Notatki do Wybranych Zagadnie« Analizy Funkcjonalnej

Notatki do Wybranych Zagadnie« Analizy Funkcjonalnej
24 marca 2014
1
Wykªad 1. Sªabe topologie.
Pierwszy wykªad (podwójny) dotyczyª sªabych topologii. W toku naszych zaj¦¢ przez X b¦dziemy rozumie¢
przestrze« Banacha (rzeczywist¡ lub zespolon¡). Przypomnijmy podstawow¡ denicj¦.
Denicja 1 Na
X okre±lamy sªab¡ topologi¦ (σ(X, X ∗ )) deniuj¡c baz¦ otocze« punktu x0 ∈ X jako rodzin¦
nast¦puj¡cych zbiorów:
U (x0 ; ε, x∗1 , . . . , x∗n ) = {x ∈ X : |x∗j (x0 ) − x∗j (x)| < ε, 1 ≤ j ≤ n},
gdzie ε > 0, n ∈ N oraz x∗1 , . . . , x∗n ∈ X ∗ . Ci¡gi zbie»ne w tej topologii nazywamy ci¡gami sªabo zbie»nymi, czyli
xn * x wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego x∗ ∈ X ∗ zachodzi x∗ (xn ) → x∗ (x).
Sprawdzamy bez trudu, »e (X, σ(X, X ∗ )) jest lokalnie wypukª¡ przestrzeni¡ liniowo - topologiczn¡. Ponadto,
sªaba topologia jest najsªabsz¡ topologi¡, w której wszystkie funkcjonaªy z X ∗ s¡ ci¡gªe. Je±li dimX = ∞, to
ta topologia jest istotnie sªabsza ni» topologia normowa oraz nie jest metryzowalna.
Poni»sze twierdzenie Mazura ª¡czy domkni¦cia w sªabej i normowej topologii.
Twierdzenie 2 (Mazur) Niech
domkni¦cie A w sªabej topologii).
A ⊂ X b¦dzie zbiorem wypukªym. Wówczas A = A
σ(X,X ∗ )
(drugi napis to
Zauwa»my, »e je±li xn * x, to dla ka»dego j ∈ N mamy x ∈ convxn ∞
n=j , a wi¦c z twierdzenia Mazura dostajemy
poni»szy wniosek.
Wniosek 3 Je±li xn * x, to istnieje ci¡g kombinacji wypukªych
n(j)
yj =
X
λjn xn
n=j
taki, »e ||yj − x|| → 0 przy j → ∞.
Obok sªabej topologii na X ∗ okre±lamy sªab¡∗ topologi¦.
Denicja 4 Na X ∗ okre±lamy sªab¡∗ topologi¦ (σ(X ∗ , X)) deniuj¡c baz¦ otocze« punktu x∗0 ∈ X ∗ jako rodzin¦
nast¦puj¡cych zbiorów:
U (x∗0 ; ε, x1 , . . . , xn ) = {x∗ ∈ X ∗ : |x∗ (x0 ) − x∗ (xj )| < ε, 1 ≤ j ≤ n},
gdzie ε > 0, n ∈ N oraz x1 , . . . , xn ∈ X . Ci¡gi zbie»ne w tej topologii nazywamy ci¡gami sªabo∗ zbie»nymi, czyli
xn *∗ x wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego x ∈ X zachodzi x∗n (x) → x∗ (x).
Podobnie jak wcze±niej, (X ∗ , σ(X ∗ , X)) jest lokalnie wypukª¡ przestrzeni¡ liniowo - topologiczn¡. Ponadto,
sªaba∗ topologia jest najsªabsz¡ topologi¡, w której wszystkie funkcjonaªy zadane przez elementy z X (dla
x ∈ X okre±lamy ϕx ∈ X ∗∗ poprzez ϕx (x∗ ) = x∗ x) s¡ ci¡gªe. Je±li dimX ∗ = ∞, to ta topologia jest istotnie
sªabsza ni» topologia normowa i sªaba topologia na X ∗ oraz nie jest metryzowalna.
Sªaba∗ topologia jak zobaczymy w zadaniach jest cz¦sto znacznie bardziej patologiczna ni» sªaba topologia, ale
ma jedn¡ niew¡tpliw¡ zalet¦ - jest ni¡ zwarto±¢ kuli jednostkowej.
Twierdzenie 5 (Banach,Alaoglu) Domkni¦ta kula jednostkowa w X ∗ jest zwarta w sªabej∗ topologii.
Cz¦sto szcz¦±cie polegaj¡ce na dualizowaniu pewnych argumentów wymaga przej±cia do X ∗∗ , dlatego przypomnimy teraz denicj¦.
