Liczby Rzeczywiste. Ci¡gi. Szeregi. Rachunek Ró»niczkowy i

Pytania na egzaminie magisterskim dotycz¡ gªównie zagadnie« zwi¡zanych z tematem pracy magisterskiej. Nale»y by¢ przygotowanym równie» na
pytania sprawdzaj¡ce podstawow¡ wiedz¦ ze wszystkich zaliczonych wykªadów.
Poni»ej podane s¡ przykªadowe pytania.
Liczby Rzeczywiste. Ci¡gi. Szeregi. Rachunek Ró»niczkowy i
Caªkowy Funkcji Jednej Zmiennej.
1. - Denicja liczby pierwszej. Dowód faktu, »e liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele.
2. - Denicja liczby algebraicznej. Dowód istnienia liczb niealgebraicznych.
3. - Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych.
4. - Denicja zbioru przeliczalnego i nieprzeliczalnego. Przykªady takich
zbiorów.
5. - Dowód nieprzeliczalno±ci zbioru liczb rzeczywistych.
6. - Dowód nieprzeliczalno±ci zbioru liczb niealgebraicznych.
7. - Denicja liczby niewymiernej. Przykªady liczb niewymiernych.
8. - Dowód niewymierno±ci liczby
√
2.
9. - Zasada indukcji matematycznej. Przykªady dowodów wykorzystuj¡cych zasad¦ indukcji.
10. - Rozwini¦cia dziesi¦tne liczb rzeczywistych.
11. - Podstawowe twierdzenia o ci¡gach liczbowych (z dowodami).
12. - Denicja kresu górnego i dolnego. Udowodni¢, »e ka»dy ci¡g monotoniczny i ograniczony na prostej rzeczywistej jest zbie»ny.
13. - Kryteria zbie»no±ci szeregów. Przykªady szeregów zbie»nych i rozbie»nych.
14. - Dowód rozbie»no±ci szeregu harmonicznego.
15. - Wykaza¢, »e funkcja ci¡gªa okre±lona na odcinku domkni¦tym jest
ograniczona.
16. - Wªasno±c Darboux funkcji okre±lonej na odcinku, denicja i zastosowania.
17. - Przykªad funkcji nie maj¡cej wªasno±ci Darboux. Zwi¡zek mi¦dzy
wªasno±ci¡ Darboux i ci¡gªo±ci¡ funkcji.
18. - Funkcje jednostajnie ci¡gªe. Przykªady.
19. - Denicja pochodnej w punkcie funkcji rzeczywistej. Interpretacja geometryczna i zyczna.
20. - Wzór na pochodn¡ funkcji zªo»onej.
21. - Zwi¡zek mi¦dzy ci¡gªo±ci¡ i ró»niczkowalno±ci¡ funkcji.
22. - Denicja n−tej pochodnej. Przykªad funkcji maj¡cej pierwsz¡ i drug¡
pochodn¡ i nie maj¡cej trzeciej pochodnej.
23. - Twierdzenie Rolle'a.
24. - Twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej. Interpretacja geometryczna.
25. - Twierdzenie Taylora i jego zastosowania.
26. - Warunki konieczne i wystarczaj¡ce na istnienie ekstremum lokalnego
funkcji rzeczywistej okre±lonej na prostej rzeczywistej.
27. - Funkcja pierwotna, denicja, podstawowe wªasno±ci.
28. - Caªka Riemanna. Denicja i podstawowe wªasno±ci.
29. - Przykªad funkcji rzeczywistej okre±lonej na odcinku domkni¦tym niecaªkowalnej w sensie Riemanna.
30. - Podstawowe twierdzenie rachunku caªkowego.
31. - Caªkowanie przez cz¦±ci. Przykªady zastosowa«.
32. - Caªkowanie przez podstawienie. Przykªady zastosowa«.
33. - Zastosowania caªek oznaczonych do obliczania obj¦to±ci bryª, pól powierzchni i dªugo±ci krzywych.
Topologia
34. - Przestrzenie metryczne i ich przykªady. Kula, wn¦trze zbioru i zbiór
otwarty. Domkni¦cie i zbiór domkni¦ty.
35. - Denicja ci¡gu zbie»nego w przestrzeni metrycznej. Przykªady ci¡gów
zbie»nych i rozbie»nych.
