pobierz
Transkrypt
pobierz
Opracowanie: Vladimir Marchenko WYKŁAD 1 1. ALGEBRA 1.1. Liczby zespolone 1.1.1. Postać algebraiczna i trygonometryczna liczby zespolonej; dodawanie, mnożenie, potęgowanie i dzielenie liczb zespolonych 1A+B+C1 (Wstęp: pochodzenie liczb zespolonych). Czy możliwe jest: 1.1) rozwiązać algebraiczne i trygonometryczne równania x2 1 0, sin x 100 ; 1.2) obliczyć ln(1) ... (albo lg(1) ... ); 1.3) przekonać się, że funkcja y e x jest okresowa? Nie jest to prawdą, jeżeli argument x należy do zbioru liczb rzeczywistych, ale możliwe jest to wtedy, kiedy zbiór rozszerzamy (zastąpimy) do zbioru nowych liczb – liczb zespolonych. 1A2 (Definicja: liczby zespolone). Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych, na przykład: ( x, y),(a, b),(c, d ),( xi , yi ), (1,2) (2,1) , które mają następujące własności: 2.1) równość liczb zespolonych (dla z1 ( x1, y1), z2 ( x2 , y2 ) ): z1 z2 x1 x2 oraz y1 y2 ; 2.2) suma (dodawanie) i różnica (odejmowanie) liczb zespolonych: def z1 z2 ( x1 x2 , y1 y2 ); 2.3) iloczyn (mnożenie) liczb zespolonych: def z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1); 2.4) iloraz (dzielenie) liczb zespolonych (dzielenie jest mnożeniem przez odwrotność): z1 : z2 z1 1 def x1x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 , 2 2 . z2 x22 y22 x2 y2 1A+B3 (Fakt). Mamy następujące własności: 3.1) ( x1,0) ( x2 ,0) ( x1 x2 ,0); 3.2) ( x1,0) ( x2 ,0) ( x1 x2 ,0); 3.3) ( x1,0) :( x2 ,0) ( x1 : x2 ,0), gdzie x2 0. To dokładnie odpowiada działaniom algebraicznym nad liczbami rzeczywistymi. 1A4 (Uwaga). Z własności 1A+B3 wynika, że zbiór {z : z ( x,0), x } liczb zespolonych można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych. Wtedy będziemy pisali x zamiast ( x,0) , w szczególności (1,0) 1 jest jednostką rzeczywistą, a zbiór zespolonych. liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb 1A5 (Definicja). Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i def oznaczamy ją przez j . Wtedy j (0,1) . Liczbę zespoloną o postaci j y , gdzie y , y 0, nazywamy liczbą czysto urojoną. 1A+B6 (Ćwiczenie). Uzasadnić, że j 2 1 i wtedy rozwiązaniem równania z 2 1 0 będzie z j oraz z j . 1A+B7 (Uwaga: dodatek do 1A+B+C1). Wiadomo, że interpretacja geometryczna zbioru jest osią liczbową Ox x x0 i już nie mamy miejsca na tej osi dla liczb zespolonych. Będziemy przedstawiali liczbę zespoloną z ( x, y) na płaszczyźnie Oxy jak uporządkowaną parę ( x, y) liczb rzeczywistych (pierwsza liczba x , druga y ) to jest w postaci punktu o współrzędnych ( x, y) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu w punkcie ( x, y) . Wtedy uważamy liczbę zespoloną (1,0) za jednostką rzeczywistą, a liczbę zespoloną (0,1) = j za jednostką urojoną. Mamy, zatem z ( x, y) ( x,0) (0, y) x (1,0) y (0,1) x j y . W tej interpretacji 0 1 def geometrycznej zbiór ( x, y) : x , y nazywamy płaszczyzną zespoloną. wszystkich liczb zespolonych Wtedy działania dodawania, odejmowania liczb zespolonych oraz mnożenia liczb zespolonych przez liczbę rzeczywistą wykonujemy tak, jak na wektorach (B). jy z =x +jy z1 z2 z1 z2 0 x z2 z1 Odnośnie mnożenia liczb zespolonych: mamy wykonywać (jak dla liczb rzeczywistych) tak, jak mnożenie wielomianów zmiennej j, to jest z1 z2 ( x1 j y1 ) ( x2 j y2 ) x1 x2 j ( y1 x2 x1 y2 ) j 2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 j ( y1 x2 x1 y2 ), gdzie j 2 1. 