1
Denicja 6 Okre±lmy i : X 7→ X ∗∗ (kanoniczne wªo»enie) za pomoc¡ wzoru
i(x)x∗ = x∗ x.
Korzystaj¡c z "twierdzenia o wydobywaniu normy przy pomocy funkcjonaªów"dowodzimy ªatwo poni»szy fakt.
Fakt 7 Odwzorowanie i jest liniow¡ izometri¡.
W ten sposób mo»emy uto»samia¢ X z domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ X ∗∗ . Co wi¦cej, izometria i przeksztaªca
równie» w naturalny sposób sªabe otoczenia w X na sªabe∗ otoczenia w i(X) ⊂ X ∗∗ . Dokªadniej i jest
homeomorzmem (X, σ(X, X ∗ )) na (i(X), (X ∗∗ , X ∗ )).
Warto si¦ zastanowi¢, jaka jest struktura przestrzeni ci¡gªych funkcjonaªów liniowych na przestrzeniach lokalnie
wypukªych (X, σ(X, X ∗ )) oraz (X ∗ , σ(X ∗ , X)). Mówi o niej nast¦pne stwierdzenie.
Stwierdzenie 8 Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Banacha. Wówczas:
1. Zbiór wszystkich ci¡gªych funkcjonaªów liniowych na (X, σ(X, X ∗ )) jest równy X ∗ .
2. Zbiór wszystkich ci¡gªych funkcjonaªów liniowych na (X ∗ , σ(X ∗ , X)) jest równy X .
Uzbrojeni w takie narz¦dzia dowodzimy wa»ne twierdzenie Goldstine'a (zauwa»my, »e uto»samiamy kul¦ jednostkow¡ w X z jej obrazem przy kanonicznym wªo»eniu).
Twierdzenie 9 (Goldstine) Domkni¦ta kula jednostkowa w X jest σ(X ∗∗ , X ∗ ) g¦sta w domkni¦tej kuli jednostkowej w X ∗∗ .
Bardzo wa»ne s¡ przestrzenie, dla których kanoniczne wªo»enie jest surjekcj¡.
Denicja 10 Przestrze« Banacha, dla której zachodzi i(X) = X ∗∗ nazywamy przestrzeni¡ reeksywn¡.
Korzystaj¡c z poprzednich wyników mo»emy udowodni¢ twierdzenie podaj¡ce warunki równowa»ne na reeksywno±¢ przestrzeni Banacha.
Twierdzenie 11 Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
1. X jest reeksywna.
2. X ∗ jest reeksywna.
3. Domkni¦ta kula jednostkowa w X jest sªabo zwarta.
4. Ka»da domkni¦ta podprzestrze« X jest reeksywna.
5. Ka»da przestrze« ilorazowa X jest reeksywna.
Szczególna sytuacja ma miejsce, gdy przestrze« zadaj¡ca sªab¡ topologi¦ jest reeksywna.
Stwierdzenie 12 Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Banacha. Wówczas:
1. Je±li X ∗ jest o±rodkowa, to (BX , σ(X, X ∗ )) jest przestrzeni¡ metryzowaln¡.
2. Je±li X jest o±rodkowa, to (BX ∗ , σ(X ∗ , X)) jest przestrzeni¡ metryzowaln¡.
Zajmiemy si¦ teraz bardziej szczegóªowo sªab¡ zwarto±ci¡.
Denicja 13 Niech
A ⊂ X . Powiemy, »e A jest warunkowo (pre, wzgl¦dnie) sªabo zwarty, gdy jego sªabe
domkni¦cie jest zwarte w sªabej topologii.
Z poprzednich rozwa»a« wynika wa»na uwaga.
Uwaga 14 Niech A ⊂ X , gdzie X jest przestrzeni¡ reeksywn¡.
1. Je±li A jest wypukªy i ograniczony, to jest warunkowo sªabo zwarty.
2. Je±li A jest wypukªy, normowo domkni¦ty oraz ograniczony, to A jest sªabo zwarty.
Sªynne twierdzenie Eberlaina - Schmuliana orzeka, i» sªaba zwarto±¢ w przeciwie«stwie do sªabej domkni¦to±ci
jest wªasno±ci¡ ci¡gow¡. W jego dowodzie potrzebny jest prosty lemat.
Lemat 15 Zbiór
A ⊂ X jest warunkowo sªabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony oraz gdy jego
σ(X ∗∗ , X ∗ ) domkni¦cie jest zawarte w i(X).
2
Czas na zapowiadane twierdzenie.
