;b2;…;bn]
W następnej kolejności tworzymy macierze A1, A2 i A3
Liczymy wartość wyznaczników i za pomocą wzorów Crammera wyznaczamy wartości
niewiadomych x.
Przykład:
Rozwiąż układ równań, identyczny jak w poprzednim przykładzie:
>> A=[2 3 0;1 1 1;0 -3 1]
A=
2
3
0
1
1
1
0
-3
1
>> B=[8;6;-3]
B=
8
6
-3
>> A1=[B,A(1:3,2:3)]
A1 =
8
3
0
6
1
1
-3
-3
1
>> A2=[A(:,1),B,A(:,3)]
A2 =
2
8
0
1
6
1
0
-3
1
>> A3=[A(1:3,1:2),B]
A3 =
2
3
8
1
1
6
0
-3
-3
>> X1=det(A1)/det(A)
X1 =
1
>> X2=det(A2)/det(A)
X2 =
2
>> X3=det(A3)/det(A)
X3 =
3
Oznacza to, że x1 = 1, x2 = 2 x3 = 3
Układ równań liniowych (prostokątny)
Prostokątny układ równań liniowych, w którym liczba równań i niewiadomych jest różna,
można zapisać w sposób ogólny w postaci:
+
+ ⋯+
=
+
+ ⋯+
=
……………………………………
+
+⋯+
=
Układ taki może być z niedoborem gdy jest więcej niewiadomych niż równań, lub z
nadmiarem gdy jest więcej równań niż niewiadomych.
Aby rozwiązać układ równań, konieczne jest zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Capellego
i określić rząd macierzy:
W pierwszej kolejności należy stworzyć potrzebne macierze. Na podstawie współczynników
układu równań macierz A, oraz kolumnową macierz wyrazów wolnych B.
>>A=[a11 a12 … a1n;a21 a22 … a2n;… … … …;an1 an2 … ann]
>>AB==[a11 a12 … a1n b1;a21 a22 … a2n b2;… … … …;an1 an2 … ann bn]
>>B=[b1;b2;…;bn]
W kolejnym kroku sprawdzamy rząd macierzy A i macierzy AB:
>>rA=rank(A)
>>rAB=rank(AB)
Gdy rA = rAB =h układ ma rozwiązanie i postępujemy zgodnie z zasadami opisanymi powyżej
(dla układu kwadratowego), zakładając że ilość potrzebnych do rozwiązania układu równań
równań jest równa h, jak również że tylko h niewiadomych jest możliwe do wyznaczenia w
danym układzie pozostałe są rozpatrywane jako parametry układu.
Po ustaleniu rzędu macierzy pozwalającego na rozwiązanie układu, wycinamy z macierzy A
podmacierz współczynników na podstawie której zostanie przeprowadzone rozwiązanie.
Następnie rozwiązujemy układ zgodnie z zasadami I, Ia
Tworzymy macierz c złożoną z współczynników przy parametrach i liczymy współczynniki
dla wyrazów parametrycznych z wzory x=AB-1*c, a następnie uzupełniając rozwiązanie
podstawowe o ten wynik. Tak powstaje ostateczne rozwiązanie układu równań
Przykład:
Rozwiąż układ równań
Rozwiązanie:
>> A=[1 1 1;1 -2 3]
A=
1
1
1
1
-2
3
+
−2
+ =3
+3 =2
>> B=[3;2]
B=
3
2
>> r1=rank(A)
r1 =
2
>> r2=rank([A B])
r2 =
2
>> AA=A(1:2,1:2)
AA =
1
1
1
-2
>> X=inv(AA)*B
X=
2.6667
0.3333
>> c=[-1;-3]
c=
-1
-3
>> x=inv(AA)*c
x=
-1.6667
0.6667
Ostateczne rozwiązanie ma wiec postać x1 = 2.67-1.67*x3, x2 = 0.33-0.67*x3