OpenAGH e-podręczniki | Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora

Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Autor: Tomasz Zabawa
Możemy obliczyć pochodną funkcji pochodnej. W ten sposób otrzymujemy pochodną rzędu drugiego zadanej funkcji, a także
pochodne wyższych rzędów. Pojęcie pochodnych wyższych rzędów znajduje zastosowanie między innymi we wzorze Taylora,
który umożliwia przybliżanie funkcji w lepszy sposób niż robi to różniczka funkcji czy geometrycznie styczna.
DEFINICJA
Definicja 1: Pochodna rzędu n funkcji w punkcie
Niech n ∈ N.
Pochodną (właściwą) rzędu n funkcji f w punkcie x0 (lub pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 ) oznaczamy przez
f (n)(x0 ) i definiujemy jako
o ile funkcja f
(n−1)
f (1)(x0 ) = f ′ (x0 ).
′
f (n)(x0 ) = [f (n−1)] (x0 )
dla n ≥ 2,
jest określona w otoczeniu punktu x0 i istnieje pochodna funkcji f (n−1) w punkcie x0 . Przyjmujemy, że
DEFINICJA
Definicja 2: Funkcja pochodna rzędu n
Funkcję określoną w przedziale I , której wartości w punktach x ∈ I są równe f (n) (x), nazywamy funkcją pochodną rzędu n
funkcji f w przedziale I lub pochodną n-tego rzędu funkcji f w przedziale I , lub też n-tą pochodną funkcji f w przedziale I i
oznaczamy f (n) dla n ∈ N.
UWAGA
Uwaga 1:
Pochodne wyższych rzędów oznaczamy również w następujący sposób:
Ponadto przyjmuje się oznaczenie:
UWAGA
Uwaga 2:
f (2)(x0 ) = f ′′ (x0 ),
f (3)(x0 ) = f ′′′ (x0 ).
f (0)(x0 ) = f(x0 ).
Dla istnienia pochodnej rzędu n funkcji f w punkcie x0 konieczne jest istnienie f (n−1) w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Natomiast dla istnienia pochodnej rzędu n funkcji f w przedziale otwartym I konieczne jest istnienie f (n−1) w tym samym
przedziale otwartym I , ponieważ dla każdego punktu z przedziału otwartego istnieje otoczenie tego punktu, które zawiera
się w tym przedziale. Są to warunki konieczne istnienia pochodnej rzędu n, ale nie są to warunki wystarczające, czyli jest
możliwa sytuacja, gdy istnieje pochodna rzędu n − 1 danej funkcji, ale pochodna rzędu n już nie.
UWAGA
Uwaga 3:
Definicja pochodnej rzędu n funkcji w punkcie jest nazywana definicją indukcyjną, ponieważ pochodną rzędu n definiujemy
za pomocą pochodnej rzędu n − 1, czyli definiujemy pojęcie dla n ∈ N za pomocą tego samego pojęcia określonego dla
liczb naturalnych mniejszych od n.
Indukcyjnie również definiujemy pochodne jednostronne wyższego rzędu:
DEFINICJA
Definicja 3: Pochodna lewostronna rzędu n funkcji w punkcie
Niech n ∈ N.
Pochodną lewostronną (właściwą) rzędu n funkcji f w punkcie x0 oznaczamy przez f−(n) (x0 ) i definiujemy jako
′
o ile funkcja f
(n−1)
f−(n)(x0 ) = [f (n−1)] (x0 )
−
dla n ≥ 2,
jest określona w otoczeniu lewostronnym punktu x0 i istnieje pochodna lewostronna funkcji f (n−1) w
punkcie x0 . Przyjmujemy, że f−(1) (x0 ) = f−′ (x0 ).
DEFINICJA
Definicja 4: Pochodna prawostronna rzędu n funkcji w punkcie
Niech n ∈ N.
(n)
Pochodną prawostronną (właściwą) rzędu n funkcji f w punkcie x0 oznaczamy przez f+ (x0 ) i definiujemy jako
′
f+(n)(x0 ) = [f (n−1)] (x0 )
+
dla n ≥ 2,
o ile funkcja f (n−1) jest określona w otoczeniu prawostronnym punktu x0 i istnieje pochodna prawostronna funkcji f (n−1) w
(1)
punkcie x0 . Przyjmujemy, że f+ (x0 ) = f+′ (x0 ).