Twierdzenie 16 (Eberlain,Schmulian) Zbiór A ⊂ X jest warunkowo sªabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy
z ka»dego ci¡gu (an ) ⊂ A mo»na wybra¢ podci¡g sªabo zbie»ny.
Udowodnili±my równie» jeszcze inne interesuj¡ce twierdzenie o sªabej zwarto±ci.
Twierdzenie 17 (Schmulian) Zbiór wypukªy K ⊂ X jest sªabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy zst¦puj¡cy ci¡g domkni¦tych, wypukªych podzbiorów K ma niepuste przeci¦cie.
Podali±my równie» nietrudny dowód poni»szego stwierdzenia.
Stwierdzenie 18 Niech
K ⊂ X b¦dzie zbiorem sªabo zwartym oraz niech X b¦dzie przestrzeni¡ o±rodkow¡.
Wówczas sªaba topologia obci¦ta do K jest metryzowalna.
Otrzymujemy st¡d przydatny wniosek, który zawiera w sobie namiastk¦ rozumowa« ci¡gowych w odniesieniu
do sªabego domkni¦cia.
Wniosek 19 Niech
K ⊂ X b¦dzie zbiorem sªabo zwartym oraz (an ) ⊂ K i niech a b¦dzie sªabym punktem
skupienia zbioru (an ). Wówczas istnieje podci¡g (ank ) ⊂ K taki, »e ank * a przy k → ∞.
Przypomnijmy sobie twierdzenie znane z podstawowego kursu analizy funkcjonalnej.
Twierdzenie 20 Niech K ⊂ X b¦dzie zbiorem zwartym. Wówczas conv(K) jest zwarte.
Okazuje si¦, »e dla sªabej topologii zachodzi fakt analogiczny, który zapewne w toku wykªadu b¦dzie udowodniony.
Twierdzenie 21 Niech K b¦dzie zbiorem warunkowo sªabo zwartym. Wówczas conv(K) jest warunkowo sªabo
zwarte.
Komentarze: Wszystkie fakty do Twierdzenia 16 wª¡cznie wykªadaªem wedªug ksi¡»ki [W]. Pozostaª¡ cz¦±¢
zaczerpn¡ªem z [DS].
1.1
Zadania
Zadanie 1 Wykaza¢, »e
(BX , σ(X, X ∗ )) jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy X ∗ jest o±rodkowa (analogiczny fakt jest prawdziwy dla BX ∗ ).
Zadanie 2 Poda¢ przykªad przestrzeni Banacha X oraz ci¡gu elementów (x∗n ) ⊂ X ∗ zbie»nego sªabo∗ do zera
speªniaj¡cego ||xn || = 1 dla wszystkich n ∈ N takiego, »e ka»da jego kombinacja wypukªa (jak we wniosku z
twierdzenia Mazura) ma norm¦ 1.
Zadanie 3 Niech E ⊂ L2 (−π, π) b¦dzie zbiorem funkcji
fm,n (t) = eimt + meint , gdzie m, n ∈ N, 0 ≤ m < n.
Oznaczmy przez E1 zbiór tych g ∈ L2 , dla których istnieje ci¡g elementów z E sªabo zbie»ny do g (ci¡gowe
sªabe domkni¦cie E1 ).
1. Znajd¹ wszystkie g ∈ E1 .
2. Znajd¹ wszystkie g nale»¡ce do sªabego domkni¦cia E .
3. Wyka», »e 0 nale»y do sªabego domkni¦cia E , ale 0 nie nale»y do E1 , mimo »e 0 nale»y do ci¡gowego
sªabego domkni¦cia E1 .
Zadanie 4 Niech X b¦dzie o±rodkow¡ przestrzeni¡ Banacha. Wyka», »e wypukªy podzbiór A ⊂ X ∗ jest sªabo∗
domkni¦ty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ci¡gowo sªabo∗ domkni¦ty (czyli zawiera sªabe∗ granice wszystkich ci¡gów
elementów z A).
Zadanie 5 Wyka», »e wypukªy podzbiór K ⊂ X jest sªabo domkni¦ty wtedy i tylko wtedy, gdy jego przeci¦cie z
ka»dym ograniczonym sªabo domkni¦tym podzbiorem jest sªabo domkni¦te.
Zadanie 6 Niech A ⊂ X ∗ . Wyka», »e je±li z ka»dego ci¡gu (xn ) ⊂ A mo»na wybra¢ podci¡g sªabo∗ zbie»ny, to
sªabe∗ domkni¦cie A jest sªabo∗ zwarte, ale twierdzenie odwrotne nie zachodzi.