36. - Denicja ci¡gªo±ci funkcji w sensie Cauchy'ego oraz sformuªowania
równowa»ne: w j¦zyku ci¡gów (warunek Heinego) i w j¦zyku przeciwobrazów.
37. - Spójne przestrzenie metryczne. Opis wszystkich spójnych podzbiorów
prostej.
38. - Zwarte przestrzenie metryczne. Twierdzenie Cantora i Twierdzenie
Borela-Lebesgue'a.
39. - Wªasno±ci funkcji ci¡gªych na przestrzeniach zwartych.
40. - Charakteryzacja podzbiorów zwartych w Rn .
41. - Charakteryzacja podzbiorów zwartych przestrzeni funkcji ci¡gªych
okre±lonych na odcinku domkni¦tym. Twierdzenie Arzéli-Ascoliego.
42. - Przestrzenie zupeªne, przykªady. Zwi¡zek mi¦dzy zwarto±ci¡ i zupeªno±ci¡.
43. - Poj¦cie przestrzeni topologicznej. Baza topologii. Przykªady przestrzeni topologicznych i niemetrycznych.
44. - Ci¡gªe odwzorowania przestrzeni topologicznych. Homeomorzmy.
Funkcje Wielu Zmiennych
45. - Denicja pochodnych cz¡stkowych. Zwi¡zek mi¦dzy istnieniem pochodnych cz¡stkowych i ci¡gªo±ci¡ funkcji.
46. - Denicja pochodnej funkcji rzeczywistej wielu zmiennych. Zwi¡zek
miedzy istnieniem pochodnej i ci¡gªo±ci¡ funkcji.
47. - Twierdzenie o funkcji odwrotnej.
48. - Gradient funkcji i pochodna kierunkowa. Denicja i interpretacja geometryczna.
49. - Twierdzenie o funkcji uwikªanej. Wzór na pochodn¡ funkcji uwikªanej.
50. - Warunki konieczne i wystarczaj¡ce istnienia ekstremum funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych.
51. - Szukanie warto±ci minimalnej i maksymalnej funkcji rzeczywistej dwóch
zmiennych okre±lonej na zbiorze zwartym.
52. - Ekstrema warunkowe. Mno»niki Lagrange'a.
53. - Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych.
54. - Caªka Riemanna z funkcji ci¡gªej wielu zmiennych. Denicja i podstawowe wªasno±ci.
55. - Miara Jordana zbioru, podstawowe jej wªasno±ci.
56. - Miara Jordana i Lebesgue'a zbioru liczb wymiernych na odcinku.
57. - Obliczanie caªek n-krotnych. Twierdzenie Fubiniego.
58. - Jakobian funkcji. Denicja i interpretacja geometryczna.
59. - Wzór na zamian¦ zmiennych w caªce n-krotnej i jego zastosowania.
60. - Caªka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana. Denicja i interpretacja zyczna.
61. - Pole potencjalne. Kryteria potencjalno±ci pola. Caªka krzywoliniowa
z pola potencjalnego.
62. - Wzór Greena i jego zastosowania.
63. - Caªki powierzchniowe zorientowane i niezorientowane. Denicje, podstawowe wªasno±ci, interpretacja zyczna.
64. - Dywergencja pola wektorowego. Denicja i interpretacja zyczna.
65. - Caªka z dywergencji pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa.
66. - Rotacja pola wektorowego. Wzór Stokesa.
Funkcje Zespolone
67. - Pochodna funkcji zespolonej. Denicja, interpretacja moduªu i argumentu pochodnej.
68. - Wzory Cauchy'ego - Riemanna.
69. - Zwi¡zek mi¦dzy istnieniem pochodnej a rozwijalno±cia funkcji w szereg pot¦gowy.
70. - Caªka krzywoliniowa z funkcji zespolonej. Wzór caªkowy Cauchy'ego.
71. - Szereg Laurenta. Wzór na wspóªczynniki tego szeregu.
72. - Residua funkcji zespolonej. Zastosowanie do obliczania caªek z funkcji
rzeczywistej.
Równania Ró»niczkowe
73. - Caªkowanie równa« ró»niczkowych o zmiennych rozdzielonych, w ró»niczce zupeªnej, liniowych.
