Franciszek Firszt Zad. 1 Pocisk poruszający się po torze poziomym

Segment VII
Mechanika — podsumowanie
Przygotował: Franciszek Firszt
Zad. 1
Pocisk poruszający się po torze poziomym trafił w spoczywający klocek. W wyniku ugrzęźnięcia
pocisku klocek przesunął się po powierzchni poziomej na odległość s = 1 m. Masa klocka M była 999
razy większa od masy pocisku a współczynnik tarcia klocka o poziomą powierzchnię wynosi f = 0,05.
Jaką prędkość v miał pocisk? Przyjąć przyspieszenie ziemskie g = 10 sm2 .
Odp.: v =
M +m
M
√
2f gs = 1000
m
s
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 2
Na końcu pręta o długości l którego masę zaniedbujemy, znajdują się dwie kulki traktowane jako
punkty materialne o masach m1 i m2 , przy czym m1 > m2 . Pręt może się obracać wokół osi poziomej
prostopadłej do niego i przechodzącej przez jego środek. Pręt doprowadzono do położenia poziomego
i puszczono swobodnie. Obliczyć prędkość kątową układu w momencie przechodzenia pręta przez
położenie równowagi trwałej. Opory ruchu zaniedbujemy.
Odp.: ω =
q
m1 −m2 g
m1 +m2 l
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 3
Neutron zderza się sprężyście z nieruchomym jądrem helu a po odbiciu z drugim nieruchomym jądrem
helu. Traktując oba zderzenia jako centralne obliczyć stosunek energii kinetycznej neutronu po dwóch
zderzeniach do jego energii przed zderzeniem.
Odp.: p =
E2
E
=
4
3
5
≈ 0.13
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 4
Na nieważkiej i nierozciągliwej nitce wisi kulka (punkt materialny) o masie m. Kulkę wychylono z
położenia równowagi o kąt α =45◦ i puszczono swobodnie. Jaka siła działa na nić w momencie
przechodzenia kulki przez położenie równowagi? Czy jej wartość zależy od długości nitki?
√ Odp.: F = mg 3 − 2 , wartość siły nie zależy od długości nici.
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 5
Pojazd zaczyna się poruszać po torze poziomym ruchem prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym
z przyspieszeniem a=0.5 sm2 . Po upływie czasu t=12 s od momentu rozpoczęcia ruchu wyłączono silnik
1
aż do zatrzymania się pojazdu. Współczynnik tarcia podczas ruchu wynosi f =0,01. Obliczyć całkowitą
drogę przebytą przez pojazd oraz czas ruchu.
Odp.: s0 =
at2
2
+
a2 t2
2f g
=
at2
2
1+
a
fg
.
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 6
Samochód porusza się pod górę z prędkością v0 =36 km
po drodze pochylonej do poziomu pod kątem
h
◦
α=30 . Z jaką prędkością samochód będzie się poruszał po drodze poziomej przy założeniu, że silnik
pracuje stale z tą samą mocą. W obu przypadkach współczynnik tarcia f =0,02 jest jednakowy. Opór
powietrza pomijamy.
Odp.: v =
sin α+f cos α
v0
f
≈ 72 km
h
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 7
Na płaszczyźnie poziomej P leży klocek A o masie mA a na nim klocek B o masie mB . Jaki warunek
musi spełniać siła F działająca na klocek A aby klocek B przesunął się względem klocka A jeśli
współczynnik tarcia klocka A o płaszczyznę P wynosi f1 , a współczynnik tarcia klocka B o klocek A
wynosi f2 ?
Odp.: F >
mB g(f1 +f2 )(mA +mB )
mB
= g (f1 + f2 ) (mA + mB )
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 8
Przez blok nieruchomy stanowiący walec o promieniu R przerzucona jest linka na której zawieszono
po przeciwnych stronach bloku masy m1 i m2 . Znaleźć przyspieszenie z jakim poruszają się masy m1
i m2 oraz naprężenia linki T1 i T2 gdy masa bloczka jest M oraz gdy masa bloczka jest do pominięcia.