3
Zadanie 7 Wyka», »e je±li punkt
p ∈ l2 (N) jest w sªabym domkni¦ciu ograniczonego zbioru A ⊂ l2 (N), to
istnieje ci¡g elementów z A sªabo zbie»ny do p.
Zadanie 8 Niech (xn ) b¦dzie ograniczonym ci¡giem w reeksywnej przestrzeni Banacha i niech
Kn = conv(xn , xn+1 , . . .).
Wyka», »e wówczas xn * x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
{x0 } =
∞
\
Kn .
n=1
Wykaza¢, »e ta równowa»no±¢ nie musi zachodzi¢, gdy X nie jest reeksywna.
2
Wykªad 2.
Przechodzimy do typowych zagadnie« teorii przestrzeni Banacha.
Denicja 22 Powiemy, »e podprzestrze« liniowa Y ⊂ X jest uzupeªnialna, gdy istnieje ci¡gªy rzut na t¦
podprzestrze«, to znaczy, gdy istnieje operator liniowy ci¡gªy P : X 7→ X taki, P 2 = P oraz P (X) = Y .
Sprawdzamy bez trudu, i» je±li istnieje ci¡gªy rzut P na podprzestrze« Y ⊂ X , to X = Y ⊕ Z dla pewnej
domkni¦tej podprzestrzeni Z (tak naprawd¦ Z = kerP ).
W dalszej cz¦±ci b¦dziemy u»ywa¢ niesko«czonych sum prostych przestrzeni Banacha.
Denicja 23 Niech
{Xi }∞
i=1 b¦dzie ci¡giem przestrzeni Banacha. Okre±lamy ró»ne typy sum prostych (tak
naprawd¦ chodzi tu rzecz jasna tylko o norm¦), 1 ≤ p < inf ty ,


! p1
!
∞
∞


X
M
p
x
∈
X
,
||(x
)||
=
||x
||
Xi
= (xn )∞
:
<
∞
.
n
n
n
p
n
n=1
∀
Xn


n∈N
n=1
i=1
p
!
∞
M
x
∈
X
,
||(x
)||
=
sup
||x
||
<
∞
.
Xi
= (xn )∞
:
n Xn
n=1
∀ n n n ∞
i=1
n∈N
n∈N
∞
∞
M
i=1
(
!
=
Xi
(xn )∞
n=1
∈:
∞
M
i=1
0
!
)
||xn ||Xn → 0 .
Xi
∞
Šatwo sprawdzamy, »e w ten sposób okre±lamy przestrzenie Banacha.
Wi¦kszo±¢ spotykanych przestrzeni Banacha jest izomorczna ze swoj¡ niesko«czon¡ sum¡ prost¡ (zwykle b¦dziemy stosowa¢ p-t¡), dlatego przyjmujemy stosown¡ denicj¦.
Denicja 24 Niech
X b¦dzie przestrzeni¡ Banacha. Powiemy, »e X jest niesko«czenie podzielna, gdy jest
izomorczna ze swoj¡ niesko«czon¡ sum¡ prost¡ (w dowolnej normie).
Nast¦pne sªynne twierdzenie to ogólna metoda dowodzenia izomorczno±ci przestrzeni Banacha (raczej niekonstruktywna).
Twierdzenie 25 (Zasada dekompozycji Peªczy«skiego) Niech
X, Y b¦d¡ przestrzeniami Banacha oraz
niech przynajmniej jedna z nich b¦dzie niesko«czenie podzielna. Zaªó»my, »e Y jest izomorczna z pewn¡
uzupeªnialn¡ podprzestrzeni¡ X oraz X jest izomorczna z pewn¡ uzupeªnialn¡ podprzestrzeni¡ Y . Wówczas
X ∼Y.
Zasada dekompozycji Peªczy«skiego ma wiele zastosowa«. Pierwsze z nich to nast¦pne twierdzenie.
Twierdzenie 26 (Peªczy«ski)
L∞ ([0, 1]) ∼ l∞ (N) (izomorzm przestrzeni Banacha).
Jednymi z najbardziej znanych przestrzeni Banacha s¡ przestrzenie funkcji ci¡gªych. Problem izomorzmu
tych przestrzeni rozwi¡zuje w du»ej mierze twierdzenie Milutina, którego dowód równie» wykorzystuje zasad¦
dekompozycji Peªczy«skiego.
Twierdzenie 27 (Milutin) Niech K b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡, zwart¡ i nieprzeliczaln¡. Wówczas C(K) ∼
C([0, 1]).
