11.3. Bryły obrotowe

11. 3.BRYŁY OBROTOWE
Walec – bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej
jeden z jego boków
r – promień podstawy walca
h – wysokość walca
l – tworząca walca l = h
h
l
r
Przekrój osiowy walca – prostokąt o bokach h i 2r
h
2r
Podstawa walca - koło o promieniu r
Pp = π ⋅ r 2
r
Powierzchnia boczna walca – prostokąt o bokach h i 2πr
h
Pb = 2π ⋅ r ⋅ h
2πr
Wzór na pole powierzchni całkowitej walca: Pc = 2π ⋅ r 2 + 2π ⋅ r ⋅ h
Wzór na objętość walca: V = π ⋅ r 2 ⋅ h
Przykład 11.3.1. . Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 8. Pole powierzchni
bocznej walca jest czterokrotnie większe od pola jego podstawy.
Oblicz objętość walca.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
Szukane:
d =8
Pb = 4 ⋅ Pp
V =?
Wzory:
V = π ⋅r2 ⋅h
Pb = 2π ⋅ r ⋅ h
Pp = π ⋅ r 2
Pb = 4 ⋅ Pp
2π ⋅ r ⋅ h = 4 ⋅ π ⋅ r 2 / : 2π ⋅ r
h = 2r
Układamy równanie z niewiadomymi r
i h.
Obie strony równania moŜemy
podzielić przez r , bo r > 0
Wykorzystując twierdzenia Pitagorasa
układamy drugie równanie z
niewiadomymi r i h.
h 2 + (2r )2 = d 2
h 2 + 4r 2 = 64
h = 2r
 2
h + 4r 2 = 64
Budujemy układ równań z
niewiadomymi
r i h.
Układ rozwiązujemy metodą
podstawiania.
(2r )2 + 4r 2 = 64
4r 2 + 4r 2 = 64
8r 2 = 64 / : 8
r2 = 8
r=2 2
Obliczamy h
h = 2r = 2 ⋅ 2 2 = 4 2
( )2 ⋅ 4
V = π ⋅r2 ⋅h = π 2 2
2 = π ⋅ 8 ⋅ 4 2 = 32 2π
Obliczamy V
Przykład 11.3.2. Objętość walca jest równa 16π , a jego powierzchnia boczna po
rozwinięciu jest kwadratem . Oblicz wysokość walca
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Powierzchnia boczna walca
h
Powierzchnia boczna walca jest kwadratem ,
zatem h = 2π ⋅ r
2πr
Dane:
Szukane:
V = 16π
h = 2π ⋅ r
Wzory:
V = π ⋅r2 ⋅h
h
Obliczamy promień walca r
V = π ⋅r2 ⋅h
16π = π ⋅ r 2 ⋅ 2π ⋅ r
16π = 2π 2 ⋅ r 3 / : 2π 2
16π
r3 =
2π 2
8
2
r3 =
r=
π
h = 2π ⋅ r = 2π ⋅
3π
2
3π
=
3
4 π3
3π
Obliczamy wysokość walca h
3
=4 π
2
Przykład 11.3.3. Oblicz ile waŜy 100m miedzianego drutu o średnicy 2 mm , jeŜeli cięŜar
g
właściwy miedzi jest równy 8,96
. Wynik podaj w kg z dokładnością do jednego
cm 3
miejsca po przecinku.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Drut , o którym mowa w zadaniu jest
walcem.
Dane:
Szukane: m = ?
h = 100m = 100000mm
2r = 2mm
g
0,001kg
0,001kg
ρ = 8,96
= 8,96
= 8,96
=
3
3
cm
1000mm 3
(10mm)
kg
= 0,00000896
mm 3
Wzory:
m
ρ=
V
V = πr 2 ⋅ h
W zadaniu naleŜy pamiętać o zamianie
jednostek.
W zdaniu wykorzystamy wzór na cięŜar
właściwy. Wzór ten moŜna napisać na
podstawie podanej jednostki:
g
,
cm 3
gdzie g jest jednostką masy m, natomiast
cm 3 jednostką objętości V
Stąd cięŜar właściwy wyraŜa się wzorem
ρ=
ρ=
Obliczamy masę drutu m
m
V
0,00000896 =
0,00000896 =
m
V
m
πr 2 ⋅ h
m
3,14 ⋅ 12 ⋅ 100000
m
0,00000896 =
/⋅ 314000
314000
m ≈ 2,8
StoŜek – bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dokoła jednej z
przyprostokątnych
r – promień podstawy stoŜka
h – wysokość stoŜka
l – tworząca stoŜka
h
l
r
Przekrój osiowy stoŜka – trójkąt równoramienny o podstawie 2r i ramieniu l
α – kąt rozwarcia stoŜka
β – kat nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy
α
l
l
β
α
2π
Podstawa stoŜka - koło o promieniu r
Pp = π ⋅ r 2
r
Powierzchnia boczna stoŜka – wycinek koła o promieniu l , oparty na łuku długości 2πr
Pb = π ⋅ r ⋅ l
l
α
Pb =
α
360°
π ⋅l2
2πr
Wzór na pole powierzchni całkowitej stoŜka Pc = π ⋅ r 2 + π ⋅ r ⋅ l
1
Wzór na objętość stoŜka V = π ⋅ r 2 ⋅ h
3
Przykład 11.3.4. Oblicz objętość stoŜka , jeŜeli jego tworząca długości 16 tworzy z podstawą
kąt 60 ° .
