Grudziądzki Konkurs Matematyczny 2008 Klasy Technikum i Liceum

1
Grudziądzki Konkurs Matematyczny
2008
Klasy Technikum i Liceum
4.1 Funkcja liniowa
str. 2
4.2 Funkcja kwadratowa
str. 3
4.3 Wielomiany i funkcje wymierne
str. 4
4.4 Geometria analityczna
str. 6
4.5 Geometria
str. 7
2
4.1 Funkcja liniowa
Zad. 1 Funkcja g opisana jest wzorem:
Naszkicuj wykres funkcji i wyznacz przedziały monotoniczności i miejsca zerowe.
Zad.2 Wielkości z i t, występujące w tabelce, związane są z zależnością
, gdzie a jest wartością stałą. Dokonano
sześciu pomiarów zmiennej t i odpowiadającej wartości z. Zauważono że jeden z pomiarów należy uznać za błędny. Wskaż
błędny pomiar i ustal liczbę a.
t
1
0,5 -2
-3
5
10
z 2,5 1,25 -5 -7,5 10,5 25
Zad. 3 Funkcja f jest rosnącą funkcją liniową. Funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy
. Wyznacz miejsce zerowe funkcji f.
Zad. 4 Funkcja f jest jest funkcją liniową,
oraz
. Wyznacz wzór funkcji f i oblicz jej największą wartość
w przedziale
.
Zad. 5 Funkcja f jest malejącą funkcją liniową. W przedziale
osiąga wartość największą równą 6 i wartość najmniejszą
równą 3. Naszkicuj wykres funkcji f w podanym przedziale i znajdź jej wzór.
Zad6. Naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem
. Podaj zbiór wartości funkcji
.
Zad. 7 Dana jest funkcja
dla
1. Naszkicuj wykres funkcji f,
2. Naszkicuj wykres funkcji
,
3. Naszkicuj wykres funkcji
.
Zad. 8 Dana jest funkcja
. Wyznacz parametr m, tak aby:
a)
Do wykresu należał punkt
,
b)
Miejscem zerowym była liczba
,
c)
Funkcja była malejąca.
Zad. 9 Naszkicuj wykres funkcji
. Odczytaj z wykresu miejsca zerowe i przedziały
monotoniczności funkcji f.
Zad. 10 Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc że jej wykres przechodzi przez punkt
i jest nachylony do
osi OX pod kątem
.
Zad.11 Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc że miejscem zerowym funkcji jest liczba 2 i do wykresu funkcji należy punkt
.
Zad. 12 Wyznacz wzór funkcji liniowej oraz kąt nachylenia wykresu tej funkcji do osi OX, jeśli wiadomo że do jej wykresu
należą punkty
oraz
.
Zad.13 Trzy miasta A, B, C są tak położone, że długość drogi z A do C przez miasto B jest równa 90 km, z B do A przez C –
61 km, a z C do B przez A – 69 km. Oblicz odległość między tymi miastami.
Zad. 14 Oblicz pole figury wyznaczonej przez układ nierówności:
,
,
.
Zad. 15 Dwie siostry mają razem 41 lat, a ich matka jest dwa razy starsza od starszej z sióstr. Za 5 lat wszystkie razem będą
miały 100 lat. Ile lat ma każda z sióstr, a ile ich matka?
Zad. 16 Oblicz cenę dyskietki i taśmy do drukarki, wiedząc że taśma jest o 12 zł droższa od dyskietki, a za pięć dyskietek i
taśmę zapłacono 33 zł.
Zad. 17 Klub sportowy przeznaczył na kupno 28 dresów kwotę w wysokości 2860 zł. Zamierza kupić dresy w dwóch
gatunkach. Jaką największą liczbę dresów pierwszego gatunku może kupić ten klub, jeśli wiadomo że dres pierwszego gatunku
kosztuje 125 zł, a dres drugiego gatunku 80 zł.