Zmieniamy teraz nieco temat. Zacznijmy od sªynnej nierówno±ci.
4
n
Twierdzenie 28 (Nierówno±¢ Paley'a) Niech (nk )∞
k=1 b¦dzie ci¡giem liczb naturalnych speªniaj¡cym n
k+1
2 dla wszystkich k ∈ N. Wówczas
N
X
! 12
2
|bnk |
≤ C||
k=0
N
X
k
>
bk eikt ||1 , gdzie C nie zale»y od N .
k=0
W przestrzeniach Banacha istnieje kilka istotnie ró»nych typów zbie»no±ci szeregów, które teraz przypomnimy.
Denicja 29 Niech (xn )∞
n=1 ⊂ X . Powiemy, »e szereg
1. bezwzgl¦dnie zbie»ny, gdy
2. warunkowo zbie»ny, gdy
P∞
n=1
P∞
P∞
n=1
xn jest:
||xn || < ∞.
n=1 εn xn
jest zbie»ny dla dowolnych εn ∈ {−1, 1}.
W przestrzeniach sko«czeniewymiarowych obie denicje si¦ pokrywaj¡ (twierdzenie Riemanna). Ponadto widzimy od razu, i» szereg bezwzgl¦dnie zbie»ny jest bezwarunkowo zbie»ny. W ogólno±ci jednak oba te poj¦cia s¡
ró»ne (prosty przykªad znajdziemy w l2 ). Pomimo tego dla konkretnych przestrzeni mo»na udowodni¢ ciekawe
zwi¡zki mi¦dzy tymi dwoma typami zbie»no±ci.
Twierdzenie 30 (Orlicz)
Niech
P
runkowo zbie»ny, to
(xn ) ⊂ Lp dla pewnego 1 ≤ p ≤ 2. Wówczas, je±li szereg
2
||xn || < ∞.
P
xn jest bezwa-
B¦dziemy w dalszym ci¡gu potrzebowa¢ poj¦cia bazy przestrzeni Banacha.
Denicja 31 Ci¡g (xn )∞
n=1 nazywamy baz¡ (Schaudera) przestrzeni Banacha, je±li dla ka»dego x ∈ X istnieje
dokªadnie jeden ci¡g liczbowy (an )∞
n=1 taki, »e
x=
∞
X
an xn .
n=1
Proste przykªady baz s¡ nam znane (bazy ortonormalne w l2 , wersory jednostkowe w lp dla 1 ≤ p < ∞). W
ogólno±ci, zagadnienia zwi¡zane z istnieniem i wªasno±ciami baz s¡ trudne. Odnotujmy jedno znane z analizy
harmonicznej twierdzenie.
Twierdzenie 32 (Riesz) Ukªad
elementów z bazy to: 1, e
−it
p
(eint )∞
n=−∞ jest baz¡ w przestrzeniach L (T) dla 1 < p < ∞ (kolejno±¢
2it
,e ,e
, e , . . .).
it
−2it
Denicja 33 Baz¦ (xn )∞
n=1 przestrzeni Banacha nazywamy baz¡ bezwarunkow¡, je±li wszystkie szeregi wyst¦-
puj¡ce w denicji bazy s¡ bezwarunkowo zbie»ne.
Ukªad trygonometryczne jest oczywi±cie baz¡ bezwarunkow¡ w L2 (T). Powstaje pytanie, jaka jest sytuacja
dla p 6= 2. Odpowied¹ (negatywn¡) otrzymujemy korzystaj¡c z twierdzenia Orlicza (dla p > 2 trzeba u»y¢
dualno±ci).
Fakt 34 Ukªad (eint )∞
n=−∞ nie jest baz¡ bezwarunkow¡ dla p 6= 2.
Warto si¦ zastanowi¢ nad przypadkiem p = 1. Okazuje si¦, »e zachodzi nast¦puj¡ce twierdzenie.
Twierdzenie 35
L1 ([0, 1]) nie ma bazy bezwarunkowej. Co wi¦cej, ta przestrze« nie mo»e by¢ wªo»ona w »adn¡
przestrze« z baz¡ bezwarunkow¡.
3
Wykªad 3.
Kolejny wykªad rozpoczniemy od nierówno±ci Grothendicka, której daleko id¡ce konsekwencje b¦d¡ nam towarzyszy¢ w dalszej cz¦±ci semestru.