1C8 (Uwaga). Zakładamy ogólnie, że j 2 p jq ( p, q ) . Można udowodnić, że są tylko 3 różne możliwości: j 2 0, j 2 1, j 2 1 . Ale tylko ostatni warunek j 2 1 (liczby zespolony) daje możliwość dzielenia. Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), znane dla liczb rzeczywistych, obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności, prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, itd. 1A+B9 (Fakt: postać algebraiczna liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci algebraicznej z x j y , gdzie x, y . Tutaj liczba x jest częścią rzeczywistą Re z liczby zespolonej z, co zapisujemy def def Re z x ; podobnie liczba Im z y jest częścią urojoną liczby zespolonej z. 1A10 (Ćwiczenie). Podać reguły działań (dodawania itd.) z liczbami zespolonymi w postaci algebraicznej. 1A11 (Definicja: sprzężenie liczb zespolonych). Sprzężeniem liczby zespolonej z x jy (x, y ) nazywamy liczbę zespoloną z określoną wzorem: z x jy (ćwiczenie: podać interpretację geometryczną). jy z = x +jy 0 x x z = x - jy -jy 1A12 (Definicja). Modułem liczby zespolonej z x j y (x, y ) nazywamy def liczbę rzeczywistą | z | określoną wzorem: | z | x2 y 2 (Re z)2 (Im z)2 . jy | z1 - z2 | z1 z 0 z2 x |z| 1A+B13 (Definicja). Argumentem liczby zespolonej z x jy ( x, y ) nazywamy każdą liczbę spełniającą układ równań: cos sin x , z gdzie z 0 . y , z Argumentem głównym arg z liczby zespolonej z nazywamy argument tej liczby taki, że 0 2 (czasami ). jy z arg z x Zbiór A rg z wszystkich argumentów liczby zespolonej z nazywamy argumentem pełnym: A rg z : arg z 2k : k , gdzie jest zbiorem liczb całkowitych. Przyjmujemy, ze argumentem głównym liczby zespolonej z 0 jest 0 ( a rg0 0 ) oraz A rg z dla z 0 . def Niech jest argumentem z i r z jest modułem. Wtedy 1A14 (Fakt: postać trygonometryczna liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci: z r (cos j sin ) . 1A+B15 (Fakt: działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej). 15.1) dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej jest takie, jak w postaci algebraicznej (nie daje nic nowego); 15.2) mnożenie już daje: z1 z2 [r1 cos 1 j sin 1 ] [r2 cos 2 j sin 2 ] r1 r2[cos 1 2 j sin 1 2 ] (reguła: przy mnożeniu liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy i jest to prawdziwe dla dowolnej liczby czynników), w szczególnym przypadku mamy (wzór de Moivre’a): potęgowanie (podnoszenie do potęgi) liczby zespolonej: z n [r cos j sin ]n r n (cos n j sin n ) (reguła: przy potęgowaniu liczb zespolonych ich moduły podnosimy do tej potęgi, a argumenty mnożymy przez tę potęge); 15.3) dzielenie liczb zespolonych: z1 r1 (cos1 j sin 1 ) r1 [cos(1 2 ) j sin(1 2 )] z2 r2 (cos2 j sin 2 ) r2 (reguła: przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy). Dowód: naprzykład dla mnożenia. Mamy: z1 z2 r1 cos 1 jr1 sin 1 r2 cos 2 jr2 sin 2 r1 cos 1 r2 cos 2 