Zad.18 Pewna firma produkuje samochodziki dla dzieci. Koszty produkcji w czasie 1 miesiąca opisuje funkcja
(zł), gdzie 2000 jest kosztem stałym, a 25 jest kosztem wyprodukowania jednego samochodziku, zaś x
jest liczbą samochodzików.
5. Ile samochodzików wyprodukowano w miesiącu, w którym poniesiono koszty 27000?
6. Jaki był zysk firmy w miesiącu, w którym wyprodukowano 1400 samochodzików i sprzedano je po 60 zł za sztukę?
Zad. 19 W ciągu trzech godzin samolot przeleciał z wiatrem drogę długości 1134 km. Lecąc pod wiatr z taką samą prędkością
przeleciał w czasie jednej godziny 342 km. Jaka jest prędkość samolotu, a jaka wiatru?
Zad. 20 Zebrano 6 kg świeżych grzybów zawierających 90% wody. Ile będą wazyły te grzyby po wysuszeniu, jeśli zawartość
wody spadnie do 40%.
3
4.2 Funkcja kwadratowa
Zadanie 1. Wiedząc, że f(x)=x2+3x, gdzie x∈R, rozwiąż równanie f(2x) = f(2+x) i podaj jego całkowite rozwiązania.
Zadanie 2 Miejscami zerowymi pewnej funkcji kwadratowej f są liczby –3 i 5, a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział <
–12, ∞ ).
a) Podaj wzór funkcji
b) określ przedziały monotoniczności funkcji.
Zadanie 3 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji określonej wzorem
f(x) = -2(x + 3)(x - 4) w przedziale < –1, 3 >.
Zadanie 4 Rozwiązaniem nierówności ax2 + bx + c ≤ 0 jest przedział <2 , 4 >, a wykres funkcji
y = ax2 + bx + c przecina oś OY w punkcie ( 0 , 8 ). Wyznacz współczynniki a i b
Zadanie 5 Dana jest funkcja f(x)= 2x2 + bx + c.Wyznacz współrzędne wierzchołka
paraboli, jeśli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby 3 i 5
Zadanie 6 |Funkcja f określona jest wzorem: f(x) = mx2+4x+1. Wyznacz te wartości
parametru m, dla których wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji f, leży nad
prostą y = - x – 5
Zadanie 7 Na podstawie rysunku 1 podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej
Zadanie 8 Na rysunku 2 przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f:
a) Napisz wzór funkcji.
b) podaj przedziały monotoniczności.
c) podaj zbiór wartości funkcji
Zadanie 9 Dla jakich wartości parametru m funkcja określona wzorem f(x) = (m - 2)x2 3x + m+2 przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x∈R ?
Zadanie 10 |Dla jakich wartości c funkcje określone wzorami
f(x) = -x2 + c i g(x) = x2 + 2x – 5 mają rozłączne zbiory wartości ?
Rys. 1
Zadanie 11 |Chodziarz idzie z prędkością v [ m/s ] określoną wzorem
v(t) = 0,25 t – 0,01 t2, gdzie t oznacza czas w sekundach, jaki minął od startu.
a)jaką maksymalną prędkość osiągnął chodziarz ?
b)ile czasu szedł ?
Zadanie 12 Funkcja kwadratowa określona wzorem f(x) = x2 +bx +c przyjmuje wartości
ujemne tylko dla x∈ (-2,1).Wyznacz zbiór wartości funkcji.
Zadanie 13 Ratownik mający linę długości 80 m chce przy brzegu plaży wytyczyć dla
dzieci kąpielisko w kształcie prostokąta o największym obszarze. Jakie wymiary
powinno mieć to kąpielisko?
Zadanie 14 Napisz wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji
określonej wzorem f(x) = x2 – x - 2 względem prostej y =1.
Zadanie 15 |Dane są funkcje f(x)=x2 i g(x)=2 – x2
a) Dla jakich x zachodzi równość f(x) = g(x) ?
