Zadania przygotowawcze na EUKLIDES
Transkrypt
Zadania przygotowawcze na EUKLIDES
Zadania przygotowawcze na konkurs matematyczny „EUKLIDES” Zad.1. Punkty A = (1;2), B = (-1;-1), C = (5;2) są wierzchołkami trójkąta. a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A. b) Wyznacz współrzędne punktu D tak , aby czworokąt ABCD był równoległobokiem. Zad.2. Cięciwą okręgu o równaniu x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0 jest odcinek AB zawarty w prostej o równaniu x + y - 6 = 0. Oblicz pole trójkąta ABO, gdzie O jest środkiem okręgu. Zad.3. Leśna szkółka doświadczalna ma kształt prostokąta, którego przekątna jest o 1 m dłuŜsza od dłuŜszego boku prostokąta. Gdyby powiększyć o 3m kaŜdy wymiar tego prostokąta, to przekątna zwiększyłaby się o 4m. Oblicz wymiary szkółki. Zad.4. Cena towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest równa 85,60 zł. Podatek VAT na ten towar podniesiono do 22%. Oblicz o ile procent wzrosła cena tego towaru? Zad.5. Sadownik miał posadzić 200 drzewek owocowych w określonym terminie. Sadząc kaŜdego dnia o 5 drzewek więcej niŜ było przewidziane w planie, sadzenie zakończył na dwa dni przed terminem. Ile dni trwało sadzenie drzew? Zad.6. Jednokierunkowa droga o szerokości 8 m prowadzi przez tunel. Przekrój poprzeczny tunelu ma 3 8 kształt zbliŜony do łuku paraboli o równaniu y = − x 2 + 6 . Sprawdź, wykonując odpowiednie obliczenia, czy cięŜarówka wioząca prostopadłościenny kontener o szerokości 4,8 metra, moŜe przejechać tym tunelem, jeŜeli najwyŜszy punkt kontenera znajduje się znajduję się 4 metry nad drogą. Zad.7. Samolot, którego prędkość własna jest równa 900km/h, leci 5500km z wiatrem i 4500km pod wiatr, wiejący z taką samą prędkością. Czasy obu przelotów są jednakowe. Jaka jest prędkość wiatru? Zad.8. Pole rombu jest równe 60 cm2. DłuŜsza przekątna rombu podzieliła kąt ostry na takie dwa kąty o mierze α , Ŝe tgα = 8 . Oblicz długość boku rombu. 15 Zad.9. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W = (1, 4). Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−2, 2> wynosi −5. Przedstaw wzór funkcji f w postaci iloczynowej. RozwiąŜ nierówność f ( x) < 0 . Zad.10. W trójkącie równoramiennym podstawa AB ma długość 8cm. Promień okręgu, stycznego w punktach A i B do prostych zawierających ramiona AC i BC trójkąta, ma długość 5cm. Oblicz pole trójkąta ABC. Zad.11. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Trzecia liczba jest większa od pierwszej o 9, a druga jest większa od czwartej o 18. Wyznacz ten ciąg. Zad.12. Cenę pewnego towaru podwyŜszono o 20%, a następnie obniŜono do początkowej wartości. O jaki procent obniŜono cenę? Zad.13. WyraŜenie 2164 ⋅ 6 2 − 2166 przedstaw w postaci potęgi liczby 2. 2 − 23 ⋅ 2 48 Przyjmując, Ŝe 210 ≈ 1000 zapisz przybliŜenie otrzymanej liczby w postaci a ⋅ 10 k , gdzie a ∈< 1,10) , k ∈C . Zad.14. Punkty A = (0, 3) i B = (4, 5) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym AB = BC . Wysokość BD trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 3x − y − 7 = 0. Oblicz: Współrzędne wierzchołka C. Pole trójkąta ABC. Zad.15. W wycinek koła o promieniu 3 dm wpisano okrąg o promieniu 1 dm. Oblicz pole wycinka koła. Wynik podaj z dokładnością do 10 cm2. Zad.16. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f są liczby −6 oraz 1. Oblicz wartość wyraŜenia 3 ⋅ f (94) . f (−24) Zad.17. Z kwadratu odcięto ćwiartkę koła o promieniu równym długości boku kwadratu. Następnie w pozostałą figurę wpisano koło, którego pole jest równe π . Oblicz długość boku kwadratu. Wynik przedstaw w postaci a + b c , gdzie a, b, c są liczbami naturalnymi. Zad.18. Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (−2, −3), i B = (10, 3). Zad.19. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Najkrótszy bok ma długość 6 cm. Oblicz: a) Pole tego trójkąta. b) Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie. c) Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt. Zad.20. Oblicz: a) 6−4 2 + 6+4 2 = b) 9−4 5 − 9+4 5 = c) 3 20 − 14 2 + 3 20 + 14 2 = Zad.21. Właściciel drukarni zaopatruje się w papier w odległych o 250 km zakładach papierniczych lub w oddalonej o 20 km hurtowni. U producenta cena jednej ryzy papieru wynosi 20 zł, a w hurtowni jest o 30% wyŜsza. Zakupiony papier przywozi do drukarni firma transportowa, która pobiera opłatę w wysokości 1 zł 60 gr. za kilometr ( niezaleŜnie od wielkości ładunku). Niech KP(n), KH(n) oznaczają całkowite koszty zakupu n ryz. a) Podaj wzory funkcji KP(n) oraz KH(n). b) Przy jakiej liczbie ryz korzystniej dla właściciela drukarni jest zaopatrywać siew papier u producenta? Zad.22. Punkty A = (1, 2), B = (_1, 0), C = (2, –2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Napisz równanie prostej zawierającą wysokość poprowadzoną z wierzchołka C. Zad.23. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC = BC dane są: A = (−3, 2), E = (1, 0), gdzie punkt E jest środkiem boku AB, oraz równanie prostej, w której zawarty jest bok BC: y = −x + 7. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta oraz jego pole.