2
Odp.: a =
Gdy M=0,
(m1 −m2 )g
I
(m1 +m2 )+ 02
R
1 −m2 )g
a = (m
(m1 +m2 )
T1 = g
m1 I0
R2
I
(m1 +m2 )+ 02
R
2m1 m2 +
T2 = g
2m1 m2
T1 = T2 = g (m
1 +m2 )
m2 I0
R2
I
(m1 +m2 )+ 02
R
2m1 m2 +
Źrd.: Kalisz, Zbiór zadań
Zad. 9
Cienkościenna obręcz o masie m i promieniu R stacza się po równi pochyłej o kącie nachylenia α.
Obliczyć przyspieszenie liniowe obręczy i określić graniczny kąt α, przy którym ruch jest bez poślizgu
jeśli współczynnik tarcia ślizgowego pomiędzy obręczą a podłożem wynosi µ.
Odp.: α =
g sin α
I
1+ 0 2
mR
= 12 g sin α
Obręcz może się staczać bez poślizgu, gdy obliczona ze wzoru mg sin α − T = ma siła tarcia T spełnia
warunek T ¬ µN , gdzie µ - współczynnik tarcia a N = mg cos α
Źrd.: Jędrzejewski, Zbiór zadań
Zad. 10
Wahadło fizyczne składa się nieważkiego pręta o długości l i dwóch kulek o masach m i 2m umieszczonych
na jego końcach. Wahadło może wahać się wokół osi poziomej przechodzącej przez środek pręta i
prostopadłej do pręta. Obliczyć okres wahań.
Odp.: t = 2π
q
3l
2g
Źrd.: Mulas, Podstawy Fizyki, zad. Test.
Zad. 11
Ciało o masie m=1 kg. zawieszone na nieważkiej i nierozciągliwej lince zatacza okrąg w płaszczyźnie
pionowej. Ile wynosi siła napinająca linkę w najniższym punkcie toru, jeśli w momencie maksymalnego
wzniesienia wypadkowa siła działająca na linkę wynosi mg. Przyjąć g=10 sm2 .
Odp.: F2 = 7mg = 70N
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów
Zad. 12
Kulka staczająca się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia do poziomu α na końcu równi
uderza w płaszczyznę poziomą i po odbiciu osiąga maksymalną wysokość wzniesienia h. Zaniedbując
straty energii na tarcie i zakładając, że zderzenie jest doskonale sprężyste, obliczyć drogę, jaką przebyła
kulka wzdłuż równi pochyłej. Moment bezwładności kulki I = 52 mr2 . Przyjąć, że średnica kulki jest
do zaniedbania w porównaniu z wysokością h. Opór powietrza pomijamy.
3
Odp.: s =
5 h
7 sin3 α
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 13
Dwa ciała o jednakowych masach m=4 kg poruszające się po płaszczyźnie poziomej wzdłuż tej samej
prostej zderzają się doskonale niesprężyście. Prędkości ciał mają zwroty przeciwne a ich wartości w
chwili zderzenia są: v1 = 3 ms , v2 = 8 ms . Obliczyć:
ilość wydzielonego ciepła podczas zderzenia,
drogę jaka przebędą ciała do chwili zatrzymania się, jeśli współczynnik tarcia ciał o podłoże wynosi
f =0,1.
Przyjąć g=10
m
.
s2
m(v1 +v2 )2
4
Odp.: Q =
=121 J, s =
2
1 (v2 −v1 )
8
fg
=3.125 m
Źrd.: Góral, Stanisz, Tematy egzaminów...
Zad. 14
Naczynie w kształcie stożka ściętego o wysokości h=20cm i promieniach podstaw R=13cm i r=10cm
obraca się wokół pionowej osi symetrii (pionowej osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej
do podstaw stożka). Z jaką prędkością kątową powinno się obracać naczynie aby kulka leżąca na jego
dnie wyleciała z naczynia. Tarcie pominąć.