Pochodną wyższego rzędu w przedziale definiujemy analogicznie do pochodnej rzędu pierwszego w przedziale:
DEFINICJA
Definicja 5: Pochodna rzędu n funkcji w przedziale
Mówimy, że funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale otwartym (a, b) , gdzie −∞ ≤ a < b ≤ ∞, gdy funkcja f ma
pochodną rzędu n w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale domkniętym [a, b] , gdzie −∞ < a < b < ∞, gdy funkcja f ma
pochodną rzędu n w przedziale otwartym (a, b) i pochodną prawostronną rzędu n w a i pochodną lewostronną rzędu n w
b.
Mówimy, że funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale (a, b] , gdzie −∞ ≤ a < b < ∞, gdy funkcja f ma pochodną
rzędu n w przedziale otwartym (a, b) i pochodną lewostronną rzędu n w b.
Mówimy, że funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale [a, b) , gdzie −∞ < a < b ≤ ∞, gdy funkcja f ma pochodną
rzędu n w przedziale otwartym (a, b) i pochodną prawostronną rzędu n w a.
PRZYKŁAD
Przykład 1:
2
Obliczyć pochodną rzędu drugiego (czyli drugą pochodną) funkcji f(x) = ex oraz pochodną rzędu trzeciego (czyli trzecią
pochodną) funkcji g(x) = x3 .
f ′′ (x) = (ex )′′ = (ex 2x)′ = ex 2x2x + ex 2 = ex (4x2 + 2)
2
2
2
2
2
g ′′′ (x) = (x3 )′′′ = (3x2 )′′ = (3 ⋅ 2x)′ = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
Zauważmy, że gdybyśmy policzyli piątą pochodną funkcji x5 otrzymamy też liczbę: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5!. I tak dalej. Są to
szczególne przypadki następującej obserwacji:
UWAGA
Uwaga 4:
Niech Wn będzie wielomianem stopnia n ∈ N o współczynniku an przy xn , czyli
Wn (x) = an xn + an−1 xn−1 +. . . +a1 x + a0 . Wtedy:
(n)
Wn (x) = n! ⋅ an ,
(n+1)
Wn
(x) = 0.
Wykorzystując pochodne wyższych rzędów możemy sformułować twierdzenie o wzorze Taylora.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1: o wzorze Taylora z resztą Lagrange'a
Jeżeli
[ 0 , x]
1. funkcja f ma ciągłą pochodną (właściwą) rzędu n w przedziale [x0 , x],
2. funkcja f ma pochodną (właściwą) rzędu n + 1 w przedziale (x0 , x),
to
istnieje c ∈ (x0 , x) takie, że
f(x) = f(x0 ) +
gdzie Rn =
f (n+1) (c)
(n+1)!
(x − x0 )n+1 .
f ′ (x0 )
1!
(x − x0 ) +
f ′′ (x0 )
2!
(x − x0 )2 +. . . +
f (n) (x0 )
n!
(x − x0 )n + Rn ,
f (n) (x0 )
n!
(x − x0 )n + Rn ,
Twierdzenie jest prawdziwe również dla przedziału [x, x0 ].
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2: o wzorze Taylora z resztą Lagrange'a
Jeżeli
1. funkcja f ma ciągłą pochodną (właściwą) rzędu n w przedziale [x, x0 ],
2. funkcja f ma pochodną (właściwą) rzędu n + 1 w przedziale (x, x0 ),
to
istnieje c ∈ (x, x0 ) takie, że
f(x) = f(x0 ) +
gdzie Rn =
f (n+1) (c)
(n+1)!
(x − x0 )n+1 .
f ′ (x0 )
1!
(x − x0 ) +
f ′′ (x0 )
2!
(x − x0 )2 +. . . +
UWAGA
Uwaga 5:
Wyrażenie
f ′ (x0 )
1!
f ′′ (x )
(x − x0 ) + 2! 0 (x − x0 )2 +. . . +
nosi nazwę wielomianu Taylora stopnia n w punkcie x0 , natomiast
f(x0 ) +
Rn =
jest nazywane n-tą resztą Lagrange'a w punkcie x0 .
f (n+1) (c)
(n+1)!
f (n) (x0 )
n!
