B) symbole pozalogiczne

JĘZYKI PIERWSZEGO RZĘDU
Ustalamy nieskończony i przeliczalny zbiór VAR, którego elementy nazywamy zmiennymi
przedmiotowymi.
Zmienne przedmiotowe oznaczamy : x, y, z (z indeksami).
Symbole języka pierwszego rzędu dzielą się na:
A) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków)
– zmienne przedmiotowe,
– stałe logiczne: ¬,∧ ,∨ ,→,↔,∀,∃
– symbole techniczne: ( , )
B) symbole pozalogiczne (zależne od języka)
– symbole relacyjne: P, Q, R, ...
– symbole funkcyjne: f, g, h, ...
– stałe przedmiotowe: a, b, c, ...
(Symbole pozalogiczne całkowicie określają dany język)
Językiem pierwszego rzędu nazywamy układ
L = ( Re lL , FunL ,ConL , ρ L )
taki, że
– Re l L jest niepustym zbiorem (symboli relacyjnych),
– FunL jest zbiorem (symboli funkcyjnych),
– ConL jest zbiorem (stałych przedmiotowych),
przy czym zbiory Re l L , FunL i ConL są rozłączne, natomiast ρ L jest funkcją, która każdemu
symbolowi relacyjnemu i funkcyjnemu przyporządkowuje dodatnią liczbę całkowitą, zwaną
arnością tego symbolu.
TERMY I FORMUŁY
Wyrażeniem języka L nazywamy dowolny skończony ciąg symboli języka L.
Wyróżniamy dwie klasy wyrażeń sensownych języka L:
a) TERL - termy (wyrażenia nazwowe ),
b) FORL - formuły (wyrażenia zdaniowe).
Termami języka L nazywamy wyrażenia języka L określone przez następujące warunki
indukcyjne:
– wszystkie zmienne i stałe przedmiotowe są termami ,
– jeżeli f ∈ FunL , ρ L ( f ) = n oraz t1 ,K , t n są tremami, to f (t1 , K, t n ) jest termem.
Formułami atomowymi języka L nazywamy wyrażenia
R(t1 ,K , t n ) ,
takie że R ∈ Re l L , ρ L ( R ) = n a t1 ,K, t n są tremami języka L.
AFORL – zbiór formuł atomowych języka L.
Formułami języka L nazywamy wyrażenia języka L określone przez następujące warunki
indukcyjne:
– wszystkie formuły atomowe są formułami,
– jeżeli A, B są formułami, to wyrażenia (¬A) , ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) są
formułami,
– jeżeli A jest formułą i x jest zmienną przedmiotową, to wyrażenia (∀x A) i (∃x A) są
formułami.
Złożonością formuły nazywamy liczbę wszystkich wystąpień stałych logicznych w tej
formule.
Złożonością termu nazywamy liczbę wszystkich wystąpień symboli funkcyjnych w termie.
Podformuły formuły A określamy przez indukcję po złożoności A:
a) jeżeli A jest formułą atomową, to A jest jedyną podformułą A,
b) podformułami formuły A ≡ ¬B, Qx B są A oraz wszystkie podformuły formuły B,
c) podformułami formuły A ≡ B ∗ C są A oraz wszystkie podformuły formuł B i C.
Zmienne wolne i związane
Wystąpienie zmiennej x w formule A nazywamy związanym, jeżeli znajduje się wewnątrz
pewnej podformuły postaci Qx B . Pozostałe wystąpienia x w A nazywamy wolnymi.
Zmienna x jest wolna w A, jeżeli istnieje przynajmniej jedno wolne wystąpienie x w A.
Formułę bez zmiennych wolnych nazywamy formułą domkniętą albo zdaniem.
Notacja.
V (t ) – zbiór zmiennych występujących w termie t
V ( A) – zbiór zmiennych wolnych w formule A.
PODSTAWIENIE
Wyrażenie postaci x / t nazywamy przypisaniem.
Podstawieniem nazywamy skończony zbiór przypisań:
σ = [x1 / t1 ,K , xn / t n ],
w którym zmienne x1 ,K, xn są różne, ε = [ ] – podstawienie identycznościowe.
tσ – wynik podstawienia σ w termie t
xiσ ≡ ti
yσ ≡ y
dla y ∉ {x1 , K, xn }
aσ ≡ a
dla a ∈ ConL
f (t1 ,K, t n )σ ≡ f (t1σ , K, t nσ )
Aσ – wynik podstawienia σ w formule A
R(t1 ,K , t n )σ ≡ R(t1σ ,K, t nσ )
(¬A)σ ≡ ¬Aσ
( A ∗ B )σ ≡ Aσ ∗ Bσ , gdzie * ∈ {∧ ,∨ , →, ↔}
(QyA)σ ≡ QyAσ dla y ∉ {x1 ,K, xn }
(Qxi A)σ ≡ Qxi Aσ ′ , gdzie Q ∈ {∀, ∃}
σ ′ = σ − [xi / ti ] (nie podstawiamy za zmienne związane)
Przykład.
A ≡ ∀xP( x, y ) → ∃yQ( x, y )
A[x / z , y / f ( x )] ≡ (∀xP( x, y ))[x / z , y / f ( x )] → (∃yQ( x, y ))[x / z , y / f ( x )]
≡ ∀xP( x, y )[ y / f ( x )] → ∃yQ( x, y )[x / z ]
≡ ∀xP( x, f ( x )) → ∃yQ( z , y )
PODSTAWIENIE DOPUSZCZALNE
Podstawienie σ = [x1 / t1 ,K , xn / t n ] jest dopuszczalne dla formuły A, jeżeli żadne wolne
wystąpienie zmiennej xi (1 ≤ i ≤ n ) w A nie znajduje się wewnątrz podformuły QyB , takiej że
y ∈ V (ti ) .
Przykład.
A ≡ ∃y x < y
Formuła A jest prawdziwa dla wszystkich x w dziedzinie liczb naturalnych
Podstawienia [x / z ] , [x / x + z ] , [x / 1] są dopuszczalne dla A.
Po dokonaniu tych podstawień w A
A[x / z ] ≡ ∃y z < y ,
A[x / x + z ] ≡ ∃y x + z < y ,
A[x / 1] ≡ ∃y 1 < y
otrzymane formuły są też zawsze prawdziwe w tej dziedzinie.
Podstawienie [x / y ] nie jest dopuszczalne dla A.
Formuła A[x / y ] ≡ ∃y y < y jest fałszywa w tej dziedzinie.
Morał: Zastosowanie podstawienia niedopuszczalnego może prowadzić od formuły
prawdziwej do formuły fałszywej.