Odp.: ω =
q
g h
r R−r
= 2 rds
Zad. 15
Toczący się walec o promieniu r=10 cm zatrzymuje się po czasie t=3 s, przebywając drogę s=10 m.
Obliczyć współczynnik tarcia tocznego µT . Przyjąć g=10 sm2 .
Odp.: µT =
3rs
gt2
=
1
m=0.034
30
m
4
Zad. 16
Baletnica wykonująca piruet obraca się ze stałą częstością no =2 s−1 , przy czym jej moment bezwładności
wynosi I0 =2 kgm2 . Jaką pracę wykonała baletnica przy rozsunięciu rąk, jeśli jej moment bezwładności
zwiększył się do I=2,1 kgm2 ?
Odp.: W = 2π 2 n20 I0 1 −
I0
I1
≈7.51 J
Zad. 17
Jaką pracę musi wykonać miotacz młotem, jeśli po osiągnięciu prędkości kątowej ω ściąga do siebie
młot z odległości r1 na odległość r2 od osi obrotu? Zakładamy, że cała masa młota m jest skupiona
w kuli znajdującej się na jego końcu.
Odp.: W =
mω 2 r14
2
1
r22
−
1
r12
Źrd.: Hennel...... Zadania i problemy z fizyki
Zad. 18
Na szpulę złożoną z dwóch krążków o promieniach R i mniejszego o promieniu r , każdy o grubości a,
nawinięto nieważką i nieskończenie cienką nitkę (jo-jo). Trzymając za wolny koniec nitki puszczamy
swobodnie jo-jo. Znaleźć przyspieszenie środka ciężkości.
Odp.: a =
2(R2 +r2 )r2
R2 (R2 +2r2 )+ 23 r4
g
Źrd.: Hennel, Zadania i problemy z fizyki
Zad. 19
Na linie przerzuconej przez blok nieruchomy i przyczepionej do masy M znajduje się małpa o masie
m. Znaleźć przyspieszenie masy M gdy małpa wspina się po linie ze stałym przyspieszeniem a0 , a
współczynnik tarcia masy M o podłoże wynosi f .
Odp.: a =
m(g+a0 )−f M g
M +m
Źrd.: Hennel, Zadania i problemy z fizyki
5
Zad. 20
Dwie sprężynki o długościach l1 i l2 i współczynnikach sprężystości k1 i k2 przecięto w połowie
ich długości. Polówki dwóch różnych sprężyn połączono końcami za sobą. Obliczyć współczynnik
sprężystości powstałego układu.
Odp.: k =
F
∆x
=
2k1 k2
k1 +k2
Źrd.: Janiszewski, 50 lat Olimpiad
Zad. 21
Jaką siłą F należy działać na pedał hamulca aby koło rozpędowe o momencie bezwładności I i
promieniu R, zatrzymać po upływie czasu t, jeśli wiruje ono z prędkością kątową ω0 , a współczynnik
tarcia wynosi f ? Ramiona dźwigni hamulca są odpowiednio b i a + b. Zakładamy, że rozmiary klocka
są małe w porównaniu z długościami ramion dźwigni.
Odp.: F =
Iω0 b
f Rt a+b)
Zad. 22
Wahadło Maxwella składa się z grubego dysku w kształcie walca o promieniu R i momencie bezwładności
2
I = mR
umocowanego na osi. Oś dysku zawieszona jest na dwóch nawiniętych na nią linkach. Jeśli
2
wahadło z nawiniętymi na oś linkami puścimy swobodnie to będzie się poruszało w płaszczyźnie
pionowej ruchem postępowym przy jednoczesnym obrocie dysku wokół osi. Znaleźć przyspieszenie
ruchu postępowego wahadła. Promień osi jest r, a moment bezwładności osi jest do zaniedbania.
Odp.: a =
g
2
1+ R 2
2r
Źrd.: Kucenko, Zbiór zadań z fizyki
6