Twierdzenie 36 (Nierówno±¢ Grothendicka) Niech A = [amn ]Nm,n=1 , wprowad¹my na A norm¦ jako operatora z ln∞ do ln1 (zwan¡ równie» norm¡ Grothendicka)
||A|| =
|
sup
X
amn εm δn |
εj ,δj ∈{±1}
Oznaczmy równie» przez |||A||| norm¦ macierzy A jako operatora z ln2 do ln2 . Wówczas dla pewnej uniwersalnej
staªej KG (staªej Grothendicka) zachodzi nierówno±¢
|||A||| ≤ KG ||A||.
5
Zajmiemy si¦ teraz rozró»nianiem przestrzeni typu Lp , lp . W tym celu udowodnimy klasyczne twierdzenie
b¦d¡ce znacznym wzmocnieniem wniosku z twierdzenia Mazura.
Twierdzenie 37 (Banach,Saks) Niech
1 < p ≤ 2 oraz niech (fn ) ⊂ Lp b¦dzie ci¡giem sªabo zbie»nym do
zera. Wówczas istnieje podci¡g (fnk ) taki, »e
||
n
X
1
fnk ||p = O n p
k=1
Dla p ≥ 2 przy analogicznych zaªo»eniach mamy
n
X
||
1
fnk ||p = O n 2 .
k=1
Przypadek p = 1 zostaª poprawnie rozpatrzony pó¹niej przez W. Szlenka.
Twierdzenie 38 (Szlenk) Niech (fn ) ⊂ L1 b¦dzie ci¡giem sªabo zbie»nym do zera. Wówczas istnieje podci¡g
(fnk ) taki, »e
||
fn1 + . . . + fnk
||1 → 0.
k
Š¡cz¡c oba te twierdzenia otrzymujemy wa»ne wzmocnienie wniosku z twierdzenia Mazura.
Wniosek 39 Niech 1 ≤ p < ∞ oraz niech (fn ) ⊂ Lp b¦dzie ci¡giem sªabo zbie»nym do zera. Wówczas istnieje
podci¡g (fnk ) taki, »e
||
fn1 + . . . + fnk
||p → 0 przy k → ∞.
k
Przestrzenie Banacha, w których powy»szy wniosek jest prawdziwy s¡ nazywane przestrzeniami z wªasno±ci¡
Banacha - Saksa.
Šatwo sprawdzi¢, »e wszystkie udowodnione fakty dla Lp s¡ równie» prawdziwe dla przestrzeni ci¡gów lp .
Okazuje si¦ jednak, i» l1 posiada wªasno±¢ znacznie silniejsz¡.
Twierdzenie 40 (Schur) Ka»dy ci¡g sªabo zbie»ny w l1 jest silnie zbie»ny.
Omówimy teraz dwa twierdzenia o uzupeªnialno±ci podprzestrzeni.
Twierdzenie 41
c0 nie jest uzupeªnialne w l∞ .
Okazuje si¦, »e fenomen z ostatniego twierdzenia nie wyst¦puje, gdy ograniczymy si¦ do przestrzeni o±rodkowych.
Twierdzenie 42 (Sobczyk) Niech Y
X . Wówczas Y jest uzupeªnialne w X .
4
∼ c0 b¦dzie domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ o±rodkowej przestrzeni Banacha
Wykªad 4.
Kontynuujemy temat uzupeªnialno±ci podprzestrzeni.
Twierdzenie 43 Ka»da uzupeªnialna podprzestrze« lp jest izomorczna z lp (1 ≤ p < ∞).
Przypomnimy teraz kryterium sªabej zwarto±ci w przestrzeni L1 .
Twierdzenie 44 (Dunford-Pettis) Zbiór H ⊂ BL
1 ([0,1])
caªkowalny, tzn.
∀ ∃ ∀
jest sªabo zwarty, je±li jest domkni¦ty i jednostajnie
Z
A ⊂ [0, 1], |A| < δ ⇒
ε>0 δ>0 f ∈H
|f | < ε.
A
Wracamy jeszcze na chwil¦ do wªasno±ci Banacha - Saksa.
Twierdzenie 45 (Schreier)
C(4) nie ma wªasno±ci Banacha - Saksa.
Udowodnimy teraz kilka podstawowych faktów o przestrzeniach C(K).
Twierdzenie 46 Ka»da przestrze« Banacha
C(K) dla pewnej przestrzeni zwartej K .
X jest izometrycznie izomorczna z domkni¦t¡ podprzestrzeni¡
6
Dla przestrzeni o±rodkowych mo»na poda¢ dokªadniejsze twierdzenie.
Twierdzenie 47 Niech X b¦dzie o±rodkow¡ przestrzeni¡ Banacha. Wówczas X jest izometrycznie izomorczna
z pewn¡ domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ C(4).
