RÓWNANIA KWADRATOWE

RÓWNANIA KWADRATOWE
Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci ax 2 + bx + c = 0,
Aby rozwiązać równanie kwadratowe należy znaleźć wszystkie pierwiastki trójmianu kwadratowego.
Pierwiastkami trójmianu kwadratowego są liczby, które podstawione w miejsce niewiadomej dają równość
prawdziwą.
RÓWNANIA KWADRATOWE NIEZUPEŁNE
PRZYKŁAD 1
Czynność wykonywana
Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
2
2
x2 – 42
a - b = (a + b) (a – b)
Postać iloczynowa. Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden
(x + 4) (x – 4) = 0
z czynników jest zerem
a  b  0  a  0 lub b  0
x + 4 = 0 / - 4 lub x – 4 = 0 /+ 4 W równaniu liczby są po prawej stronie równania. W pierwszym
równaniu od obydwu stron równania odejmujemy 4, w drugim
równaniu do obydwu stron równania dodajemy 4
x = - 4 lub x = 4
Pierwiastki równania
Odp.: Rozwiązaniem równanie są liczby x = - 4 lub x = 4.
Przekształcenia równań
x 2 – 16 = 0
Przekształcenia równań
x 2 - 3x = 0
x  x  3 x  0
x (x – 3) = 0
PRZYKŁAD 2
Czynność wykonywana
Wyłączamy wspólny czynnik czyli x przed nawias
Podkreślony x zapisujemy przed nawiasem, a pozostałe x i 3 w
nawiasie
Postać iloczynowa. Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden
z czynników jest zerem
a  b  0  a  0 lub b  0
w drugim równaniu do obydwu stron równania dodajemy 3
x = 0 lub x - 3 = 0 / + 3
x = 0 lub x = 3
Pierwiastki równania
Odp.: Rozwiązaniem równanie są liczby x = 0 lub x = 3.
PRZYKŁAD 3
Przekształcenia równań
Czynność wykonywana
2
Wyłączamy
wspólny
czynnik
czyli 3x przed nawias
3x - 12x = 0
Podkreślony 3x zapisujemy przed nawiasem, a pozostałe x i 4 w
3 x  x  3 4  x  0
nawiasie
Postać iloczynowa. Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden
3 x x  4   0
z czynników jest zerem
a  b  0  a  0 lub b  0
3x = 0 /:3 lub x – 4 = 0 / + 4
W pierwszym równaniu obydwie strony dzielimy przez 3, w
drugim do obydwu stron równania dodajemy 4
x = 0 lub x = 4
Pierwiastki równania
Odp.: Rozwiązaniem równanie są liczby x = 0 lub x =4.
Przekształcenia równań
x2 + 1 = 0
x2 + 1 > 0
PRZYKŁAD 4
Czynność wykonywana
x 2 jest zawsze większe lub równe 0
x 2 + 1 jest większe od 0, więc nigdy nie jest równe 0
Brak pierwiastków równania
x2 + 1 = 0
Odp.: Równanie nie ma rozwiązania.
RÓWNANIA KWADRATOWE ZUPEŁNE
Rozwiązując równanie kwadratowe należy:
- wyznaczyć wyróżnik  (delta)
Istnienie i liczba pierwiastków równania zależy od znaku wyróżnika  = b 2  4ac
1) gdy  > 0, to równanie ma dwa
pierwiastki:
b 
b 
lub x2 
x1 
2a
2a
2) gdy  = 0, to równanie ma
jeden pierwiastek:
b
x0 
2a
3) gdy  < 0, to równanie
nie ma pierwiastka
PRZYKŁAD 5
Przekształcenia równań
2x 2 + 3x – 2 = 0
 = b 2  4ac = 3 2 – 4  2  (2) = 9 + 16 = 25
b 
35
8
=
=
=-2
22
4
2a
35
2
1
b 
=
=
=
x2 
22
4
2
2a
x1 
Czynność wykonywana
Wyznaczamy wyróżnik.
Wyróżnik jest większy od zera, więc ma dwa
pierwiastki
Pierwiastki równania
Odp.: Rozwiązaniem równanie są liczby x = - 2 lub x =
1
.
2
PRZYKŁAD 6
Przekształcenia równań
- 4x 2 + 12x – 9 = 0
Czynność wykonywana
 = b 2  4ac = 12 2 – 4  (4)  (9) = 144 - 144 = 0
x0 
b
3
 12
 12
1
=
=
= =1
2
2a
2
8
2  (4)
Odp.: Rozwiązaniem równanie jest liczba x = 1
Wyznaczamy wyróżnik. Jest równy zero, więc
ma jeden podwójny pierwiastek
Pierwiastek równania
1
.
2
PRZYKŁAD 7
Przekształcenia równań
x2 – x + 1 = 0
 = b 2  4ac = 1 2 – 4 = - 3
Odp.: Równanie nie ma rozwiązania.
Czynność wykonywana
Wyznaczamy wyróżnik. Jest mniejszy od zera,
więc nie ma rozwiązania