docRównania rekurencyjne (Kamil Piechowiak)
download 
Reklamacja Transkrypt
Równania rekurencyjne (Kamil Piechowiak)
Równania rekurencyjne Kamil Piechowiak VIII Liceum Ogólnokształcące w Poznaniu Definicja Równanie rekurencyjne – równanie definiujące ciąg w zależności od jego poprzednich elementów Przykłady: Definicja Głębokość rekurencji – liczba mówiąca o tym, o ile wyrazów należy się cofnąć, aby obliczyć n-ty wyraz ciągu Liczba wyrazów początkowych Równania pierwszego stopnia o zmiennych współczynnikach Postać ogólna: Przykłady: Rozwiązanie postaci ogólnej Metoda czynnika sumacyjnego Mnożymy równanie ogólne przez Rozwiązanie postaci ogólnej Definiujemy ciąg Wypisujemy równania: Rozwiązanie postaci ogólnej Po dodaniu stronami Przykłady Definiujemy ciąg Przykłady Wypisujemy równania Przykłady Przykłady Definiujemy ciąg Przykłady Wypisujemy równania Przykłady Równania drugiego stopnia o stałych współczynnikach Postać ogólna: Przykłady: Rozwiązanie postaci ogólnej Podstawiamy Otrzymujemy równanie charakterystyczne Rozwiązując równanie kwadratowe otrzymujemy dwa przypadki: Rozwiązanie postaci ogólnej są rozwiązaniami równania charakterystycznego, więc: Niech Wtedy Rozwiązanie postaci ogólnej Zatem jest rozwiązaniem równania rekurencyjnego. Rozwiązując układ równań: otrzymujemy p i q, a następnie postać ogólną ciągu Rozwiązanie postaci ogólnej Spełnione jest równanie Ze wzorów Viete’a: Niech Rozwiązanie postaci ogólnej Zatem ciąg spełnia równanie charakterystyczne Wcześniej wykazano, że suma wielokrotności rozwiązań jest rozwiązaniem równania, więc także jest rozwiązaniem Rozwiązanie postaci ogólnej Rozwiązując układ równań Otrzymujemy ogólnej: rozwiązanie w postaci Przykłady Rozwiązujemy równanie charakterystyczne: Uwzględniamy warunki początkowe Przykłady Zatem Przykłady Rozwiązujemy równanie charakterystyczne: Uwzględniamy warunki początkowe: Przykłady Zatem Zadanie (LVI OM, etap I, zad. 6) Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych spełniający równanie: Zadanie Z równania wynika, że ciąg jest rosnący. Zdefiniujmy ciąg . Jest to ciąg malejący, zbieżny do 0. Wzór rekurencyjny tego ciągu ma postać: Rozwiązując równanie charakterystyczne, otrzymujemy: Zadanie Ciąg Zatem, jest postaci aby ciąg był zbieżny do 0, musi być spełniona równość p=0. Wynika z tego, że jest postaci: Zadanie Z tego wzoru otrzymujemy Uzyskaliśmy sprzeczność, gdyż ma być wymierne, a jest niewymierne. Sprzeczność dowodzi, że ciąg spełniający warunki zadania nie istnieje.
