Wybrane zagadnienia z matematyki Zestaw zaliczeniowy 1

Wybrane zagadnienia z matematyki
q√
2008
1. Wykazać, że liczba
Zestaw zaliczeniowy
q√
2008
10 + 3 +
10 − 3 jest większa od 2.
2. Nie używając kalkulatora, porównać liczby
q
a = log 5 · log 20 + log2 2
oraz
b=
√
6 − 2 5.
3. Rozwiązać równanie
x2 + 4y 2 + |x − y + 1| = 4xy.
4. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne (x, y) spełniają warunek
xy
log2
= log2 x · log2 y.
2
5. Naszkicować wykres funkcji danej wzorem:
s
x
f (x) =
|1 + x| − |1 − x|
|1 + x| + |1 − x|
dla
x ­ 0.
6. Naszkicować wykres funkcji f (x) = x2 − | 4x − 4 | i na podstawie wykresu omówić jej własności.
Określić liczbę rozwiązań równania f (x) = m w zależności od wartości parametru m. Naszkicować
wykres funkcji, która parametrowi m przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego równania.
1
+ 1. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć
7. Naszkicować wykres funkcji f (x) = log2
2x
funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania
log 1 + 1 = m
2 2x
w zależności od wartości parametru m ∈ R.
8. Dane są funkcje f (x) = x3 − 1 oraz g(x) = x2 + x + 1. Dla jakich x prawdziwa jest nierówność
|f (x)| < |g(x)|? Zbadać parzystość funkcji
h(x) =
f (x) + 2
.
g(x) − 1
9. Zbadać, czy istnieje taka wartość parametru m, dla której równanie
√
√
x + x2 − 1 x − x2 − 1
√
√
+
= 2mx − 4
x − x2 − 1 x + x2 − 1
ma dwa różne rozwiązania.
10. Wyznaczyć te wartości rzeczywiste parametru m, dla których nierówność:
h
x2 − 2x + 4
i
(m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + m − 1 < 0
jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x.
11. Dla jakich wartości parametru α ∈ h0, 2πi rozwiązaniem układu równań
(
(sin α − 1)x + y = 1
(−2 sin α)x + (2 sin α + 1)y = sin α
jest para liczb nieujemnych?
1
Wybrane zagadnienia z matematyki
Zestaw zaliczeniowy
12. Dla jakich wartości parametru α rozwiązaniem układu równań
(
x sin α − y cos α = 1
x cos α + y sin α = 0
jest punkt (x, y) należący do krzywej o równaniu y = 1 − x2 ?
13. Dla jakich wartości parametru m układ
(
x2 + y 2 + 2x = m2 − 1
x2 + y 2 − 4x − 8y = m2 + 2m − 19
ma dokładnie jedno rozwiązanie?
14. Wyznaczyć te wartości rzeczywiste parametru k, dla których okrąg opisany równaniem
x2 + y 2 + 2x − 6y + 2k − 2 = 0 jest styczny do prostej o równaniu 4x + 3y + 5 = 0.
√
15. Jednym z miejsc zerowych funkcji f (x) = x3 + bx2 + cx + 4 jest 2 − 5. Znaleźć pozostałe miejsca
zerowe funkcji f wiedząc, że współczynniki b i c są liczbami wymiernymi.
16. Rozwiązać równanie:
q
√ x q
√ x
2+ 3 +
2 − 3 = 4.
17. Reszty z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomiany x2 −1 i x2 +2x są równe odpowiednio x+3
oraz 2x − 1. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x) = x3 + 2x2 − x − 2.
18. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu
W (x) = 2x5 − x4 − 10x3 − (n + 1)x2 + 12nx + n2
o współczynnikach całkowitych wiedząc, że jednym z nich jest rozwiązanie równania
2
x + x3 + x5 + . . . = .
3
19. Dla jakich wartości parametru m ∈ R równanie
x5 + (1 − 2m)x3 + m2 − 1 x = 0
ma trzy różne pierwiastki?
1
1
20. Suma wszystkich współczynników wielomianu Pn (x) jest równa lim 1 + + . . . + n , a suma
n→∞
2
2
współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa jest sumie współczynników przy jej
parzystych potęgach. Wyznaczyć resztę R(x) powstałą z dzielenia wielomianu Pn (x) przez dwumian
x2 − 1.
21. Obliczyć wartość wyrażenia:
sin2 18◦ + sin2 72◦
.
ctg 150◦ + tg 300◦
22. Dla jakich wartości parametru k ∈ R równanie
3 cos x + cos 2x = k
ma rozwiązanie?
2
Wybrane zagadnienia z matematyki
23. Rozwiązać równanie:
Zestaw zaliczeniowy
√
cos x cos2 x
1+3 2
+
+ ··· =
.
3
9
17
24. Rozwiązać równanie
cos 2x + sin x = p2 + 4q + 3
1 − n3
.
n→∞ n3 − 5n2
wiedząc, że p jest większym pierwiastkiem równania 2x + 2−x = 52 , natomiast q = lim
25. Wyznaczyć wartość parametru α, dla którego pierwiastki x1 , x2 równania
x2 − 2x sin α − cos2 α = 0
spełniają równość x31 + x32 = 0.