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
Szukane:
l = 16
V =?
α = 60°
Wzory:
1
V = π ⋅r2 ⋅h
3
Obliczamy wysokość h , korzystając z
definicji sinusa:
sin α =
sin α =
h
l
sin 60° =
h
16
3 h
=
2 16
2h = 16 3 / : 2
h=8 3
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przeciwprostokatna
Obliczamy promień r, korzystając z twierdzenia
Pitagorasa.
h2 + r 2 = l 2
(8 3 )2 + r 2 = 16 2
64 ⋅ 3 + r 2 = 256
r 2 = 256 − 192
r 2 = 64
r =8
1
V = π ⋅r2 ⋅h
3
1
512 3π
V = π ⋅ 82 ⋅ 8 3 =
3
3
Obliczmy objętość stoŜka.
Przykład 11.3.5. Powierzchnią boczną stoŜka jest wycinek koła o kącie 240 ° i promieniu 12.
Oblicz pole podstawy stoŜka.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Wzór na pole powierzchni bocznej stoŜka:
α
Pb =
l
Pp = ?
Wycinek koła, który jest powierzchnią
boczną stoŜka jest oparty na łuku 2πr.
Wzory:
Pp = π ⋅ r 2
Pb = π ⋅ r ⋅ l
l = 12
Pb =
α
360°
π ⋅l2
Wykorzystamy znany nam wzór na długość
łuku i zapiszemy równanie:
2π ⋅ r =
π ⋅r =
π ⋅ rl =
Pb =
α
jest to znany nam wzór
WykaŜemy, Ŝe pole powierzchni bocznej
stoŜka wyraŜa się wzorem Pb = π ⋅ r ⋅ l .
Szukane:
α = 240°
360°
π ⋅l2
na pole wycinka koła.
2πr
Dane:
α
α
360°
α
360°
2π ⋅ l / : 2
π ⋅ l /⋅ l
α
360°
π ⋅l2
π ⋅ r ⋅ l = Pb
π ⋅l2
360°
240°
2
Pb =
π ⋅ 12 2 = π ⋅ 144 = 96π
360°
3
Pb = π ⋅ r ⋅ l
96π = π ⋅ r ⋅ 12 / : 12π
r =8
Obliczamy pole powierzchni bocznej stoŜka.
Obliczamy promień r stoŜka
Obliczamy pole podstawy stoŜka
Pp = π ⋅ r 2
Pp = π ⋅ 8 2 = 64π
Przykład 11.3.6. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 2 i tworzy z
przeciwprostokątną kąt 60° . Oblicz pole powierzchni i objętość bryły
powstałej z obrotu trójkąta wokół prostej zawierającej przeciwprostokątną.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, w
którym kąt BAC ma miarę 90° .
W wyniku obrotu tego trójkąta dookoła
przeciwprostokątnej otrzymujemy dwa stoŜki
mające wspólną podstawę.
Dane :
a=2
α = 60°
Szukane:
V =?
Pc = ?
Wzory:
1
1
V = πr 2 ⋅ h1 + πr 2 ⋅ h2
3
3
Pc = π ⋅ r ⋅ a + π ⋅ b ⋅ r
Objętością powstałej bryły jest suma objętości
stoŜków.
Pole powierzchni powstałej bryły jest suma pól
powierzchni bocznych stoŜków.
Obliczamy r , korzystając z
definicji sinusa:
sin α =
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przeciwprostokatna
sin α =
r
a
sin 60° =
r
2
3 r
=
2
2
2r = 2 3 / : 2
r= 3
h12 + r 2 = a 2
2
h12 + 3 = 2 2
Obliczamy h1 , korzystając z twierdzenia
Pitagorasa.
h12 = 4 − 3
h1 = 1
Obliczamy b , korzystają z definicji tangensa:
tgα =
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przyprostokatna _ przy _ α
c = h1 + h2
tgα =
b
a
tg 60° =
b
2
b
/⋅ 2
2
b=2 3
3=
a2 + b2 = c2
( )2 = c 2
22 + 2 3
Obliczamy h2 , korzystając z twierdzenia
Pitagorasa.