Rys. 2
 y ≥ x2
b) Przedstaw w układzie współrzędnych graficzne rozwiązanie układu nierówności 
2
 y ≤ 2− x
Zadanie 16 Właściciel księgarni sprzedaje miesięcznie 20 egzemplarzy danej książki w cenie 40 zł. Obniżka ceny książki o 1
zł powoduje przeciętnie zwiększenie sprzedaży o jeden egzemplarz miesięcznie. Jaką cenę książki powinien zaproponować
właściciel księgarni, aby jego utarg był maksymalny?
Zadanie 17 Liczbę 51 przedstaw w postaci sumy dwóch liczb tak, aby suma kwadratów tych liczb była najmniejsza ?
Zadanie 18 Znajdź takie dwie liczby, których różnica jest równa 10, a iloczyn jest najmniejszy z możliwych.
Zadanie 19 W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki
zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z wierzchołków leży w przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary
prostokąta, aby jego pole było największe.
Zadanie 20 Funkcja kwadratowa y = ax2 + bx + 1 maleje w przedziale < 2 , + ∞ ), a jej zbiorem wartości jest przedział
( - ∞ ,5 >. Wyznacz współczynniki a i b.
4
4.3 Wielomiany i funkcje wymierne
Zad. 1 Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W ( x ) = x3 – ax2 – 2x + b, wiedząc, że
W ( 1 ) = 3 oraz w ( 0 ) = -2.
Zad. 2 Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia x3 + y3, wiedząc , że x +y = 2.
Zad. 3 Dane są wielomiany: Q(x) = x4 -8x3 + 22x2 -24x+9 oraz P(x) = 2x3 – 9x2 +7x +6. Oblicz wartości m i n dla których
wielomian W(x) = x4 + ( m – 4 )x3 – ( 2n + 6 )x2 – 38x – 3 jest równy wielomianowi Q(x) – 2 P(x).
Zad.4 Wielomian W(x) czwartego stopnia ma następujące pierwiastki: 0, -4, 5, ½. Rozwiąż nierówność: W(x) ≤ 0, wiedząc,
że: W(1) = 12
Zad 5. Dane są wielomiany:
W(x) = x2 - x,
P(x) = 2ax -0,5b
Q(x) = x3 – 2x2 –x + 2
Dla jakich wartości parametrów a oraz b spełniona jest równość: W ( x ) P ( x ) = Q ( x ) ?
Zad 6. Zbuduj wielomian stopnia n, który ma dokładnie dwa pierwiastki r,s , gdy
a )n=2 , r=2 , s=-3
b )n=4 , r=1 , s=2
Zad 7. Dla jakich wartości parametru m rzeczywistego wielomian
W (x)= (x-2)(x-3+m)(x-1-m)
a) ma jeden pierwiastek
b) ma dwa różne pierwiastki
c) ma trzy różne pierwiastki?
Zad 8. Dla jakich wartości parametru m całkowitego wszystkie pierwiastki równania
(x-m)(x-m-3)(x+10m-19) są dodatnie? Dla znalezionej wartości m rozwiąż nierówność
(x-m)(x-m-3)(x+10m-19)>0
Zad 9. Dla podanego wielomianu W(x) = (x+1)(2x-3)(x+1,5) określ stopień, oblicz jego pierwiastki i podaj dla jakich wartości
x wielomian przyjmuje wartości nieujemne.