26. Kopano studnię. Za pierwszy metr głębokości zapłacono 200 zł, a za każdy następny płacono
o 20 zł więcej niż za poprzedni. Łącznie za kopanie studni zapłacono 14700 zł. Jaka jest głębokość tej
studni?
27. Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica równa się 4◦ . Największy kąt
ma miarę 172◦ . Ile boków ma ten wielokąt? Ile ma przekątnych? Odpowiedzi uzasadnić.
a2n − an − 2
wiedząc, że
n→∞
an + 1
28. Obliczyć lim
√
n2 + 1 − n
an = √
.
n2 − 1 − n
2n+2
29. Wykazać, że ciąg, którego n-ta suma częściowa Sn wyraża się wzorem Sn = 12 − n−1 jest
3
ciągiem geometrycznym. Zbadać monotoniczność tego ciągu.
30. Wiadomo, że dla każdego x należącego do dziedziny funkcji y = f (x) zachodzi warunek:
1 + f (x) + f 2 (x) + . . . = x2 − 1,
gdzie lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego. Wyznaczyć wzór tej funkcji i jej dziedzinę.
31. W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego wynosi 7, a suma kwadratów
wyrazu drugiego i czwartego równa się 40. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi −64?
32. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny, równa jest pierwiastkowi równania
√
log(x − 9) + 2 log 2x − 1 = 2.
Jeżeli do drugiej liczby dodamy 2, a pozostałe liczby pozostawimy bez zmiany, to otrzymamy trzy
kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Znaleźć te liczby.
33. Ciąg {an } jest określony rekurencyjnie:
a1 = 8,
an+1 = an + 3,
n ∈ N.
Podać i uzasadnić wzór ogólny na an . Obliczyć granicę:
lim
n→∞
(n + 2)! − (n + 1)!
.
n! · (a1 + a2 + . . . + an )
3
Wybrane zagadnienia z matematyki
Zestaw zaliczeniowy
34. Wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego {an } są dodatnimi liczbami całkowitymi. Suma pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 4, a ich iloczyn 3. Wyznaczyć największą liczbę naturalną n, dla której
wyrazy ciągu {an } spełniają nierówność
a1 + a2 + . . . + an ¬ 50.
35. Obliczyć wartość wyrażenia:
3log5 10 + 32+log5 2
.
3log5 50
36. Dla jakich wartości parametru m równanie
x2 − (2m − 1)x − 3(4m−1 − 2m−2 ) = 0
ma dwa pierwiastki różnych znaków?
37. Rozwiązać równanie:
9x − 6 · 3x−1 − 1 = lim
n→∞
n−
p
n2 − 4n .
38. Rozwiązać równanie
r
log
x x
+ + . . . = log(4x − 15).
2
4
x+
39. Rozwiązać równanie
2
24 cos
x+1
2
+ 16 · 24 sin
x−3
x ∈ h0, πi.
= 20,
40. Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych n podzielnych przez 3, które spełniają nierówność
log2 (2n) + log4 (4n) + log8 (8n) < 14.
41. Rozwiązać nierówność:
2log8 (x
2 −6x+9)
< 32 logx
√
x−1
.
42. Rozwiązać nierówność
log2 log3
x−1
x+1
< log 1 log 1
2
3
x+1
x−1
.
43. Rozwiązać nierówność
q
x2 −
|x|
x
+ log3 7
2
log x − 4 log2 x · log 2 + 3
< 0.
44. Miejscami zerowymi funkcji f (x) = kx3 − x2 − 3x + l są liczby 3 i −3. Napisać wzór tej funkcji,
zbadać jej monotoniczność i obliczyć ekstrema. Poprowadzono styczną do wykresu tej funkcji, która
odcina na dodatniej półosi OX odcinek dwukrotnie mniejszy niż na dodatniej półosi OY . Znaleźć
równania wszystkich stycznych o tej własności.
45. Dla jakich wartości parametru k ∈ R, funkcja f (x) = x3 − 2kx2 + 3kx − 4 jest rosnąca w R?
46. Do wykresu funkcji f (x) = x3 − 2x2 + bx + c należy punkt P = (1, 2). Styczna do wykresu w
punkcie P ma współczynnik kierunkowy równy 1. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
w przedziale h−2, 2i.
4
Wybrane zagadnienia z matematyki
Zestaw zaliczeniowy
47. Czy istnieje liczba a ∈ R, dla której funkcja dana wzorem
(
f (x) =
2x2 −8
|x−2| ,
a,
gdy x 6= 2
gdy x = 2
jest ciągła w punkcie x = 2? Odpowiedź uzasadnić.
48. Dla jakich wartości parametru a funkcja f dana wzorem
(
f (x) =
√
x2 +4−2
,
x2
a,
gdy x 6= 0
gdy x = 0
jest ciągła w punkcie x = 0?
49. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f , gdy f (x) = 21 x4 − 6x3 + 23x2 − 30x + 20.
50. Dla jakich wartości parametru a wierzchołek
paraboli y = x2 + 2ax + 1 jest odległy od stycznej
√
do tej paraboli w punkcie o odciętej x = 0 o 55 ?
POWODZENIA!!!
5