74. - Twierdzenie Peano o istnieniu rozwi¡za« zagadnienia Cauchy'ego.
75. - Twierdzenie Picarda- Lindelofa.
76. - Równania ró»niczkowe liniowe drugiego rz¦du.
77. - Ukªady równa« liniowych. Portrety fazowe ukªadów równa« liniowych
na pªaszczy¹nie.
Rachunek Prawdopodobie«stwa
78. - Klasyczna i aksjomatyczna denicja prawdopodobie«stwa. Podstawowe wªasno±ci prawdopodobie«stwa.
79. - Dowód ci¡gªo±ci prawdopodobie«stwa na ci¡gach zdarze« wst¦puj¡cych i zst¦puj¡cych.
80. -Poj¦cie zm. losowej, wektora losowego, rozkªadu, rozkªadów brzegowych, parametrów rozkªadu- warto±¢ oczekiwana i wariancja, podstawowe wªasno±ci.
81. - Podstawowe rozkªady dyskretne i absolutnie ci¡gªe.
82. - Nierówno±¢ Czebyszewa i jej dowód- przykªady zastosowa«.
83. - Niezale»no±¢ zmiennych losowych, splot rozkªadów. Dowód wªasno±ci:
E(XY ) = EXEY, dla niezale»nych zm. losowych X, Y.
84. - Rozkªady warunkowe, warunkowa warto±¢ oczekiwana - podstawowe
w wªasno±ci.
85. -Rodzaje zbie»no±ci ci¡gów zmiennych losowych: zbie»no±¢ z prawdopodobie«stwem jeden, wg prawdopodobie«stwa, zb. w L2 , zb.wg rozkªaduzwi¡zki miedzy nimi.
86. - Mocne i Sªabe Prawo Wielkich Liczb ( Chinczyna, Koªmogorowa).
87. - Funkcja charakterystyczna rozkªadu i jej wªasno±ci-zwiazek z rozkªadem ( tw. Bochnera).
88. - Centralne Tw. Graniczne Lindenberga -Levy`ego. Przykªady zastosowa«aproksymacja rozkª¡dem normalnym.
Analiza Funkcjonalna
89. - Przestrzenie Banacha i ich przykªady.
90. - Przykªady przestrzeni Hilberta i ich przykªady.
91. - Przykªad przestrzeni Banacha, która nie jest przestrzeni¡ Hilberta.
92. - Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha
93. - Posta¢ funkcjonaªu liniowego na przestrzeni Hilberta.
94. - Charakteryzacja przestrzeni Banacha niesko«czonego wymiaru.
Algebra Liniowa
95. - Ukªady równa« liniowych, posta¢ kanoniczna Gaussa-Jordana, Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
96. - Przestrzenie wektorowe (przykªady). Liniowa niezale»no±¢ wektorów.
Baza i wymiar przestrzeni wektorowej.
97. - Przeksztaªcenia liniowe i ich macierzowe reprezentacje. Twierdzenie o
wymiarze obrazu i j¡dra przeksztaªcenia liniowego.
98. - Wielomian charakterystyczny i warto±ci wªasne macierzy. Diagonalizacja macierzy.
99. - Iloczyn skalarny wektorów, suma prosta podprzestrzeni, dopeªnienie
ortogonalne podprzestrzeni.
Algebra Abstrakcyjna
100. - Denicja i przykªady grup. Podgrupy, warstwy i Twierdzenie Lagrange'a.
101. - Homomorzm grup, grupy ilorazowe i Twierdzenie o homomorzmie.
102. - Pier±cienie i ciaªa (denicje i przykªady). Twierdzenie o klasykacji
ciaª sko«czonych.
103. - Ideaªy w pier±cieniach, homomorzm pier±cieni i pier±cienie ilorazowe.
104. - Ciaªo liczb zespolonych, grupa pierwiastków z jedynki stopnia n i
Zasadnicze Twierdzenie Algebry.
Geometria
105. - Denicja krzywej i jej dªugo±ci.
106. - Wektor styczny do krzywej.
107. - Krzywizna i skr¦cenie krzywej.
108. - Trój±cian Freneta i wzory Freneta.
109. - Pªaszczyzna styczna i wektor styczny do powierzchni.
110. - Pole powierzchni.