Zad 10. Napisz wielomian najniższego stopnia mając zbiór jego pierwiastków
d)
{ 1, -2, 3, -4 }
e)
{ 1, -2, m-1, 5-m } uzasadnij odpowiedź w tym przypadku od wartości parametru m
Zad. 11 Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia
4
3
a+ 1
;
+
− 2
a+ 2 a− 2 a − 4
4x  
4 

m 2 − 36 m 2 − 6m
c)
 x + 1−
 x − 1+
;
:
x + 1 
x − 1

m+ 2
m2 − 4
2
( x − 4 y )( x − 2 y ) − ( x − 2 y )
Zad. 12 Oblicz wartość liczbową wyrażenia
dla x=1,2 i y=1,5
( 2 x − y )( 2 x + y ) − ( 2 x + y ) 2
a)
b)
Zad. 13 Na rysunku został przedstawiony wykres pewnej proporcjonalności odwrotnej f.
a) napisz wzór funkcji f
b) dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość
−
1
?
3
c) Oblicz dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od 1
Zad. 14 Rozwiąż równania
a)
x2 − x − 2
= 0;
x2 − 1
b)
2x − 1
3
=
x
x+ 1
5
2 5
<
i podaj najmniejszą liczbę naturalną należącą do zbioru rozwiązań tej nierówności.
x 17
Zad. 16 Pole prostokąta jest równe 6 m 2 . Napisz wzór funkcji wyrażającej zależność między długością jednego boku tego
Zad. 15 Rozwiąż nierówność
prostokąta a długością drugiego. Sporządź jej wykres.
Zad. 17 Wykres funkcji
f ( x) =
3
przesunięto o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi OX i o jedną jednostkę w dół wzdłuż
x
osi OY
a) sporządź wykres tej funkcji
b) podaj wzór tej funkcji i zapisz go w postaci
g ( x) =
c) wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.
ax + b
cx + d
Zad. 18 Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z miasta A. Po pewnym czasie pierwszy znajdował się 320 km od tego
miasta, a drugi 240 km. Średnia prędkość drugiego samochodu była o 20 km/h mniejsza od pierwszego. Znajdź średnie
prędkości z jakimi poruszały się samochody.
Zad. 19 Sprawdź, czy rozwiązania równania
x+ 1=
2
3x − 5 1
należą do zbioru rozwiązań nierówności
<
x
x+ 2 2
Zad. 20 Gdy jest otwarty kran na ciepłą wodę, to napełnienie całej wanny trwa o 7 minut dłużej niż gdy jest otwarty kran na
zimną wodę. Jeśli obydwa krany są otwarte, to napełnienie pustej wanny odbywa się w czasie 12 minut. Ile czasu potrzeba na
napełnienie pustej wanny, gdy okręcony jest tylko kran na zimną wodę?
6
Zad.1 Dane są punkty
4.4 Geometria anlityczna
A( 6,4 ) , B ( 5,6 ) , C ( 2,3) będące środkami boków ∆ KLM . Znajdź współrzędne wierzchołków
∆ KLM i współrzędne środka ciężkości.
Zad. 2 Znajdź równie prostej przechodzącej przez punkt
Zad. 3 Okrąg o równaniu
( x − 2 ) 2 + ( y + 3) 2 =
P (1,2 ) i przecinającą prostą − x + y + 2 = 0 pod kątem 45° .
4 jest opisany na pewnym trójkącie równobocznym ABC . Znajdź
równanie okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zad. 4 Kwadrat
(
ABCD wpisany jest w okrąg o równaniu x 2 + y 2 + 4 y − 5 = 0 . Znając współrzędne wierzchołka
)
A 1,2 − 2 2 , znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków.
Zad. 5 Dane są
 8 5a + 6 
A( 4,3) , B ( − 2,6 ) , C ( 4,8) , D
,
.
 a+ 2 a+ 2 
a) Dla jakich wartości a, punkty
A, B, D są współliniowe.
b) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których kąt przy wierzchołku C
c) Oblicz pole czworokąta
Zad. 6 Prosta o równaniu
trójkąta
∆ BCD jest prosty.
ACBC1 , gdzie C1 jest obrazem punktu C w symetrii względem prostej AB .
