STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich
właściwości.
WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI
2 proste w przestrzeni są równoległe, jeśli zawierają się w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów
wspólnych lub pokrywają się. 2 proste są skośne, jeśli nie istnieje płaszczyzna zawierająca obie proste.
Proste i są prostopadłe w przestrzeni gdy prosta jest prostopadła do prostej , równoległej do i
przecinającej .
Proste równoległe
Proste skośne
Proste przecinające się
Proste prostopadłe (
,
)
PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI
Prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeżeli nie ma z nią punktów wspólnych lub leży na niej. Jeżeli
prosta nie jest równoległa do płaszczyzny, wówczas prosta przecina płaszczyznę w punkcie. Prosta jest
prostopadła do płaszczyzny, jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie.
KĄT POMIĘDZY PROSTĄ I PŁASZCZYZNĄ
Jeśli prosta nie jest ani równoległa ani prostopadła do płaszczyzny, to kątem nachylenia prostej do
płaszczyzny nazywamy kąt ostry pomiędzy prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.
TWIERDZENIE O 3 PROSTYCH PROSTOPADŁYCH
Niech
będzie prostą, która nie jest równoległa i nie jest prostopadła do płaszczyzny, a prostą
zawierającą się w płaszczyźnie i przechodzącą przez punkt wspólny prostej i płaszczyzny. Prosta jest
prostopadła do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do rzutu prostej na płaszczyznę.
Prosta prostopadła do
płaszczyzny
1
Kąt pomiędzy prostą i
płaszczyzną
Prosta leżąca na płaszczyźnie
prostopadła do prostej przecinającej
płaszczyznę
PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI
Płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie wyznaczają:
3 niewspółliniowe
punkty
2 przecinające się
proste
Prosta i punkt poza nią
2 różne proste
równoległe
Płaszczyzny nazywamy równoległymi, jeżeli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.
Płaszczyzny, które nie są równoległe przecinają się. Częścią wspólną dwóch przecinających się
płaszczyzn jest prosta. Dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeżeli istnieje taka prosta, która
zawiera się w jednej z tych płaszczyzn i jest prostopadła do drugiej płaszczyzny.
Płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej
Płaszczyzny prostopadłe
Kątem dwuściennym nazywamy zbiór złożony z dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednej z
dwóch figur wyciętych z przestrzeni przez sumę tych półpłaszczyzn.
Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy kąt płaski otrzymany w wyniku przecięcia kąta
dwuściennego płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi. Miarą kąta dwuściennego nazywamy miarę
jego kąta liniowego.
Odległość punktu od płaszczyzny jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na
płaszczyznę.
A' - rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę p.
- odległość punktu A od płaszczyzny p.
Kąt dwuścienny
2
Odległość punktu od płaszczyzny
FIGURY PRZESTRZENNE (BRYŁY)
Figurę nazywamy przestrzenną (bryłą), jeżeli nie zawiera się w żadnej płaszczyźnie. Figurę w przestrzeni
nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnej kuli. Figurę w przestrzeni nazywamy
nieograniczoną, jeżeli nie zawiera się w żadnej kuli.
WIELOŚCIANY
Bryłę nazywamy wielościanem, jeżeli jej brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów, zwanych
ścianami wielościanu, przy czym:
1. Jeśli dwa wielokąty zawierają się w jednej płaszczyźnie, to mają co najwyżej jeden punkt wspólny,
2. Każde dwa punkty brzegowe bryły można połączyć łamaną zawartą w jej brzegu.
Boki ścian wielościanu nazywamy krawędziami, a wierzchołki ścian - wierzchołkami wielościanu.
Twierdzenie Eulera. Jeśli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to
GRANIASTOSŁUP
Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwana podstawami, są przystającymi
wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są
równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw.
Graniastosłupy dzielimy na:
 proste – krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw
 pochyłe – jego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw
 prawidłowe – o podstawach będących wielokątami foremnymi
 równoległościany – podstawą jest równoległobok, a przeciwległe ściany są równoległe
 prostopadłościany – wszystkie ściany to prostokąty
 sześciany – wszystkie ściany to kwadraty
Wysokość graniastosłupa jest to odległość między podstawami. Przekątna graniastosłupa jest to odcinek
łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie.
OSTROSŁUP
Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego podstawa jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są
trójkątami o wspólnym wierzchołku S, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Wysokość ostrosłupa
to odległość wierzchołka od podstawy.Ostrosłupy dzielimy na:
 proste – na podstawie których można opisać okrąg, a punkt w którym wysokość styka się z
podstawą, jest jednocześnie środkiem tego okręgu
 czworościany – o podstawie trójkąta
 prawidłowe –krawędzie boczne są równej długości a podstawą jest wielokąt foremny
KĄTY W W GRANIASTOSŁUPACH I OSTROSŁUPACH
Kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy (zarówno dla graniastosłupa jak i ostrosłupa)
nazywamy kąt pomiędzy prostą prostopadłą do krawędzi podstawy, leżącą w płaszczyźnie tej ściany i
podstawą. Kątem nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy nazywamy zaś kąt pomiędzy tą
krawędzią i podstawą. Kąt nachylenia ścian bocznych jest to kąt pomiędzy płaszczyznami tych ścian.
3
Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są
przystającymi wielokątami foremnymi. Oto WSZYSTKIE PIĘĆ wielościanów foremnych:
czworościan
sześcian
ośmiościan
dwunastościan
dwudziestościan
BRYŁY OBROTOWE
Są to bryły ograniczone powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu).