(x − x0 )n
(x − x0 )n+1
UWAGA
Uwaga 6:
Wzór Taylora dla x0 = 0, czyli wzór postaci:
gdzie Rn =
(n+1)
f
(c)
(n+1)!
f(x) = f(0) +
f ′ (0)
1!
x+
f ′′ (0)
2!
x2 +. . . +
f (n) (0)
n!
xn + Rn ,
xn+1 , a c leży między liczbami 0 i x, nosi nazwę wzoru Maclaurina. Analogicznie do wzoru Taylora w
ogólnej postaci wyrażenie
f(0) +
x+
2 +. . . +
(n)
(0)
n
f ′ (0)
f ′′ (0)
2!
f(0) + 1! x +
nosi nazwę wielomianu Maclaurina stopnia n, natomiast
x2 +. . . +
f (n+1) (c)
(n+1)!
Rn =
jest nazywane n-tą resztą Lagrange'a.
f (n) (0)
n!
xn
xn+1
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Wyznaczmy wzór Taylora dla funkcji f(x) = 2x w x0 = 1 z resztą R5 oraz dla funkcji g(x) = sin x w x0 = π z resztą R5 i
R6 . Dla funkcji f mamy:
f(x) = 2x ,
f(1) = 2,
f ′′ (x) = 2x (ln 2)2 ,
f ′′ (1) = 2(ln 2)2 ,
f ′′′ (x) = 2x (ln 2)3 ,
f ′′′ (1) = 2(ln 2)3
f ′ (x) = 2x ln 2,
i tak dalej, zatem dla n ∈ N:
Stąd
f (n)(x) = 2x (ln 2)n ,
2x =
=
f ′ (1) = 2 ln 2,
2+
f (n)(1) = 2(ln 2)n .
2(ln 2)2
2(ln 2)3
2 ln 2
(x − 1) +
(x − 1)2 +
(x − 1)3 +
1!
2!
3!
2(ln 2)4
2(ln 2)5
(x − 1)4 +
(x − 1)5 + R5 ,
4!
5!
(x − 1)6 , a c leży między argumentami x i 1.
+
gdzie R5 =
2c (ln 2)6
6!
Natomiast dla funkcji g mamy:
g(x) = sin x
g(π) = 0
g ′′ (x) = − sin x,
g ′′ (π) = 0,
′
g ′ (π) = −1,
g (x) = cos x,
g ′′′ (x) = − cos x,
g ′′′ (π) = 1,
g (4)(x) = sin x,
g (4)(π) = 0,
g (5)(x) = cos x,
g (5)(π) = −1,
g (6)(x) = − sin x,
g (6)(π) = 0,
g (7)(x) = − cos x.
Zatem
(x − π)3 −
6
gdzie R5 = − sin c (x − π) , a c leży między argumentami x i π.
6!
Natomiast
sin x = −
1
1!
(x − π) +
1
3!
sin x = −
1
1!
(x − π) +
1
3!
(x − π)3 −
^
7
gdzie R6 = − cos c (x − π) , a c^ leży między argumentami x i π.
7!
PRZYKŁAD
Przykład 3:
1
5!
(x − π)5 + R5 ,
1
5!
(x − π)5 + R6 ,
Wyznaczmy wzór Maclaurina dla funkcji f(x) = ex z resztą R5 oraz wielomian Maclaurina stopnia n funkcji f .
W przypadku wzoru Maclaurina nie mamy podanego x0 , bo z definicji x0 = 0.
Zauważmy, że dla dowolnego n ∈ N:
Stąd
gdzie R5 =
ec
6!
czyli
f (n)(x) = ex
f (n)(0) = 1.
i
1
1!
x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + 4!1 x4 + 5!1 x5 + R5 ,
x6 , a c leży między argumentami x i 0. Natomiast wielomian Maclaurina stopnia n funkcji f ma postać:
1 + 1!1 x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + 4!1 x4 + 5!1 x5 +. . . + n!1 xn
ex = 1 +
∑nk=0
xk
k!
.
UWAGA
Uwaga 7:
Wzór Taylora pozwala przybliżyć zadaną funkcję wielomianem. Gdy rozważamy wielomian Taylora stopnia pierwszego, to
otrzymujemy przybliżenie funkcji analogiczne do przybliżenia przez różniczkę funkcji:
f(x) ≈ f(x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ).