2 x + y + 8 = 0 przecina parabolę y = x 2 + 2 x − 8 w punktach A i B. Oblicz obwód i pole
ABC , gdzie C jest wierzchołkiem paraboli.
Zad. 7 Punkty
A( − 2,0 ) i B( 6,6) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC . Oblicz pole trójkąta ABC .
Zad. 8 Punkty A( 0,3) , B ( 0,0) , C ( − 5,0 ) i D( x,3) , gdzie x ∈ R , są kolejnymi wierzchołkami czworokąta ABCD .
Wyznacz wartość x, dla której w czworokąt można wpisać okrąg. Dla wyznaczonego x wyznacz równanie tego okręgu.
ABCD zawierają się w prostych m : x − y + 1 = 0 i l : 3 x + 2 y − 12 = 0 .
Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie P( 6,4 ) . Oblicz współrzędne wierzchołków równoległoboku
ABCD i jego pole.
Zad. 9 Sąsiednie boki równoległoboku
Zad. 10 Dane są punkty
A(1,− 3) , B ( 5,− 1) . Odcinek AB jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC . Pole trójkąta
ABC poprowadzonej z wierzchołka C i podaj równanie okręgu
ABC jest równe 15. Oblicz długość wysokości trójkąta
opisanego i wpisanego w ten trójkąt.
ABCD wiedząc, że A( 0,0 ) , B ( 3,1) , C ( 4,3) .






Zad. 12 Niech a = [ − 4,3], b = [1,− 2] . Wyznacz taki parametr k ( k ≠ 0 ) , dla którego wektory c = 2a + 5b oraz kc
Zad. 11 Wyznacz pole równoległoboku
będą równoległe.
Zad. 13 Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach
(1,2) , ( 3,2) .
Zad. 14 Wyznacz pole koła opisanego na trójkącie o wierzchołkach w punktach
Zad. 15 Dany jest okrąg o środku
styczna do okręgu.
Zad. 16 Przez punkt
trójkąta
( 0,0)
i promieniu 1. Wyznacz taki parametr
A( 0,2 ) , B = ( 2,1) , C ( 3,3) .
m ∈ R , aby prosta x − y + m = 0 była
A( 0,0 ) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x 2 + y 2 − 14 x + 2 y + 25 = 0 . Oblicz pole
ABC , gdzie B, C są punktami styczności danych prostych z okręgiem.
Zad. 17 Bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu
współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
x 2 + y 2 = 5 zawiera się w prostej 2 x + y − 5 = 0 . Wyznacz
y = x 2 + bx + c . Prosta o równaniu 5 x − y + 1 = 0 jest do niej styczna w punkcie
A, a prosta o równaniu x + y + 8 = 0 jest do niej styczna w punkcie B. Oblicz pole trójkąta ABC , w którym punkt C jest
Zad. 18 Dana jest parabola o równaniu
wierzchołkiem paraboli.
Zad. 19 Okrąg k o środku należącym do prostej o równaniu
Napisz równanie tego okręgu.
x + y − 7 = 0 przechodzi przez punkty A( 0,0 ) i B (1,7 ) .
Zad. 20 Punkty A( − 1,5) , B( 5,− 1) , C ( 5,3) są wierzchołkami trapezu równoramiennego
współrzędna wierzchołka D oraz pole tego trapezu.
ABCD o podstawie AB . Oblicz
7
4.5 Geometria
Zadanie 1 Statek płynący z prędkością 9 km/h przecina linię równika pod kątem o mierze 14° i nie zmienia kierunku. Jaka
będzie odległość statku od równika po dwóch dobach podróży ?
Zadanie 2 Mama kupiła tacie koszulę, która okazała się za ciasna: kołnierzyk ściśle przylega do szyi. Koszulę należy wymienić
na taką, aby między szyją a kołnierzykiem było 3 mm luzu. O ile numerów większą koszulę należy kupić, jeżeli każdy
następny numer powiększa długość kołnierzyka o 1 cm ?