Najważniejsze bryły obrotowe to:
Walec. Bryła powstała w
Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h,
wyniku obrotu prostokąta
to:
wokół jednej z krawędzi
Pole powierzchni bocznej walca
Pole powierzchni całkowitej walca
Objętość walca
Stożek. Bryła powstała w
wyniku obrotu trójkąta
prostokątnego wokół
przyprostokątnej
Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, a
tworząca l to:
Pole powierzchni bocznej stożka
Pole powierzchni całkowitej stożka
Objętość stożka
Kula. Bryła powstała w
wyniku obrotu koła wokół
jego średnicy
Jeżeli promień kuli wynosi r, to:
Pole powierzchni kuli (sfery)
Objętość kuli
Przykładowe zadania
Zadanie 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany bocznej jest trzy razy mniejsze
od pola podstawy.
Obliczyć objętość tego ostrosłupa przyjmując, że długość krawędzi podstawy wynosi 14cm.
Wyznacz sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa.
Rozwiązanie. Ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup o podstawie kwadratu. Jego ściany boczne
to trójkąty równoramienne. Do wyznaczenia objętości
potrzebna jest nam wysokość ostrosłupa.
Oznaczmy ją . Pole podstawy
. Zatem pole ściany bocznej
. Skoro mamy pole
możemy wyznaczyć wysokość ściany bocznej .
.
4
Ostatecznie:
√
√
√
Wreszcie, z twierdzenia Pitagorasa mamy:
√
.
√
Sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi wyznaczymy ze stosunku
Teraz musimy skorzystać ze znajomości tożsamości trygonometrycznych. Otóż:
Oczywiście
√
√
Ostatecznie mamy
Zadanie 2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi jest równa 48, a
pole powierzchni całkowitej 90. Oblicz długości krawędzi graniastosłupa i jego objętość.
Rozwiązanie. Ponieważ graniastosłup ten ma u podstawy kwadrat, oznaczmy krawędzie graniastosłupa
odpowiednio
. Objętość graniastosłupa
. Mamy dane:
i
Z pierwszego równania wyliczamy
, po czym podstawiamy do drugiego. Otrzymujemy
. Nietrudno sprawdzić, że równanie ma 2 rozwiązania:
i
,
którym odpowiadają
i
.
Zadanie 3 Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 8,
a jeden z kątów ma miarę 30O. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę
jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie. Obliczmy przyprostokątne trójkąta w podstawie.
√
√
√
√
Liczmy pole powierzchni całkowitej i objętość:
√
√
√
√
√
√
Zadanie 4 W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy R = 8 umieszczono dwie kule o
promieniu r = 5 , w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca,
jak na rysunku. Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły.
Oblicz objętość tego walca.
Rozwiązanie. W pojemniku o najmniejszej wysokości kule są do siebie styczne oraz są styczne do
podstaw pojemnika. Wysokość pojemnika możemy podzielić na trzy odcinki AD , BC i CE . Pierwszy i
5
trzeci mają długość r = 5 a długość drugiego możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABC .
Zauważmy, że długość odcinka AB to średnica podstawy walca minus dwa promienie wpisanych kul.
Zatem:
√
Zatem wysokość walca wynosi:
a jego objętość:
6
√
ZADANIA SPRAWDZAJĄCE
1.
Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach
jeśli:
a)
√
b)
√
√
√
c)
√
2.
Oblicz objętość sześcianu jeśli jego przekątna ma długość .
3.
Oblicz długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o polu
powierzchni bocznej
i objętości √ .
4.
Suma długości krawędzi dwóch sześcianów wynosi
długości krawędzi tych sześcianów.
5.
W prostopadłościanie przekątna o długości nachylona jest do podstawy pod kątem .
Przekątna podstawy tworzy z bokiem podstawy kąt . Oblicz objętość prostopadłościanu.
6.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a wysokość .
Oblicz wysokość ściany bocznej i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
7.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku
a krawędzie boczne nachylone są
do podstawy pod kątem
. Znajdź objętość tego ostrosłupa.
8.
Znajdź pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości
kącie płaskim przy wierzchołku tego ostrosłupa.
9.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnej długości .
Wiedząc że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość oblicz objętość tego
ostrosłupa.
10.
Prostokąt o bokach 3 i 4 obrócono wokół krótszego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni
całkowitej tego walca.
11.
Oblicz objętość walca o polu powierzchni całkowitej
12.
Oblicz pole przekroju osiowego walca jeżeli przekątna przekroju osiowego ma długość
pole powierzchni bocznej wynosi
.
13.
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o wysokości i tworzącej
14.
Oblicz objętość bryły powstałej po obrocie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych
dookoła przeciwprostokątnej.
15.
Oblicz objętość stożka którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny o wysokości .
16.
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym którego przeciwprostokątna ma długość
. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
17.
Oblicz średnicę kuli o objętości równej sumie objętości kuli o średnicy
8.
18.
Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w sześcian do objętości tego sześcianu.
19.
W sześcian o krawędzi
20.
Ile razy trzeba zwiększyć długość promienia kuli by jej objętość wzrosła dwukrotnie?
7
a suma ich objętości
. Oblicz
i polu powierzchni bocznej
i
.
,a
.
i
oraz kuli o średnicy
wpisano kulę. Oblicz pole powierzchni i objętość tej kuli.