Równania kwadratowe

Równania kwadratowe
Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci:
ଶ 0
gdzie , , to współczynniki liczbowe.
Przykład
1) Dla równania kwadratowego:
2 ଶ 3 5 0
współczynniki wynoszą odpowiednio: 2, 3, 5
2) Dla równania kwadratowego:
ଶ 5 0
współczynniki wynoszą odpowiednio: 1, 0, 5
Algorytm rozwiązywania
Rozwiązywanie równania kwadratowe postaci:
ଶ 0
zaczynamy od policzenia delty (oznaczanej symbolem ∆. Wzór na deltę jest następujący:
∆ ଶ 4
•
•
Jeżeli ∆ 0 to mamy dwa rozwiązania:
ଵ √∆
2
ଶ √∆
2
Jeżeli ∆ 0 to mamy jedno rozwiązanie:
ଵ •
Jeżeli ∆ 0 to równanie nie ma rozwiązań.
2
Przykład
1) Rozwiąż równanie kwadratowe ଶ 2 3 0
Rozwiązanie:
Współczynniki równania to: 1, 2, 3.
Liczymy deltę:
∆ ଶ 4 2ଶ 4 ∙ 1 ∙ 3 4 12 16
Zatem ∆ 0 czyli mamy dwa rozwiązania:
ଵ √∆ 2 √16 6
3
2
2∙1
2
ଶ √∆ 2 √16 2
1
2
2∙1
2
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby: 3 oraz 1.
2) Rozwiąż równanie kwadratowe:
ଶ 5 0
Rozwiązanie:
Współczynniki równania to: 1, 0, 5
Liczymy deltę:
∆ ଶ 4 0ଶ 4 ∙ 1 ∙ 5 20
Zatem ∆ 0 czyli mamy dwa rozwiązania:
ଵ 0 √∆
√20
2√5
√5
2
2 ∙ 1
2
ଶ 0 √∆
2√5
√20
√5
2
2 ∙ 1
2
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby: √5 oraz √5.
Uwaga To równanie kwadratowe można było rozwiązać szybciej (nie licząc delty).
Mianowicie:
ଶ 5 0
ଶ 5
ଶ 5
√5 ∨ √5
Warto zatem zawsze zastanowić się czy nie da się rozwiązać danego równania w jakiś
prostszy sposób. Jeżeli nie widać takiego rozwiązania, to zawsze można zastosować
algorytm „z deltą”.
3) Rozwiąż równanie kwadratowe: ଶ 2 1 0
Rozwiązanie:
Współczynniki równania to: 1, 2, 1
Liczymy deltę:
∆ ଶ 4 2ଶ 4 ∙ 1 ∙ 1 4 4 0
Zatem ∆ 0 czyli mamy jedno rozwiązanie:
2
2
1
2 2 ∙ 1
2
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba: 1.
Uwaga To równanie kwadratowe również można było rozwiązać szybciej (nie licząc
delty). Mianowicie stosując wzór skróconego mnożenia:
૛ ૛ ૛
dla lewej strony równania:
ଶ 2 1 0
1ଶ 0
10
1
4) Rozwiąż równanie kwadratowe: 2 ଶ 8 0
Rozwiązanie:
Współczynniki równania to: 2, 1, 8
Liczymy deltę:
∆ ଶ 4 1ଶ 4 ∙ 2 ∙ 8 1 64 63
Zatem ∆ 0 czyli równanie nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: Nie istnieje liczba rzeczywista spełniająca równanie 2 ଶ 8 0.