Uruchamiaj¡c operator rozszerzenia mo»emy zamieni¢ w ostatnim twierdzeniu C(4) przez C([0, 1]). Zajmiemy
si¦ teraz kwesti¡ izometrii przestrzeni C(K).
Twierdzenie 48 (Banach-Stone) Je±li
X, Y s¡ zwarte oraz T : C(X) 7→ C(Y ) jest surjektywn¡ izometri¡,
to istnieje homeomorzm τ : X 7→ Y i funkcja α ∈ C(Y ) taka, »e |α(y)| = 1 dla wszystkich y ∈ Y oraz
(T f )(y) = α(y)f (τ (y)) dla wszystkich f ∈ C(X) i y ∈ Y .
Wracamy do zagadnie« zwi¡zanych ze sªab¡ zwarto±ci¡.
Denicja 49 Operator liniowy
sªabo zwartym.
T : X 7→ Y nazywamy sªabo zwartym, gdy T (BX ) jest zbiorem warunkowo
Warto odnotowa¢ uwag¦, której poprawno±¢ wynika z rozwa»a« zawartych w pierwszym wykªadzie.
Uwaga 50
1. Sªaba zwarto±¢ operatora T : X 7→ Y jest równowa»na nast¦puj¡cej wªasno±ci (twierdzenie
Eberlaina - Schmuliana): dla ka»dego ograniczonego ci¡gu (xn ) ⊂ X z ci¡gu (T (xn )) ⊂ Y mo»na wybra¢
podci¡g sªabo zbie»ny.
2. Je±li X lub Y s¡ reeksywne, ka»dy operator z X do Y jest sªabo zwarty.
Zwi¡zek operatorów sªabo zwartych z przestrzeniami reeksywnymi widoczny goªym okiem w ostatniej uwadze
ma swoj¡ kolejn¡ odsªon¦ w nast¦pnym twierdzeniu.
Twierdzenie 51 Operator T : X 7→ Y jest sªabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy faktoryzuje si¦ przez przestrze«
reeksywn¡, tzn. istnieje przestrze« reeksywna R i operatory α : X 7→ R i β : R 7→ Y takie, »e T = β ◦ α. Co
wi¦cej, faktoryzacj¦ mo»na tak wybra¢, aby ||α|| · ||β|| ≤ 4||T ||.
5
Wykªad 5.
Wprowadzimy pewne uogólnienie poj¦cia bazy w przestrzeni Banacha.
Denicja 52 Powiemy, »e ci¡g (xn ) ⊂ X jest ci¡giem bazowym, gdy jest on baz¡ w domkni¦ciu przestrzeni
liniowej przez niego rozpi¦tej.
Zachodzi bardzo ogólne twierdzenie Mazura.
Twierdzenie 53 (Mazur) W ka»dej niesko«czeniewymiarowej przestrzeni Banacha istnieje ci¡g bazowy.
Znacznie bardziej precyzyjnej informacji udziela nast¦pne twierdzenie.
Twierdzenie 54 Niech (xn ) ⊂ X b¦dzie ci¡giem sªabo zbie»nym, ||xn || = 1 dla wszystkich n ∈ N. Wówczas
istnieje podci¡g (xnk ), który jest ci¡giem bazowym.
Przechodzimy teraz do innego typu zbie»no±ci szeregów.
Denicja 55 Niech
xn b¦dzie szeregiem elementów w przestrzeni
X . Powiemy, »e jest to szereg sªabo bezP
warunkowo Cauchy'ego, gdy dla ka»dego x∗ ∈ X ∗ zachodzi |x∗ (xn )| < ∞.
P
Wªasno±ci szeregów speªniaj¡cych powy»sz¡ denicj¦ opisuje kolejne twierdzenie.
Twierdzenie 56 Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
1.
P
xn jest szeregiem sªabo bezwarunkowo Cauchy'ego.
2.
∃
∀
C>0 (tn )∈l∞
3.
∀
(t )∈c
n
n
X
||
tn xn || ≤ C||tn ||l∞ .
k=1
szereg
X
0
7
tn xn jest zbie»ny.
4.
∃
∀
∀
C>0 A⊂N,#A<∞ (ε )∈{−1,1}
||
N
k
X
εi xi || ≤ C.
i∈A
Otrzymujemy st¡d wniosek.
Wniosek 57 Ci¡g bazowy taki, »e inf ||xn || > 0 oraz
xn jest sªabo bezwarunkowo Cauchy'ego jest równowa»ny
bazie w c0 (tzn. istnieje operator odwracalny T : lin(xn ) 7→ lin(en ) taki, »e T (xn ) = en dla ka»dego n ∈ N.