4 + 4 ⋅ 3 = c2
c=4
4 = 1 + h2
Wykorzystujemy równość c = h1 + h2
h2 = 3
1
1
Obliczamy V i Pc
V = πr 2 ⋅ h1 + πr 2 ⋅ h2
3
3
2
2
1
1
V = π ⋅ 3 ⋅ 1 + π ⋅ 3 ⋅ 3 = π + 3π = 4π
3
3
Pc = π ⋅ r ⋅ a + π ⋅ b ⋅ r
Pc = π ⋅ 3 ⋅ 2 + π ⋅ 3 ⋅ 2 3 = 2 3π + 6π
Kula – bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu koła dokoła jego średnicy
R – promień kuli
R
Wzór na pole powierzchni kuli Pc = 4π ⋅ R 2
4
Wzór na objętość kuli: V = π ⋅ R 3
3
Sfera – powierzchnia kuli
Koło wielkie – przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez jej środek.
Przykład 11.3.7. Oblicz ile razy zwiększy się pole powierzchni kuli , a ile razy jej objętość
jeŜeli promień kuli wzrośnie trzykrotnie.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
Szukane:
Wzory:
V1
4
r1 = 3r2
=?
V1 = π ⋅ r13
3
V2
Pc1
4
V2 = π ⋅ r2 3
=?
Pc 2
3
Pc1 = 4π ⋅ r12
Pc 2 = 4π ⋅ r2 2
4
π ⋅ r13
(3r )3 27r2 3
V1
= 3
= 2 =
= 27
3
3
V2 4
3
r
r
2
2
π ⋅ r2
3
Pc1 4π ⋅ r12 (3r2 )2 9r2 2
=
=
=
=9
Pc 2 4π ⋅ r2 2
r2 2
r2 2
Odp.: Objętość kuli zwiększyła się 27razy, a
jej pole powierzchni 9 razy.
Obliczamy ile razy zwiększy objętość kuli.
Obliczamy ile razy zwiększy pole
powierzchni kuli.
Przykład 11.3.8. Do pojemnika w kształcie walca o średnicy 9 cm zawierającego pewną ilość
wody , wrzucono kulę o promieniu 3cm. Oblicz , o ile milimetrów podniesie się
poziom wody w naczyniu , wiedząc, Ŝe kula ta całkowicie zanurzyła się w wodzie.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Po wrzuceniu kuli do pojemnika poziom
wody podniósł się o h1
Dane:
R = 3cm
Szukane:
h1 = ?
Wzory:
V = V1 + V2
4
V1 = π ⋅ R 3
3
2r = 9cm
V 2 = π ⋅ r 2 ⋅ h2
V2 - objętość wody w pojemniku
V1 - objętość kuli
V = π ⋅ r 2 ⋅ (h1 + h2 )
V = V1 + V2
Obliczmy h1
π ⋅ r 2 ⋅ (h1 + h2 ) = π ⋅ R 3 + π ⋅ r 2 ⋅ h2
4
3
π ⋅ 4,5 2 ⋅ (h1 + h2 ) = π ⋅ 33 + π ⋅ 4,5 2 ⋅ h2
4
3
4
20,25π ⋅ h1 + 20,25π ⋅ h2 = π ⋅ 9 + 20,25π ⋅ h2
3
20,25π ⋅ h1 = 12π / : 20,25π
h1 =
16
160
cm =
mm ≈ 6mm
27
27
Odp.: Poziom wody w naczyniu podniósł się o
około 6 mm.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 11.3.1. (2pkt.) Oblicz objętość walca wiedząc, Ŝe jego przekrój osiowy jest
kwadratem o boku długości 6cm .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie promienia i wysokości walca.
1
2
Podanie objętości walca.
1
Ćwiczenie 11.3.2. (3pkt.) Przekątna przekroju osiowego walca d = 12cm jest nachylona do
podstawy pod kątem α = 45° . Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie wysokości walca.
1
1
2
Podanie promienia walca.
1
3
Podanie pola powierzchni całkowitej walca.
1
Ćwiczenie 11.3.3. (2pkt.) Kąt rozwarcia stoŜka α = 60° i jego promień r = 4cm .
Oblicz objętość stoŜka.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie wysokości stoŜka.
1
1
2
Podanie objętości stoŜka.
1
Ćwiczenie 11.3.4. (4pkt.) Oblicz pole powierzchni i objętość stoŜka , którego powierzchnią
boczną jest wycinek koła o promieniu 6 i kącie 120° .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie promienia stoŜka.
1
2
Podanie wysokości stoŜka
1
3
Podanie pola powierzchni stoŜka.
1
4
Podanie objętości stoŜka.
1
Ćwiczenie 11.3.5. (2pkt.) Kula o promieniu R i stoŜek mają równe objętości. Pole
powierzchni bocznej stoŜka jest trzy razy większe od pola powierzchni jego podstawy.
Znajdź wysokość stoŜka
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie promienia stoŜka.
1
2
Podanie wysokości stoŜka.
1