Zadanie 3 W poniższym starohinduskim wierszu należy odnaleźć i rozwiązać problem matematyczny:
„Z jeziora
wychylił się o pół stopy
z wieczora
biały lotosu kwiat.
Uderzył weń wiatr zawzięty
aż lotos ugięty
ucałował o dwie stopy dalej
błysk kryształowej fali.
Wodo zdradliwa, wodo chłodna
Jak daleko do dna.?”
Zadanie 4 Oblicz pole trapezu równoramiennego, w którym przekątna o długości d tworzy z dłuższą podstawą kąt α.
Zadanie 5 Punkt P należy do wnętrza kąta o mierze 60° i jest oddalony od ramion kąta o a i b. Wyznacz odległość punktu P od
wierzchołka kąta.
Zadanie 6 Długości boków trójkąta wynoszą 10, 10, 12. Oblicz odległości środka okręgu wpisanego w ten trójkąt od
wierzchołków trójkąta.
Zadanie 7 Każdy z boków trójkąta o polu 72 podzielono na trzy części w stosunku 1:4:1. Oblicz pole sześciokąta, którego
wierzchołkami są punkty podziału boków.
Zadanie 8 Wierzchołek komina widać z punktu A pod kątem 26° , a z punktu B pod kątem 40° . Podstawa komina oraz
punkty A i B leżą na jednej prostej. Komin ma wysokość 20 m. Jaka jest odległość między punktami A i B?
Zadanie 9 Jedno ramię szlabanu na przejeździe kolejowym na 5 m długości, a drugie ma 1 m. W położeniu poziomym szlaban
znajduje się 0,75 m nad ziemią. Gdy szlaban jest podniesiony, krótsze ramię szlabanu dotyka ziemi. Na jaką wysokość
podnosi się dłuższe ramię? Pomiń szerokość ramienia szlabanu.
Zadanie 10 W pewnej chwili samolot znajduję się bezpośrednio nad Tobą, a po 30 sekundach przesuwa się tak, że widzisz go
pod kątem 35° w stosunku do poprzedniego położenia. Jak wysoko leci samolot przy założeniu, że leci z prędkością 800
km/h?
Zadanie 11 W trójkącie prostokątnym dana jest długość krótszej przyprostokątnej a=6 cm. Wiedząc, że przyprostokątne tego
trójkąta pozostają w stosunku 3:4, oblicz długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 12 Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion kąta. Odległości ich środków od wierzchołka kąta wynoszą
odpowiednio: 7 cm i 12 cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.
Zadanie 13 W wycinek koła o promieniu 60 cm wpisano okrąg o promieniu 20 cm. Wyznacz obwód i pole tego wycinka.
Zadanie 14 O ile zwiększy się liczba przekątnych w wielokącie, jeżeli liczbę boków zwiększymy o 1?
Zadanie 15 Na trójkącie ABC, w którym
∠ BAC = 50° i ∠ ABC = 70° opisano okrąg, a następnie przez punkt C
poprowadzono styczną do tego okręgu przecinającą prostą AB w punkcie D. Wyznacz kąty wewnętrzne trójkąta BCD.
Zadanie 16 Oblicz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm.
Zadanie 17 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 15 i 20. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy
zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków na jakie ten okrąg podzielił przeciwprostokątną.
Zadanie 18 W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 10, zaś ramię o długości 6 jest prostopadłe do
przekątnej. Oblicz odległość punktu przecięcia się przekątnych trapezu od jego dłuższej podstawy.
Zadanie 19 Oblicz pole trapezu równoramiennego ABCD o podstawach
przekątne trapezu są do siebie prostopadłe.
Zadanie 20 W trójkącie równoramiennym ABC damesą podstawa
długość środkowych tego trójkąta.
AB i CD takich, że AB=20 i CD=12 wiedząc, że
AB = 10 oraz ramiona AC = BC = 13. Znajdź