P
Dalej, mo»emy udowodni¢ twierdzenie zbli»aj¡ce nas do wielce ciekawego twierdzenia Orlicza - Pettisa.
Twierdzenie 58 Na to, aby ka»dy szereg
xn taki, »e dla ka»dego x∗ ,
zbie»ny potrzeba i wystarcza, aby X nie zawieraª kopii c0 .
P
P
|x∗ (xn )| < ∞ byª bezwarunkowo
Czas na zapowiadane twierdzenie.
Twierdzenie 59 (Orlicz-Pettis) Niech
xn b¦dzie szeregiem
P takim, »e dla ka»dego podci¡gu nk szereg
jest sªabo zbie»ny. Wówczas dla ka»dego podci¡gu nk szereg xnk jest zbie»ny.
P
P
x nk
Przechodzimy do omówienia operatorów absolutnie sumuj¡cych.
Denicja 60 Powiemy, »e T
: X 7→ Y jest p - absolutnie sumuj¡cy 1 ≤ p < ∞, je±li istnieje staªa C > 0 taka,
»e dla dla dowolnego ci¡gu (xn ) ⊂ X zachodzi
X
||T xn ||pY
p1
X
≤ C sup
x∗ ∈X ∗
|x∗ (xn )|p
p1
.
Najmniejsz¡ tak¡ staª¡ C > 0 nazywamy norm¡ p - sumuj¡c¡ operatora T i oznaczamy przez πp (T ). Zbiór
wszystkich operatorów p - sumuj¡cych z X do Y oznaczamy Πp (X, Y ). Sprawdzamy ªatwo, »e πp (AT B) ≤
||A|| · πp (T ) · ||B||, sk¡d wynika, »e zbiór operatorów absolutnie sumuj¡cych jest ideaªem operatorowym.
Najbli»sze twierdzenie opisuje posta¢ operatorów absolutnie sumuj¡cych.
Twierdzenie 61 (Grothendick-Pietsch)
T jest p - absolutnie sumuj¡cy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
regularna miara probabilistyczna µ na (BX ∗ , σ(X ∗ , X)) taka, »e
||T x||p ≤ πpp (T )
Z
|x∗ (x)|p dµ(x).
BX ∗
U»ywaj¡c wiedzy o operatorach absolutnie sumuj¡cych mo»emy udowodni¢ sªynne twierdzenie charakteryzuj¡ce
przestrzenie sko«czeniewymiarowe.
Twierdzenie 62 (Dvoretzky,Rogers) Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Banacha tak¡, »e ka»dy szereg bezwarunkowo zbie»ny jest bezwzgl¦dnie zbie»ny. Wówczas dim(X) < ∞.
Przechodzimy do wªasno±ci Dunforda - Pettisa.
Denicja 63 Powiemy, »e
X ma wªasno±¢ Dunforda - Pettisa (X ∈ DP ), gdy dla ka»dego ci¡gu xn * 0 i
ka»dego ci¡gu funkcjonaªów x∗n * 0 zachodzi x∗n (xn ) → 0.
Warunki równowa»ne wªasno±ci Dunforda - Pettisa podajemy w nast¦pnym twierdzeniu.
Twierdzenie 64 Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
1. X ∈ DP .
2. Je±li T : X 7→ Y jest sªabo zwarty, to przeksztaªca ci¡gi sªabo zbie»ne na silnie zbie»ne (jest peªnoci¡gªy).
3. Je±li T : X 7→ c0 jest sªabo zwarty, to jest peªnoci¡gªy.
Uwaga 65 Je±li X ∗ ∈ DP , to X ∈ DP .
Z twierdzenia Gelfanda - Najmarka wynika nast¦puj¡cy fakt.
Fakt 66
L∞ ma wªasno±¢ Dunforda - Pettisa, a wi¦c na mocy poprzedniej uwagi L1 tak»e.
Udowodnimy jeszcze lemat, który przyda nam si¦ na nast¦pnym wykªadzie.
Lemat 67 Nie istnieje ci¡g operatorów liniowych ograniczonych Tn : L1 7→ L1 taki, »e
8
1.
IdL1 =
∞
X
Tn .
n=1
2. Tn s¡ sªabo zwarte.
3.
∀
g∈L
∞
X
1
||Tn y|| < ∞
n=1
Literatura
[DS] N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear Operators, General Theory - Part 1.
[LT] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri: Classical Banach Spaces.
[R] W. Rudin: Analiza Funkcjonalna.
[W] P. Wojtaszczyk: Banach Spaces for Analysts.
9