jr1 sin 1 r2 cos 2 r1 cos 1 jr2 sin 2 jr1 sin 1 jr2 sin 2 r1r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) j r1r2 (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 ) r1r2 (cos(1 2 ) j sin(1 2 )). W podobny sposób możemy sprawdzić (B) ostatnie twierdzenia. (koniec dowodu) j Im z 1 2 z2 r = r1 r2 r2 2 r1 r z1 1 φ=0 0 Re z j Im z nφ rn r φ z Re z j Im z z1 z2 1 r1 r2 2 r z= z1 : z2 φ 1 2 , r r1 : r2 Re z 1 nazywa się odpowiednio: elementem z neutralnym dodawania, elementem przeciwnym do liczby z, elementem neutralnym mnożenia oraz elementem odwrotnym do liczby z. 1A16 (Definicja). Liczby 0, z, 1 oraz 1A+C17 (Ćwiczenia). Uzasadnić następujące własności liczb zespolonych 17.1) 17.2) 17.3) 17.4) 17.5) 17.6) 17.7) 17.8) 17.9) ( z x j y, z1 x1 j y1,...): z1 z2 z2 z1 (dodawanie jest przemienne); ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) (dodawanie jest łączne); z+0=z dla każdej liczby zespolonej z i liczby 0 (0,0) 0 j 0 ; z ( z) z z 0 , gdzie z ( x, y) x jy ; z1 z2 z2 z1 (mnożenie liczb zespolonych jest przemienne); ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) (mnożenie jest łączne); z 1 z (dla każdej liczby zespolonej z i 1 (1,0) ); 1 x y x jy z ( 2 , 2 ) 2 2; 2 2 2 z x y x y x y z z z z 1 z 1; z1 : z2 1 1 22 (wygodnie jest przy obliczaniu ilorazu); z z2 z 2 17.10) z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 (mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania); Re( z1 z2 ) Re z1 Re z2 , Im( z1 z2 ) Im z1 Im z2 , 17.11) Re( jz) Im z, Im( jz) Re z; Re z1 Re z2 , 17.12) z1 z2 Im z1 Im z2 ; z1 z1 , jeżeli z2 0; z 2 z2 17.13) z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2 , z z, z z 2Re z, z z 2 j Im z, Im z Im z; 2 17.14) z z z , z z z , z1 z2 z1 z2 , z z1 1 o ile z2 0 ; z2 z2 z1 z2 z1 z2 (nierówność trójkąta); z1 z2 z1 z2 , Re z z , Im z z , Re( z1 z2 ) z1 z2 ; 2 2 2 2 17.15) z1 z2 z1 z2 2( z1 z2 ) . Ćwiczenie (B+C): podać interpretację geometryczną własności 1A+C17. 1 , wprowadzone w 1A+B11, są jednoznacznie z ustalonymi liczbami o takich własnościach. Uwaga. Liczby 0, z, 1 oraz 1A+C18 (Ćwiczenia). Uzasadnić następujące twierdzenia ( zi ri (cosi j sin i )... ): 18.1) z1 z2 r1 r2 oraz 1 2 2k dla pewnego k ( z1 0, z2 0 ); 18.2) arg( z1 z2 ) arg z1 arg z2 2k dla k 0 lub k 1 ; 18.3) arg( z n ) n arg z 2k dla pewnego k ; z 18.4) arg 1 arg z1 arg z2 2k dla k 0 lub k 1 o ile z2 0 ; z2 18.5) arg( z) arg z 2 ; 18.6) arg( z) arg z 2k dla k 0 lub k 1 ; 1 18.7) arg arg z 2 o ile z 0 ; z z 1. 18.8) z Ćwiczenie (B+C): podać interpretację geometryczną własności 1A+C18. 1B19 (Ćwiczenie). Podać interpretację geometryczną działań algebraicznych dla liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. 1A+B+C20 (Ćwiczenie). Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić podane funkcje kąta przez cos i sin : A) sin 2 ; B) cos 4 ; C) sin n , cos n . 1.1.2. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Równanie algebraiczne. Postać wykładnicza liczy zespolonej 1A21 (Definicja: pierwiastek z liczby zespolonej). Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną u spełniającą równość u n z . Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez n z . Wtedy z u n, n arg u arg z 2k dla k skąd mamy, że tylko n rożnych argumentów u są: arg z 2 arg u k , gdzie k 0,1,..., n 1. n n Wtedy 1A+B22 (Fakt: wzór na pierwiastki z liczby zespolonej). Każda liczba zespolona z r (cos j sin ) , gdzie r 0 oraz , ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma postać: n z {z , z ,..., z }, gdzie z n r (cos 2k j sin 2k ) dla k 0,1,..., n 1. 0 1 n 1 k n n 1A+B23 (Fakt). Prawdziwa jest zależność: arg z 2k arg z 2k 2 2 2 2 j sin ) zk 1 (cos j sin ) z0 (cos j sin ) k n n n n n n dla k 0,1,..., n 1. z k n z (cos 1A+B24 (Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej). Zbiór pierwiastków stopnia n 3 z liczby zespolonej z r (cos j sin ) , gdzie r z oraz arg z , pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r i środku w początku układu współrzędnych. Pierwszy wierzchołek tego wielokąta jest w punkcie z0 n r (cos j sin ) a n n kąty między promieniami, wodzącymi kolejnych wierzchołków, są równe. n j Im z z2 z1 2π/n 2π/n zₒ 2π/n Re z zn1 2π/n zn2 Przykłady: 2 2 2 2 4 1 1, 1 ; 3 1 1, cos j sin , cos j sin ; 1 1, j, 1, j ; 1 j, j : 3 3 3 3 2π/3 j j 1 -1 0 1 0 -2π/3 -1 -j 1 -j W szczególności, pierwiastki n 1 dzielą koło jednostkowe na n równych części o początku z 0 1 (ćwiczenie (B): podać interpretację geometryczną). 1A+B25 (Uwaga). Symbol n ma inne znaczenie w odniesieniu do liczb rzeczywistych i inne do liczb zespolonych (w tym także rzeczywistych traktowanych jako zespolonych). Pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej jest określony jednoznacznie i jest to funkcja [0, ) [0, ) dla n parzystych, naprzykład: W zbiorze : W zbiorze : 4 2,2 4 2 4 dla n nieparzystych oraz funkcja 1 1 4 1 nie istnieje 1 1, 1, j, j 1 j, j z4 z2 , z2 x4 x2 z 2 z, z x2 x Pierwiastkowanie w dziedzinie zespolonej jest szukaniem rozwiązań równania w n z , zatem n z jest zbiorem rozwiązań tego równania. Symbolu pierwiastka w dziedzinie zespolonej nie wolno używać do żadnych obliczeń, a podstawowe wzory dla pierwiastków, prawdziwe w dziedzinie rzeczywistej, tutaj nie mają 8 4 sensu (przykład: 2 {4,4, 4 j.4 j} 2 4 ). 4 8 1A26 (Definicja). Wielomianem rzeczywistym (odpowiednio zespolonym) stopnia n N nazywamy funkcję W : (odp. ) określoną wzorem: W ( z) cn z n cn1 z n1 ... c1 z c0 , gdzie ck (odpowiednio ck ) dla k 0,1,..., n oraz cn 0 . Liczby ck , gdzie 0 k n , nazywamy współczynnikami wielomianu W. 1A27 (Uwaga). Każdy wielomian rzeczywisty można traktować jako wielomian zespolony. Wtedy będziemy mówili krótko wielomian. 1A28 (Definicja). Liczbę (rzeczywistą, zespoloną) z0 nazywamy pierwiastkiem (rzeczywistym, zespolonym) wielomianu W , jeżeli W ( z0 ) 0 . 1A29 (Definicja). Równanie, określone wzorem W ( z) 0 , gdzie W jest wielomianem, nazywamy algebraicznym. 1A+C30 (Fakt). Jeżeli liczba zespolona z0 jest pierwiastkiem wielomianu (równania algebraicznego) o współczynnikach rzeczywistych, to z0 także jest pierwiastkiem tego wielomianu (równania). 