Im wyższy stopień wielomianu Taylora tym dokładniejsze jest przybliżenie funkcji. W szczególności zauważmy, że błąd
przybliżenia funkcji przez wielomian Taylora stopnia n spełnia warunek:
lim
f(x)−(f(x0 )+
x→x0
f ′ ( x 0)
1!
(x−x0 )+...+
(x−x0 )n
f (n)(x 0)
n!
(x−x0 )n )
= 0.
Na podstawie tego wzoru możemy powiedzieć, że błąd jaki popełniamy przybliżając funkcję przez wielomian Taylora
Rn
n
x→x0 (x−x0 )
stopnia n dąży do zera szybciej niż (x − x0 ) . Powyższy wzór możemy również zapisać w postaci: lim
n
= 0.
Ilustracją graficzną tej uwagi niech będą wykresy funkcji i ich przybliżeń przez wielomiany Taylora wyliczone w ostatnich
przykładach.
Rysunek 1: Wykres funkcji f(x) = 2x oraz wykres jej wielomianu Taylora stopnia 5 w x0 = 1.
Zwróćmy uwagę, że dla funkcji g(x) = sin x wielomianu Taylora stopnia 5 w x0 = π i wielomianu Taylora stopnia 6 w x0 = π ma
identyczną postać, bo g (6) (π) = 0.
Rysunek 2: Wykres funkcji g(x) = sin x oraz wykres jej wielomianu Taylora stopnia 5 (lub 6) w x0 = π.
Rysunek 3: Wykres funkcji f(x) = e x oraz wykres jej wielomianu Maclaurina stopnia 5.
Należy jednak zaznaczyć, że wykresy powyższych funkcji i ich wielomianów Taylora nie pokrywają się w żadnym przedziale.
Dla funkcji różniczkowalnej wystarczająco wiele razy możemy, szacując resztę Rn , ustalić stopnień wielomianu Taylora w punkcie
x0 , tak aby przybliżenie danej funkcji przez ten wielomian Taylora miało zadaną z góry dokładność, czyli błąd przybliżenia był
mniejszy lub równy od zadanej wartości. W szczególności przy pomocy wzoru Taylora możemy określić przybliżoną wartość
funkcji dla zadanego argumentu z zadaną z góry dokładnością.
PRZYKŁAD
Przykład 4:
Korzystając ze wzoru Maclaurina dla funkcji f(x) = ex , obliczmy z dokładnością do 0,0001 wartość liczby e. Wielomian
Maclaurina stopnia n funkcji f(x) = ex ma postać:
a n-ta reszta Rn =
c
e
(n+1)!
x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + 4!1 x4 + 5!1 x5 +. . . + n!1 xn ,
xn+1 , gdzie c ∈ (0, 1). Zauważmy, że e = e1 = f(1). Chcemy określić wartość e z dokładnością
1+
1
1!
do 0, 0001, czyli aby Rn ≤ 0, 0001, zatem
ec
(n+1)!
1n+1 ≤
1
10000
.
Nie znamy wartości c, wiemy jedynie, że c ∈ (0, 1), więc c zastępujemy liczbą, dla której powyższe wyrażenie przyjmie
wartość większą lub równą od wartości dla dowolnego c ∈ (0, 1). Jeżeli tak postąpimy, to nasze oszacowanie błędu będzie
dobre niezależnie, jaka jest rzeczywista wartość c. Wiemy, że liczba e jest mniejsza od 3, zatem ec < e1 < 3 dla każdego
c ∈ (0, 1)
c ∈ (0, 1). W tej sytuacji chcemy, aby
3
(n+1)!
≤
1
10000
⇔ (n + 1)! ≥ 30000.
Zauważmy, że 7! = 5040, a 8! = 40320, więc dobrą wartością n będzie liczba naturalna taka, że n + 1 = 8. Wnioskujemy
stąd, że wystarczy obliczyć wartość wielomianu Maclaurina stopnia 7 dla x = 1 i otrzymamy szukaną przybliżoną wartość
e≈ 1+
z dokładnością do 0,0001.
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
=
685
252
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2015-11-04 10:46:28
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=050b1a350863fcaef74d23a053e7160a
Autor: Tomasz Zabawa