1A+C31 (Fakt: zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony. Stąd mamy: każdy wielomian zespolony stopnia n ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne): W ( z) cn z n ... c0 cn ( z z1) ... ( z z n ) cn ( z zˆ1) 1 ... ( z zˆ m ) k m , k (1) gdzie zˆ1,..., zˆ m są różne pierwiastki (wielomianu W ( z) ) o krotnościach odpowiednio k1,..., km , gdzie k1 ... km n . 1A+C32 (wzory Viète’a): c z1 z2 ... zn n1 , cn z1 z2 z1 z3 ... zn1 zn cn2 , cn z1 z2 z3 z1 z2 z4 ... zn2 zn1 zn cn3 , cn c0 . cn Uwaga. Twierdzenia 1A+C30, 1A+C31, 1A+C32, oraz wzór (1) są bardzo ważne w rozwiązywaniu równań algebraicznych. z1 z2 z3 ... zn (1)n 1A33 (Definicja: symbol e j ). Dla liczbę zespoloną cos j sin def oznaczamy krótko przez e j : e j cos j sin . Wtedy 1A+B34 (Wzory Eulera). Mamy: cos x e j x e j x e j x e j x , sin x , gdzie x . 2 2j 1A35 (Fakt: postać wykładnicza liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej: z r e j , gdzie r 0, . Liczba r jest wówczas modułem liczby z , a jest jej argumentom. Dowód: z r (cos j sin ) r e j . 1A+B36 (Fakt: własności symbolu e j ). Niech 1,2 ,3 będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech k będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy: j ( ) j j 36.1) e 1 2 e 1 e 2 ; 36.2) e 36.3) j (12 ) j1 e j ; e 2 (e j ) k e jk ; 36.4) e j ( 2k ) e j ; 36.5) e j 0 ; j j 36.6) e 1 e 2 1 2 2l dla pewnego l ; 36.7) e j 1; 36.8) arg e j 2l dla pewnego l . j ( ) Dowód: naprzykład 1): e 1 2 cos(1 2 ) j sin(1 2 ) cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 j (sin 1 cos2 cos1 sin 2 ) (cos1 j sin 1) (cos2 j sin 2 ) e j 1 e j 2 . W podobny sposób można sprawdzić ostatnie twierdzenia. Niech z jest liczbą zespoloną oraz w jest funkcją w: , określoną wzorem: def W W ( z) e z e x j y e x e j y e x (cos y j sin y) . 1A+B+C37 (Fakt). Funkcja W e z jest okresowa o okresie T 2 j; W e z e Re z, argW Im z 2k dla pewnego k . Niech zatem funkcja W Ln z jest taka, że z e W . Wtedy: z e W e Re W i Re W ln z ; arg z Im W 2k , k . Stąd mamy def 1A+B38 (Definicja). W Ln z ln z j (arg z 2k ), k ; def ln z ln z j arg z nazywamy logarytmem głównym. 1A+B39 (Ćwiczenie). ln(1) ln 1 j arg(1) j. 1A+B+C40 (Ćwiczenie: rozwiązanie równań algebraicznych). Rozwiązać następujące równania: 40.1) równanie kwadratowe ( n 2, a 0 ) zawsze ma 2 pierwiastki zespolone: b b2 4ac az bz c 0 z , gdzie b2 4ac jest jednym z pierwiastków 2a kwadratowych liczby zespolonej b2 4ac , a przecież w dziedzinie zespolonej b b2 4ac ; ( a, b, c , a 0 ) możemy zapisać ten wzór w postaci z 2a 40.2) równanie dwukwadratowe ma 4 pierwiastki zespolone: az 4 bz 2 c 0 niech z 2 u wtedy mamy równanie kwadratowe; 40.3) rozwiązać podane równania algebraiczne: a) z 2 3z 3 j 0 , b) z3 3z 2 3z 3 0 , c) z 4 (1 j)4 , d) z 4 4z3 6z 2 4z 15 0 , e) z 4 4 jz3 6z 2 4 jz 1 (1 j)4 ; 40.4) uzasadnić, że 2 jeżeli z 1,..., z n są pierwiastkami równania z n 1 0 , to wtedy z1 ... zn 0 . 1A+B41 (Ćwiczenie): 41.1) korzystając ze wzorów Eulera wyrazić funkcje a) sin 2 x , b) cos3 x w zależności sinusów i kosinusów wielokrotności kąta x; 41.2) obliczyć sumy: a) cos x cos2x ... cos nx , b) sin x ... sin nx . Wskazówka: e j (e j )2 ... (e j )n e jn e j e j (e j (n1) e j )(e j 1) . j j e j 1 (e 1)(e 1)